2014年高考理数真题试卷（重庆卷）

试卷更新日期：2016-09-29 类型：高考真卷

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一、选择题：在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 在复平面内复数Z=i（1﹣2i）对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 对任意等比数列{a_n}，下列说法一定正确的是（）

A、a₁ ， a₃ ， a₉成等比数列 B、a₂ ， a₃ ， a₆成等比数列 C、a₂ ， a₄ ， a₈成等比数列 D、a₃ ， a₆ ， a₉成等比数列

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3. 已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数 $\bar{x}$ =3， $\bar{y}$ =3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）

A、 $\hat{y}$ =0.4x+2.3 B、 $\hat{y}$ =2x﹣2.4 C、 $\hat{y}$ =﹣2x+9.5 D、 $\hat{y}$ =﹣0.3x+4.4

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4. 已知向量 $\vec{a}$ =（k，3）， $\vec{b}$ =（1，4）， $\vec{c}$ =（2，1）且（2 $\vec{a}$ ﹣3 $\vec{b}$ ）⊥ $\vec{c}$ ，则实数k=（）

A、﹣ $\frac{9}{2}$ B、0 C、3 D、 $\frac{15}{2}$

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5. 执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（）

A、s＞ $\frac{1}{2}$ B、s＞ $\frac{3}{5}$ C、s＞ $\frac{7}{10}$ D、s＞ $\frac{4}{5}$

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6. 已知命题p：对任意x∈R，总有2^x＞0，q：“x＞0”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）

A、p∧q B、（￢p）∧（￢q） C、（￢p）∧q D、p∧（￢q）

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7. 某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为（）

A、54 B、60 C、66 D、72

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8. 设F₁ ， F₂分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF₁|+|PF₂|=3b，|PF₁|•|PF₂|= $\frac{9}{4}$ ab，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、3

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9. 某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）

A、72 B、120 C、144 D、168

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10. 已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+ $\frac{1}{2}$ ，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是（）

A、bc（b+c）＞8 B、ab（a+b）＞16 $\sqrt{2}$ C、6≤abc≤12 D、12≤abc≤24

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二、填空题

11. 设全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，则（∁_UA）∩B= ．

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12. 函数f（x）=log₂ $\sqrt{x}$ • $\log_{\sqrt{2}}$ （2x）的最小值为．

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13. 已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）²+（y﹣a）²=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a= ．

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三、选做题：考生注意（14）（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分

14. 过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC依次交圆于B、C，若PA=6，AC=8，BC=9，则AB= ．

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15. 已知直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 3 + t \end{matrix}$ （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin²θ﹣4cosθ=0（ρ≥0，0≤θ＜2π），则直线l与曲线C的公共点的极径ρ= ．

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16. 若不等式|2x﹣1|+|x+2|≥a²+ $\frac{1}{2}$ a+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是．

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四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知函数f（x）= $\sqrt{3}$ sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣ $\frac{π}{2}$ ≤φ＜ $\frac{π}{2}$ ）的图象关于直线x= $\frac{π}{3}$ 对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．

(1)、求ω和φ的值；

(2)、若f（ $\frac{α}{2}$ ）= $\frac{\sqrt{3}}{4}$ （ $\frac{1}{4}$ ＜α＜ $\frac{2 π}{3}$ ），求cos（α+ $\frac{3 π}{2}$ ）的值．

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18. 一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片．

(1)、求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；

(2)、X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．（注：若三个数字a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．）

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19. 如图，四棱锥P﹣ABCD，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD= $\frac{π}{3}$ ，M为BC上的一点，且BM= $\frac{1}{2}$ ，MP⊥AP．

(1)、求PO的长；

(2)、求二面角A﹣PM﹣C的正弦值．

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20. 已知函数f（x）=ae^2x﹣be^﹣^2x﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c．

(1)、确定a，b的值；

(2)、若c=3，判断f（x）的单调性；

(3)、若f（x）有极值，求c的取值范围．

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21. 如图，设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，点D在椭圆上．DF₁⊥F₁F₂ ， $\frac{| F_{1} F_{2} |}{| D F_{1} |}$ =2 $\sqrt{2}$ ，△DF₁F₂的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．

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22. 设a₁=1，a_n+1= $\sqrt{a_{n}^{2} - 2 a_{n} + 2}$ +b（n∈N^*）

(1)、若b=1，求a₂ ， a₃及数列{a_n}的通项公式；

(2)、若b=﹣1，问：是否存在实数c使得a_2n＜c＜a_2n+1对所有的n∈N^*成立，证明你的结论．

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