浙江省余姚市六校联考2023-2024学年七年级下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2024-05-08 类型：期中考试

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一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} • a^{3} = a^{6}$ B、 $a^{8} \div a^{2} = a^{4}$ C、 $a^{2} + a^{2} = a^{4}$ D、 ${(- a^{3})}^{2} = a^{6}$

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2. 世界上最小，最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，体长仅0.021厘米，其质量也只有0.0000052克。数0.0000052用科学记数法表示为（）

A、 $5.2 \times 1 0_{}^{- 5}$ B、 $5.2 \times 1 0_{}^{- 6}$ C、 $5.2 \times 1 0_{}^{- 7}$ D、 $52 \times 1 0_{}^{- 7}$

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3. 下列所示的四个图形中，∠1和∠2不是同位角的是( )

A、 B、 C、 D、

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4. 下列式子正确的是（）

A、 $(3 a + 4) (3 a - 4) = 9 a_{}^{2} - 4$ B、 $(2 a_{}^{2} - b) (2 a_{}^{2} + b) = 4 a_{}^{2} - b_{}^{2}$ C、 $(3 - x) (x + 3) = 9 - x_{}^{2}$ D、 $(- x + y) (x + y) = - x_{}^{2} - y_{}^{2}$

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5. 下列方程中，属于二元一次方程的是（）

A、 $3 x_{}^{2} - 2 y = 9$ B、 $2 x + y = 6$ C、 $\frac{1}{x} + 2 = 3 y$ D、 $x - 3 = 4 y_{}^{2}$

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6. 如图，将一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在两条平行的直线 $a$ ， b上，如果∠1=10°，那么∠2的度数为（）

A、30° B、40° C、50° D、60°

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7. 《九章算数》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容量单位）；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛。问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为 $x$ 斛，小容器的容量为 $y$ 斛，则可列方程组是（）

A、 $\{\begin{cases} x + 5 y = 3 \\ 5 x + y = 2 \end{cases}$ B、 $\{\begin{cases} 5 x + y = 3 \\ x + 5 y = 2 \end{cases}$ C、 $\{\begin{cases} 5 x = y + 3 \\ x = 5 y + 2 \end{cases}$ D、 $\{\begin{cases} 5 x = y + 2 \\ x = 5 y + 3 \end{cases}$

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8. 已知 $x (x + 3) = 2022$ ，则代数式 $2 (x + 4) (x - 1) - 2012$ 的值为（）

A、 $2023$ B、 $2024$ C、 $2025$ D、 $2026$

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9. 如图，在Rt△ABC中，BC=9，把三角形ABC沿射线AB方向平移4.5个单位至三角形EFG处，EG与BC交于点M。若CM=3，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{135}{4}$ B、 $\frac{133}{4}$ C、 $\frac{131}{4}$ D、 $\frac{129}{4}$

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10. 将两张边长分别为 $a$ 和 $b$ （ $a$ > $b$ ）的正方形纸片按图①、图②所示的方式放置在长方形ABCD内，（图①、图②中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图①、图②中阴影部分的面积为分别为 $s_{1}^{}$ 、 $s_{2}^{}$ ，当AD-AB=42时，以下用含 $a$ ， $b$ 的代数式表示 $s_{1}^{} - s_{2}^{}$ 的值正确的是（）

A、- $42 b$ B、- $36 b$ C、- $42 a$ D、- $36 a$

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二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

11. 已知 $7 x - y = - 5$ ，用 $x$ 的代数式表示 $y$ ，则 $y =$

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12. 如图AB∥CD，AE交DF于点C，∠ECF=134°，则∠A=

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13. 若 $x_{}^{m} = 4$ ， $x_{}^{n} = - 3$ ，则 $x_{}^{m + n} =$

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14. 若 $(x + m) (x + 3) = x_{}^{2} + n x + 6$ ，则 $\frac{m}{n} =$

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15. 如图，长方形纸片ABCD分别沿直线OP、OQ折叠，若∠POQ=80°，则∠ $A' O B'$ =

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16. 已知关于 $x 、 y$ 的方程组 ${_{a_{2}^{} x + b_{2}^{} y = c_{2}^{}}^{a_{1}^{} x + b_{1}^{} y = c_{1}^{}}$ 的解为 ${_{y = 6}^{x = 5}$ ，则关于 $x 、 y$ 的方程组 ${_{5 a_{2}^{} x + 3 b_{2}^{} y = 4 c_{2}^{}}^{5 a_{1}^{} x + 3 b_{1}^{} y = 4 c_{1}^{}}$ 的解为

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三、解答题（共66分）

17. 计算：

(1)、 ${(2024 - π)}_{}^{0} - {(- 4)}_{}^{- 2} + {(- 3)}_{}^{2}$ ；

(2)、 ${(2 x_{}^{3})}_{}^{4} • (- 4 x_{}^{2}) \div (32 x_{}^{7})$ ．

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18. 解方程组：

(1)、 ${_{5 x - 8 y = 34}^{3 x + 4 y = 16}$ ；

(2)、 ${_{7 x + 5 y = 34}^{x - y = 2}$ ．

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19. 先化简，再求值： $(3 x + 2) (3 x - 2) - 5 x (x - 1) + {(2 x - 1)}_{}^{2}$ ，其中 $x = - \frac{1}{3}$ .

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20. 已知 $x_{}^{2} + y_{}^{2} = 9$ ， $x + y = 4$ ，求下列代数式的值：

(1)、 $x y$ ；

(2)、 $(x - 3) (y - 3)$ ．

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21. 如图，已知AC∥FE，∠1＋∠2＝180°

(1)、求证：∠FAB＝∠BDC；

(2)、若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度数．

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22. 某小区为了绿化环境，计划分两次购进 $A$ ， $B$ 两种树苗，第一次购进 $A$ 种树苗40棵， $B$ 种树苗15棵，共花费1750元；第二次购进 $A$ 种树苗20棵， $B$ 种树苗6棵，共花费860元.（两次购进的 $A$ ， $B$ 两种树苗各自的单价均不变）

(1)、 $A$ ， $B$ 两种树苗每棵的价格分别是多少？

(2)、因受季节影响， $A$ 种树苗价格下降10% ， $B$ 种树苗价格上升20%，计划购进 $A$ 种树苗25棵， $B$ 种树苗20棵，问总费用是多少元？

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23. 若两个正整数 $a$ ， $b$ ，满足 ${(a + b)}_{}^{2} = k a + b$ ， $k$ 为自然数，则称 $a$ 为 $b$ 的“ $k$ 级”数.例如 $a = 2$ ， $b = 3$ ， ${(2 + 3)}_{}^{2} = 11 \times 2 + 3$ ，则2为3的“11级”数.

(1)、5是6的“”级数；正整数 $n$ 为1的“”级数（用关于 $n$ 的代数式表示）；

(2)、若 $m$ 为4的“ $m + 10$ ”级数，求 $m$ 的值；

(3)、是否存在 $a$ ， $b$ 的值，使得 $a$ 为 $b$ 的“ $a + b$ 级”数？若存在，请举出一组 $a$ ， $b$ 的值；若不存在请说明理由.

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24. 如图，已知 $C$ 为两条互相平行的直线AB，ED之间一点，∠ABC和∠CDE的角平分线相交于F，∠FDC+∠ABC=180°.

(1)、求证：AD∥BC.

(2)、连接CF，当FC∥AB，∠CFB= $\frac{3}{2}$ ∠DCF时，求∠BCD的度数.

(3)、若∠DCF=∠CFB时，将线段BC沿射线AB方向平移，记平移后的线段为PQ，B，C分别对应P，Q，当∠PQD—∠QDC=24°时，求∠DQP的度数.

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