备考2024年中考数学重难创新题2 二次函数性质综合题

试卷更新日期：2024-05-07 类型：二轮复习

进入出卷网下载

一、选择题

1. 定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”.如图，在正方形 $O A B C$ 中，点 $A (0 ， 2)$ ，点 $C (2 ， 0)$ ，则互异二次函数 $y = {(x - m)}^{2} - m$ 与正方形 $O A B C$ 有交点时 $m$ 的最大值和最小值分别是（）

A、4，-1 B、 $\frac{5 - \sqrt{17}}{2}$ ，-1 C、4，0 D、 $\frac{5 + \sqrt{17}}{2}$ ，-1

查看试题解析
2. 已知 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 均为关于x的函数，当 $x = a$ 时，函数值分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，若对于实数a，当 $0 < a < 1$ 时，都有 $- 1 < A_{1} - A_{2} < 1$ ，则称 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 为亲函数，则以下函数 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 是亲函数的是（）

A、 $y_{1} = x^{2} + 1$ ， $y_{2} = - \frac{1}{x}$ B、 $y_{1} = x^{2} + 1$ ， $y_{2} = 2 x - 1$ C、 $y_{1} = x^{2} - 1$ ， $y_{2} = - \frac{1}{x}$ D、 $y_{1} = x^{2} - 1$ ， $y_{2} = 2 x - 1$

查看试题解析
3. 在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如点（1，1），（﹣ $\frac{1}{3}$ ， ﹣ $\frac{1}{3}$ ），（﹣ $\sqrt{2}$ ， ﹣ $\sqrt{2}$ ），…，都是和谐点．若二次函数y＝ax²+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（ $\frac{3}{2}$ ， $\frac{3}{2}$ ），当0≤x≤m时，函数y＝ax²+4x+c﹣ $\frac{3}{4}$ （a≠0）的最小值为﹣3，最大值为1，m的取值范围是（）

A、m≤4 B、m≥2 C、2≤m≤4 D、2＜m＜4

查看试题解析
4. 定义： $\min {a ， b} = {\begin{array}{l} a (a \leq b) \\ b (a > b) \end{array}$ ，若函数 $y = \min (x + 1 ， - x^{2} + 2 x + 3)$ ，则该函数的最大值为（）

A、0 B、2 C、3 D、4

查看试题解析
5. 新定义：在平面直角坐标系中，对于点 $P (m ， n)$ 和点 $P' (m ， n')$ ，若满足 $m \geq 0$ 时， $n' = n - 4$ ； $m < 0$ 时， $n' = - n$ ，则称点 $P' (m ， n')$ 是点 $P (m ， n)$ 的限变点．例如：点 $P_{1} (2 ， 5)$ 的限变点是 $P_{1}^{'} (2 ， 1)$ ，点 $P_{2} (- 2 ， 3)$ 的限变点是 $P_{2}^{'} (- 2 ， - 3)$ ．若点 $P (m ， n)$ 在二次函数 $y = - x^{2} + 4 x + 2$ 的图象上，则当 $- 1 ≤ m ≤ 3$ 时，其限变点 $P'$ 的纵坐标 $n'$ 的取值范围是（）

A、 $- 2 \leq n' \leq 2$ B、 $1 \leq n' \leq 3$ C、 $1 \leq n' \leq 2$ D、 $- 2 \leq n' \leq 3$

查看试题解析
6. 定义：若点P(a，b)在函数y＝ $\frac{1}{x}$ 的图象上，将以a为二次项系数，b为一次项系数构造的二次函数y＝ax²＋bx称为函数y＝的一个“派生函数”．例如：点(2， $\frac{1}{2}$ )在函数y＝ $\frac{1}{x}$ 的图象上，则函数y＝2x²＋x称为函数y＝ $\frac{1}{x}$ 的一个“派生函数”．现给出以下两个命题：(1)存在函数y＝ $\frac{1}{x}$ 的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y轴的右侧；(2)函数y＝ $\frac{1}{x}$ 的所有“派生函数”的图象都经过同一点．下列判断正确的是（）

A、命题（1）与命题（2）都是真命题 B、命题（1）与命题（2）都是假命题 C、命题（1）是假命题，命题（2）是真命题 D、命题(1)是真命题，命题(2)是假命题

查看试题解析
7. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴的一个交点为 $A (- 3 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $D$ 是抛物线的顶点，对称轴为直线 $x = - 1$ ，其部分图象如图所示，则以下 $4$ 个结论： $① a b c > 0$ ； $② E (x_{1} ， y_{1})$ ， $F (x_{2} ， y_{2})$ 是抛物线 $y = a x^{2} + b x (a \neq 0)$ 上的两个点，若 $x_{1} < x_{2}$ ，且 $x_{1} + x_{2} < - 2$ ，则 $y_{1} < y_{2}$ ； $③$ 在 $x$ 轴上有一动点 $P$ ，当 $P C + P D$ 的值最小时，则点 $P$ 的坐标为 $(- \frac{3}{7} ， 0)$ ； $④$ 若关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b (x - 2) + c = - 4 (a \neq 0)$ 无实数根，则 $b$ 的取值范围是 $b < 1 .$ 其中正确的结论有（）

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

查看试题解析

二、填空题

8. 定义：若x，y满足 $x^{2} = 4 y + t ， y^{2} = 4 x + t$ 且 $x \neq y$ （t为常数），则称点 $M (x ， y)$ 为“和谐点”．

(1)、若 $P (3 ， m)$ 是“和谐点”，则 $m =$ ．

(2)、若双曲线 $y = \frac{k}{x} (- 3 < x < - 1)$ 存在“和谐点”，则k的取值范围为．

查看试题解析
9. 定义[a，b，c]为二次函数y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[2m，1－m，－1－m]的函数的一些结论：①当m≠0时，点(1，0)一定在函数的图象上；②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于 $\frac{3}{2}$ ；③当m＜0时，函数在 $x > \frac{1}{4}$ 时，y随x的增大而减小；④当m＞0，若抛物线的顶点与抛物线与x轴两交点组成的三角形为等腰直角三角形，则 $m = \frac{1}{3}$ ，正确的结论是.（填写序号）

查看试题解析
10. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a ， b ， c$ 是常数， $c < 0$ ）经过 $(1 ， 1) ， (m ， 0) ， (n ， 0)$ 三点，且 $n \geq 3$ ．下列四个结论：
① $b < 0$ ；

② $4 a c - b^{2} < 4 a$ ；

③当 $n = 3$ 时，若点 $(2 ， t)$ 在该抛物线上，则 $t > 1$ ；

④若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = x$ 有两个相等的实数根，则 $0 < m \leq \frac{1}{3}$ ．

其中正确的是（填写序号）．

查看试题解析

三、解答题

11.
定义：如图1，抛物线 $y = a x^{2} + b c + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于A，B两点，点P在抛物线上（点P与A，B两点不重合），如果△ABP的三边满足 $A P^{2} + B P^{2} = A B^{2}$ ，则称点P为抛物线 $y = a x^{2} + b c + c (a \neq 0)$ 的勾股点。

(1)、直接写出抛物线 $y = - x^{2} + 1$ 的勾股点的坐标；

(2)、如图2，已知抛物线C： $y = a x^{2} + b x (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于A，B两点，点P（1， $\sqrt{3}$ ）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式；

(3)、在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件 $S_{Δ A B Q} = S_{Δ A B P}$ 的点Q（异于点P）的坐标

查看试题解析

四、实践探究题

12. 定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．

(1)、理解应用：如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是垂等四边形，点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3），则点B的坐标为．

(2)、综合探究：如图，已知抛物线y＝﹣x²+2x+3与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，C，D两点在该抛物线上．若以A，B，C，D为顶点的四边形是垂等四边形．设点C的横坐标为m，点D的横坐标为n，且m＞n，求m的值．

查看试题解析
13. 综合与实践
中国旅游研究院2024年1月5日发布的“2024年冰雪旅游十佳城市”中，哈尔滨位列榜首，火爆出圈，其中帽儿山的滑雪运动深受欢迎．滑雪爱好者小李为了得出滑行距离 $y$ （单位：m）与滑行时间 $x$ （单位：s）之间的关系，以便更好地享受此项运动所带来的乐趣，他在滑道A上设置了若干个观测点，收集一些数据，如下表所示：

点位1
点位2
点位3
点位4
点位5
点位6
点位7

滑行时间 $x / s$
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
…
滑行距离 $y / m$
0
1.625
4.5
8.625
14
20.625
28.5

(1)、请你在平面直角坐标系中描出表中数据所对应的7个点，并用平滑的曲线连接它们；

(2)、观察由（1）所得的图象，请你依图象选用一个函数近似地表示 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系，并求出这个近似函数的关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

(3)、若另一名滑雪爱好者小张在小李出发5秒后沿着滑道B滑行（两条滑道互相平行，且起点在同一直线上），他的滑行距离 $y$ （单位：m）与滑行时间 $x$ （单位：s）可近似地看成二次函数 $y = 3 x^{2} + d x$ ，当小李滑行距离为384m时，他比小张多滑行的距离不超过160m，求 $d$ 的最小值．（参考数据： $12 4^{2} = 15376$ ）

查看试题解析
14. 规定：若函数 $y_{1}$ 的图像与函数 $y_{2}$ 的图像有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．

(1)、下列三个函数① $y = x + 1$ ；② $y = - \frac{3}{x}$ ；③ $y = - x^{2} + 1$ ，其中与二次函数 $y = 2 x^{2} - 4 x - 3$ 互为“兄弟函数”的是（填写序号）；

(2)、若函数 $y_{1} = a x^{2} - 5 x + 2 (a \neq 0)$ 与 $y_{2} = - \frac{1}{x}$ 互为“兄弟函数”， $x = 1$ 是其中一个“兄弟点”的横坐标．
①求实数a的值；
②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是 ▲ 、 ▲ ；

(3)、若函数 $y_{1} = | x - m |$ （m为常数）与 $y_{2} = - \frac{2}{x}$ 互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，求 ${(x_{2} + x_{3} - 2 x_{1})}^{2}$ 的取值范围．

查看试题解析
15. 《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：

(1)、【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）²﹣ $\frac{4}{3}$ 经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a= ．

(2)、【操作】将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，如图②．直接写出图象G对应的函数解析式．

(3)、【探究】在图②中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为点C，D，E，F，如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x的取值范围．

(4)、【应用】P是图③中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD，PE．直接写出△PDE的面积不小于1时m的取值范围．

查看试题解析

五、综合题

16. 定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”.例如，点 $(1 ， 1)$ 是函数 $y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$ 的图象的“等值点”.

(1)、分别判断函数 $y = x + 2 ， y = x^{2} - x$ 的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；

(2)、设函数 $y = \frac{3}{x} (x > 0) ， y = - x + b$ 的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作 $B C ⊥ x$ 轴，垂足为C.当 $△ A B C$ 的面积为3时，求b的值；

(3)、若函数 $y = x^{2} - 2 (x \geq m)$ 的图象记为 $W_{1}$ ，将其沿直线 $x = m$ 翻折后的图象记为 $W_{2}$ .当 $W_{1} ， W_{2}$ 两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围.

查看试题解析
17. 我们约定：若关于x的二次函数 $y_{1} = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}$ 与 $y_{2} = a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2}$ 同时满足 $\sqrt{a_{2} - c_{1}} + （ b_{2} + b_{1} ）^{2} + | c_{2} - a_{1} | = 0 ， b_{1} - {b_{2}}^{2023} \neq 0$ ，则称函数 $y_{1}$ 与函数 $y_{2}$ 互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：

(1)、若关于x的二次函数 $y_{1} = 2 x^{2} + k x + 3$ 与 $y_{2} = m x^{2} + x + n$ 互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；

(2)、对于任意非零实数r，s，点 $P (r ， t)$ 与点 $Q (s ， t) (r \neq s)$ 始终在关于x的函数 $y_{1} = x^{2} + 2 r x + s$ 的图像上运动，函数 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 互为“美美与共”函数．
①求函数 $y_{2}$ 的图像的对称轴；
②函数 $y_{2}$ 的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；

(3)、在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数 $y_{1} = a x^{2} + b x + c$ 与它的“美美与共”函数 $y_{2}$ 的图像顶点分别为点A，点B，函数 $y_{1}$ 的图像与x轴交于不同两点C，D，函数 $y_{2}$ 的图像与x轴交于不同两点E，F．当 $C D = E F$ 时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．

查看试题解析
18. 如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + 4$ 的图象与x轴交于点 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、已知 $E$ 为抛物线上一点， $F$ 为抛物线对称轴 $l$ 上一点，以 $B$ ， $E$ ， $F$ 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且 $∠ B F E = 90 °$ ，求出点 $F$ 的坐标；

(3)、如图 $2$ ， $P$ 为第一象限内抛物线上一点，连接 $A P$ 交 $y$ 轴于点 $M$ ，连接 $B P$ 并延长交 $y$ 轴于点 $N$ ，在点 $P$ 运动过程中， $O M + \frac{1}{2} O N$ 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

查看试题解析

19. 如图1，在平面直角坐标系

x O y

中，抛物线

y = a x^{2} + b x + c

与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点

(x ， y)

的坐标值：

x	…	$- 1$	0	1	2	3	…
y	…	0	3	4	3	0	…

(1)、求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；

(2)、

P Q

是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求

A Q + Q P + P C

的最小值；

(3)、如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作

D F ⊥ x

轴，垂足为F，

△ A B D

的外接圆与

D F

相交于点E.试问：线段

E F

的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.

查看试题解析

20. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 $A B C D$ 为正方形，点 $A$ ， $B$ 在 $x$ 轴上，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 经过点 $B$ ， $D (- 4 ， 5)$ 两点，且与直线 $D C$ 交于另一点 $E$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、 $F$ 为抛物线对称轴上一点， $Q$ 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点 $Q$ ， $F$ ， $E$ ， $B$ 为顶点的四边形是以 $B E$ 为边的菱形.若存在，请求出点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、 $P$ 为 $y$ 轴上一点，过点 $P$ 作抛物线对称轴的垂线，垂足为 $M$ ，连接 $M E$ ， $B P$ .探究 $E M + M P + P B$ 是否存在最小值.若存在，请求出这个最小值及点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

查看试题解析
21. 已知抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 与x轴交于 $A ， B (4 ， 0)$ 两点，与y轴交于点 $C (0 ， 2)$ ，点P为第一象限抛物线上的点，连接 $C A ， C B ， P B ， P C$ ．

(1)、直接写出结果； $b =$ ， $c =$ ，点A的坐标为， $t a n ∠ A B C =$ ；

(2)、如图1，当 $∠ P C B = 2 ∠ O C A$ 时，求点P的坐标；

(3)、如图2，点D在y轴负半轴上， $O D = O B$ ，点Q为抛物线上一点， $∠ Q B D = 90 °$ ，点E，F分别为 $△ B D Q$ 的边 $D Q ， D B$ 上的动点， $Q E = D F$ ，记 $B E + Q F$ 的最小值为m．
①求m的值；

②设 $△ P C B$ 的面积为S，若 $S = \frac{1}{4} m^{2} - k$ ，请直接写出k的取值范围．

查看试题解析
22. 在平面直角坐标系中，如果点 $P$ 的横坐标和纵坐标相等，则称点 $P$ 为和谐点，例如：点 $(1 ， 1)$ ， $(\frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$ ， $(- \sqrt{2} ， - \sqrt{2})$ ， ……都是和谐点．

(1)、判断函数 $y = 2 x + 1$ 的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；

(2)、若二次函数 $y = a x^{2} + 6 x + c (a \neq 0)$ 的图象上有且只有一个和谐点 $(\frac{5}{2} ， \frac{5}{2})$ ．
①求 $a$ ， $c$ 的值；

②若 $1 \leq x \leq m$ 时，函数 $y = a x^{2} + 6 x + c + \frac{1}{4} (a \neq 0)$ 的最小值为－1，最大值为3，求实数 $m$ 的取值范围．

查看试题解析
23. 定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C₁：y＝x²+2x﹣3与抛物线C₂：y＝ax²+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C₁和抛物线C₂与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．

(1)、求抛物线C₂的解析式和点G的坐标．

(2)、点M是x轴下方抛物线C₁上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C₂于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．

(3)、如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

查看试题解析
24. 【发现问题】
小明在练习簿的横线上取点 $O$ 为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．
【提出问题】
小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．

(1)、【分析问题】
小明利用已学知识和经验，以圆心 $O$ 为原点，过点 $O$ 的横线所在直线为 $x$ 轴，过点 $O$ 且垂直于横线的直线为 $y$ 轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为．

(2)、【解决问题】
请帮助小明验证他的猜想是否成立．

(3)、【深度思考】
小明继续思考：设点 $P (0 ， m)$ ， $m$ 为正整数，以 $O P$ 为直径画 $⊙ M$ ，是否存在所描的点在 $⊙ M$ 上．若存在，求 $m$ 的值；若不存在，说明理由．

查看试题解析
25. 新定义：我们把抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （其中 $a b \neq 0$ ）与抛物线 $y = b x^{2} + a x + c$ 称为“关联抛物线”.例如：抛物线 $y = 2 x^{2} + 3 x + 1$ 的“关联抛物线”为： $y = 3 x^{2} + 2 x + 1$ .已知抛物线 $C_{1} ： y = 4 a x^{2} + a x + 4 a - 3 (a \neq 0)$ 的“关联抛物线”为 $C_{2}$ .

(1)、写出 $C_{2}$ 的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；

(2)、若 $a > 0$ ，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 于点M，N.
①当 $M N = 6 a$ 时，求点a的坐标；
②当 $a - 4 \leq x \leq a - 2$ 时， $C_{2}$ 的最大值与最小值的差为 $2 a$ ，求a的值.

查看试题解析
26. 【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长 $A D = 4 m$ ，宽 $A B = 1 m$ 的长方形水池 $A B C D$ 进行加长改造（如图①，改造后的水池 $A B N M$ 仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为 $12 m$ 的矩形水池 $E F G H$ （如图②，以下简称水池2）．
【建立模型】
如果设水池 $A B C D$ 的边 $A D$ 加长长度 $D M$ 为 $x (m) (x > 0)$ ，加长后水池1的总面积为 $y_{1} (m^{2})$ ，则 $y_{1}$ 关于 $x$ 的函数解析式为： $y_{1} = x + 4 (x > 0)$ ；设水池2的边 $E F$ 的长为 $x (m) (0 < x < 6)$ ，面积为 $y_{2} (m^{2})$ ，则 $y_{2}$ 关于 $x$ 的函数解析式为： $y_{2} = - x^{2} + 6 x (0 < x < 6)$ ，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③．
【问题解决】

(1)、若水池2的面积随 $E F$ 长度的增加而减小，则 $E F$ 长度的取值范围是（可省略单位），水池2面积的最大值是 $m^{2}$ ；

(2)、在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是，此时的 $x (m)$ 值是；

(3)、当水池1的面积大于水池2的面积时， $x (m)$ 的取值范围是；

(4)、在 $1 < x < 4$ 范围内，求两个水池面积差的最大值和此时 $x$ 的值；

(5)、假设水池 $A B C D$ 的边 $A D$ 的长度为 $b (m)$ ，其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积 $y_{3} (m^{2})$ 关于 $x (m) (x > 0)$ 的函数解析式为： $y_{3} = x + b (x > 0)$ ．若水池3与水池2的面积相等时， $x (m)$ 有唯一值，求 $b$ 的值．

查看试题解析
27. 定义：点P（m，m）是平面直角坐标系内一点，将函数l的图象位于直线x＝m左侧部分，以直线y＝m为对称轴翻折，得到新的函数l′的图象，我们称函数l′的函数是函数l的相关函数，函数l′的图象记作F₁ ，函数l的图象未翻折的部分记作F₂ ，图象F₁和F₂合起来记作图象F．
例如：函数l的解析式为y＝x²﹣1，当m＝1时，它的相关函数l′的解析式为y＝﹣x²+3（x＜1）．

(1)、如图，函数l的解析式为y＝﹣ $\frac{1}{2}$ x+2，当m＝﹣1时，它的相关函数l′的解析式为y＝．

(2)、函数l的解析式为y＝﹣ $\frac{3}{x}$ ，当m＝0时，图象F上某点的纵坐标为﹣2，求该点的横坐标．

(3)、已知函数l的解析式为y＝x²﹣4x+3，
①已知点A、B的坐标分别为（0，2）、（6，2），图象F与线段AB只有一个公共点时，结合函数图象，求m的取值范围；
②若点C（x，n）是图象F上任意一点，当m﹣2≤x≤5时，n的最小值始终保持不变，求m的取值范围（直接写出结果）．

查看试题解析
28. 如果关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的 $k ((k > 0)$ 倍，则称这样的方程为“k系方程”.如方程 $(x - 1) (x - 2) = 0$ 的两根分别为： $x_{1} = 1 ， x_{2} = 2 ， x_{2} = 2 x_{1}$ ，则方程 $(x - 1) (x - 2) = 0$ 为“2系方程”.

(1)、下列方程是“3系方程”的是（填序号即可）；
① $(3 x + 1) (x + 1) = 0$ ；② $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ ；③ ${(x - 4)}^{2} = 4$ .

(2)、若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 是“2系方程”.
①求证： $b^{2} - \frac{9}{2} a c = 0$ ；

②若 $c = 2$ ，且关于x的函数 $y = a x^{2} - \frac{b^{2}}{3} x + 2$ ，当 $\frac{1}{a} \leq x \leq \frac{2 a + 1}{a}$ 时的最大值为1，求a的值.

查看试题解析

	点位1	点位2	点位3	点位4	点位5	点位6	点位7
滑行时间 $x / s$	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3	…
滑行距离 $y / m$	0	1.625	4.5	8.625	14	20.625	28.5