广东省肇庆市四会市2024年中考一模数学试题

试卷更新日期：2024-05-08 类型：中考模拟

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. $- | - \frac{1}{2024} | =$ （）

A、 $- \frac{1}{2024}$ B、 $\frac{1}{2024}$ C、 $- 2024$ D、 $2024$

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2. 地月距离是指地球与月球之间的距离，有平均距离、月球与地球近地点的距离、月球与地球远地点的距离三种．其中，地月平均距离约为 $384000 k m$ ，用科学记数法表示为（）

A、 $384 \times 1 0^{3} k m$ B、 $38.4 \times 1 0^{4} k m$ C、 $3.84 \times 1 0^{5} k m$ D、 $0.384 \times 1 0^{6} k m$

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3. 下列图形中，轴对称图形的个数为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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4. 如图， $▱ A B C D$ 对角线 $A C$ ， $B D$ 的交点为 $E$ ，若 $∠ E B C = 30 °$ ， $∠ E C B = 45 °$ ，则 $∠ A E D =$ （）

A、 $115 °$ B、 $105 °$ C、 $100 °$ D、 $75 °$

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5. ${(- 1)}^{4} \times 5 + {(- 2)}^{3} \div 4 =$ （）

A、7 B、 $- 7$ C、3 D、 $- 3$

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6. 当 $x = 1$ 时， $5 (x + b) - 8$ 与 $b x$ 互为相反数，则 $b =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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7. 若 $∠ A = 30 °$ ， $∠ B$ 与 $∠ A$ 互余，则 $s i n B =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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8. 外观相同的5件产品中有2件为不合格产品．现从中随机抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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9. 由于换季，某商家决定降低某种衣服价格，现有三种降价方案：①第一次降价 $5 %$ ，第二次降价 $6 %$ ；②第一次降价 $6 %$ ，第二次降价 $5 %$ ；③第一、第二次降价均为 $5.5 %$ ．三种方案中，降价最少的是( )

A、方案① B、方案② C、方案③ D、不确定，因衣服原始价格未知

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10. 如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为 $R t △ A B C$ 的斜边BC ，直角边AB ， AC ． $△ A B C$ 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分（两个白色弓形部分）记为Ⅲ．设Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $S_{1} = S_{2} + S_{3}$ B、 $S_{1} = S_{3}$ C、 $S_{2} = S_{3}$ D、 $S_{1} = S_{2}$

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二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．

11. 因式分解： $a^{2} - 9 =$ ．

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12. 二次项系数为 $2$ ，且两根分别为 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = \frac{1}{2}$ 的一元二次方程为．（写成 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的形式）

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13. 小明在研究某反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象时，先选取了8个x的值，再分别计算出对应的y的值，列表如下：
x
$- 4$
$- 3$
$- 2$
$- 1$
1
2
3
4
$y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$
$- \frac{1}{4}$
$- \frac{2}{3}$
$- 1$
$- 2$
2
1
$\frac{2}{3}$
$\frac{1}{2}$
经同桌小强检查，发现有一个y的值计算出现了错误，那么小明所研究的反比例函数中， $k =$ ．

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14. 如图为一张方格纸， $△ A B C$ 的顶点位于网格线的交点上．若 $△ A B C$ 的面积为 $7 c m^{2}$ ，则该方格纸的面积为 $c m^{2}$ ．

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15. 在直角梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $B D ⊥ D C$ ．若 $A D = 1$ ， $C D = \sqrt{6}$ ，则 $B C$ 的长度为．

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三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分．

16. 列方程解应用题：
某中学七年级某班48名同学去公园划船，一共乘坐10艘船．已知每条大船坐6人，每条小船坐4人，正好全部坐满．问：大船、小船各有几艘？

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17.

(1)、解一元一次不等式组 ${\begin{array}{l} x - 5 \leq 1 + 2 x \\ 3 x + 2 > 4 x \end{array}$ ；

(2)、已知一次函数的图象经过点 $(2, 3)$ ， $(4, - 1)$ ，求这个函数的解析式．

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18. 某校开发了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程，为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中信息解决下列问题：

(1)、本次随机调查了名学生

(2)、补全条形统计图

(3)、若该校共有1200名学生，请估计全校学生选择“戏曲”类的约有多少人？

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四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．

19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $A C = 3$ ．

(1)、实践与操作：请用尺规作图的方法在线段 $A B$ 上找点 $D$ ，使得 $△ A C D ∽ △ A B C$ ；（保留作图痕迹，不要求写作法）

(2)、应用与计算：在（1）的条件下，求 $B D$ 的长．

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20. 如图，一次函数 $y = p x + 3$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 在第一象限内的图象交于点 $A (2, q)$ ，与y轴交于点B ，过 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上一点C作x轴的垂线，垂足为D ，交一次函数 $y = p x + 3$ 的图象于点E ．已知 $△ A O B$ 与 $△ C O D$ 的面积之比为 $3 : 5$ ．

(1)、求k ， p的值；

(2)、若 $B E ∥ O C$ ，求点C的坐标．

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21. 在山体中修建隧道可以保护生态环境，改善公路技术状态，提高运输效率．某城市道路中一双向行驶隧道（来往方向各一车道，路面用黄色双实线隔开）图片如图所示．隧道的纵截面由一个矩形和一段抛物线构成。隧道内路面的总宽度为 $8 m$ ，双向行驶车道宽度为 $6 m$ （路面两侧各预留 $1 m$ 给非机动车），隧道顶部最高处距路面 $6 m$ ，矩形的高为 $2 m$ ．

(1)、建立适当的平面直角坐标系，求出该段抛物线的解析式；

(2)、为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有 $0.5 m$ ．问：通过隧道的车辆应限制高度为多少？

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五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．

22. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $A (0, 4)$ ， $D (2, 0)$ ， $E (6, 0)$ ， $⊙ D$ 的半径 $r = 6$ ．直线l与x轴垂直且交x轴于点 $E_{1} (11, 0)$ ， $C_{1}$ 为直线l上的动点．连接 $D C_{1}$ ，线段 $D C_{1}$ 上的点C满足 $D C \cdot D C_{1} = r^{2}$ ．

(1)、求证： $∠ D C E = 90 °$ ；

(2)、若点M为 $A C$ 中点，O为坐标原点，连接 $O M$ ，求 $O M$ 的最大值．

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23. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 6$ 与直线 $y = - x - 1$ 交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在 $x$ 轴上），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $∠ A B C = 90 °$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若 $D$ 为直线 $B C$ 下方抛物线上的一个动点，过点 $D$ 作 $D F ∥ A C$ 交 $A B$ 于点 $E$ ，交 $y$ 轴于点 $F$ ．
①求线段 $D E$ 的最大值；
②是否存在点 $D$ ，使得四边形 $A C D F$ 为等腰梯形？若存在，请求出点 $D$ 的横坐标；若不存在，请说明理由．

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x	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	1	2	3	4
$y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$	$- \frac{1}{4}$	$- \frac{2}{3}$	$- 1$	$- 2$	2	1	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{2}$