湖南省怀化市新晃侗族自治县2023-2024学年七年级下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2024-05-07 类型：期中考试

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一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）

1. 下列是二元一次方程的是（）

A、 $2 x - 1 = 5$ B、 $x^{2} + y = 1$ C、 $y + \frac{1}{x} = 2$ D、 $x + 2 y = 3$

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2. 若 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = - 1 \end{array}$ 是关于 $x, y$ 的二元一次方程 $x + a y = 4$ 的一组解，则 $a$ 的值为（）

A、1 B、 $- 2$ C、 $- 3$ D、4

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3. 关于 $x 、 y$ 的二元一次方程 $2 x + y = 6$ 的自然数解有（）

A、3组 B、4组 C、5组 D、6组

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4. 把方程 $x - y = 1$ 改写成用含 $x$ 的式子表示 $y$ ，下列正确的是（）

A、 $x = y + 1$ B、 $y = x - 1$ C、 $y = x + 1$ D、 $y = 1 - x$

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5. 下面的计算，不正确的是（）

A、 $5 a^{3} - a^{3} = 4 a^{3}$ B、 $2^{m} \times 3^{n} = 6^{m + n}$ C、 ${(- a^{m})}^{2} = a^{2 m}$ D、 $- a^{2} \times (- a)^{3} = a^{5}$

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6. 若 $(x - 1) (x + 2) = x^{2} + a x + b$ ，则 $a, b$ 的值是（）

A、 $a = 1$ ， $b = 2$ B、 $a = - 1$ ， $b = 2$ C、 $a = 1$ ， $b = - 2$ D、 $a = - 1$ ， $b = - 2$

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7. 若 $(2 x + m) (x - 3)$ 的展开式中不含 $x$ 项，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $- 6$ B、0 C、3 D、6

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8. 在研究平方差公式时，我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形如图甲，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形如图乙，根据图甲、图乙阴影部分的面积关系，可以得到一个关于a ， b的等式是（）

A、 $a^{2} + b^{2} = (a + b) (a - b)$ B、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ C、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ D、 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

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9. 规定一种运算：a*b=ab+a+b，则a*（﹣b）+a*b的计算结果为（）

A、0 B、2a C、2b D、2ab

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10. 下列多项式因式分解：
① $x^{2} - 6 x y + 9 y^{2} = (x - 3 y)^{2}$ ；② $16 + a^{4} = (4 + a^{2}) (4 - a^{2})$ ；③ $25 a b^{2} + 10 a b + 5 b = 5 b (5 a b - 2 a)$ ；④ $x^{2} - (2 y)^{2} = (x - 2 y) (x + 2 y)$ ，其中正确的有（）

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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二、填空题（共8小题．每小题3分，共24分）

11. $8 a^{3} b^{2} - 12 a^{2} b^{3} c$ 中的公因式是．

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12. 因式分解： $a^{2} - 1$ =.

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13. 如果 $x^{2} - k x + 25$ 是一个完全平方式，那么k的值为

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14. 今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记本复习，发现一道题：-3xy(4y-2x-1)=-12xy²+6x²y+□，□的地方被墨水弄污了，你认为□处应填写.

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15. 已知 $3^{a} = 4, 3^{b} = 5$ ，则 $3^{a + b} =$ ．

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16. $4^{2020} \times (- 0.25)^{2021} =$ ．

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17. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前．书中记载了一个数学问题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”其大意是：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，绳子比长木短1尺，问长木多少尺？”设绳长 $x$ 尺，木长 $y$ 尺，可列方程组为．

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18. 已知实数 $a, b$ 满足 $(2 a^{2} + b^{2} + 1) (2 a^{2} + b^{2} - 1) = 80$ ，试求 $2 a^{2} + b^{2}$ 的值．
解：设 $2 a^{2} + b^{2} = m$ ．
原方程可化为 $(m + 1) (m - 1) = 80$ ，即 $m^{2} = 81$ ，解得 $m = \pm 9$ ．
∵ $2 a^{2} + b^{2} \geq 0, ∴ 2 a^{2} + b^{2} = 9$ ．
上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．请根据以上阅读材料，解决问题．
已知实数 $x, y$ 满足 $(2 x^{2} + 2 y^{2} - 1) (x^{2} + y^{2}) = 3$ ，则 $3 x^{2} + 3 y^{2} - 2$ 的值为．

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三、解答题（19--25题，每小题8分，26小题10分，共66分）

19. 解方程组：

(1)、 ${\begin{array}{l} 2 x + 3 y = 22 \\ x = y + 1 \end{array}$

(2)、 ${\begin{array}{l} 3 x + 2 y = 7 \\ 2 x - 4 y = 4 \end{array}$

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20. 分解因式：

(1)、 $a^{3} - 6 a^{2} + 9 a$ ；

(2)、 $x (x - 3) + 4 (x - 3)$ ．

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21. 先化简，再求值： $(2 x + 3 y) (2 x - 3 y) - x (3 x - 2 y)$ ，其中 $x = - 3$ ， $y = \frac{1}{2}$ ．

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22. 甲、乙两人共同计算一道整式乘法题 $(2 x + a) (3 x + b)$ ，甲由于把第一个多项式中的“ $+ a$ ”看成了“ $- a$ ”，得到的结果为 $6 x^{2} + 11 x - 10$ ；乙由于漏抄了第二个多项式中 $x$ 的系数，得到的结果为 $2 x^{2} - 9 x + 10$ ．请求出正确的 $a$ ， $b$ 的值．

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23. 已知 ${\begin{array}{l} ▲ x + • y = 1 \\ □ x - 7 y = 1 \end{array}$ 是一个被墨水污染的方程组．圆圆说：“这个方程组的解是 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = - 1 \end{array}$ ，而我由于看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是 ${\begin{array}{l} x = - 2 \\ y = 1 \end{array}$ ． ”请你根据以上信息，把方程组复原出来．

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24. 数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：
已知关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 3 x + 4 y = 3 ① \\ x + 2 y = 2 - 3 m ② \end{array}$ 的解满足 $2 x + 3 y = 1$ ③，求 $m$ 的值．

(1)、按照小云的方法， $x$ 的值为， $y$ 的值为；

(2)、请按照小辉的思路求出 $m$ 的值．

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25. 某工厂准备在春节前生产甲、乙两种型号的新年礼盒共60万套，两种礼盒的成本和售价如下表所示．

甲
乙
成本（元/套）
20
24
售价（元/套）
25
30

(1)、该工厂计划筹集资金1340万元，且全部用于生产甲、乙两种礼盒，则这两种礼盒各生产多少万套？

(2)、经过市场调查，该厂决定在原计划的基础上增加生产甲种礼盒m万套，增加生产乙种礼盒n万套（m ， n都为正整数），且两种礼盒售完后所获得的总利润恰为400万元，请问该工厂有几种生产方案？并写出所有可行的生产方案．

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26. 阅读材料：利用公式法，可以将一些形如 $a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的多项式变形为 $a {(x + m)}^{2} + n$ 的形式，我们把这样的变形方法叫做配方法，运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例如： $x^{2} + 4 x - 5 = x^{2} + 2 \times 2 x + 2^{2} - 2^{2} - 5 = {(x + 2)}^{2} - 9 = (x + 2 + 3) (x + 2 - 3) = (x + 5) (x - 1)$ ．
即： $x^{2} + 4 x - 5 = (x + 5) (x - 1)$ ．
根据以上材料，解答下列问题：

(1)、因式分解： $x^{2} - 2 x - 15$ ；

(2)、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 是 $△ A B C$ 的三边长，且满足 $a^{2} + b^{2} - 10 a - 12 b + 61 = 0$ ，求 $△ A B C$ 的最长边 $c$ 的取值范围；

(3)、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 是 $△ A B C$ 的三边长，且满足 $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 50 = 6 a + 8 b + 10 c$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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	甲	乙
成本（元/套）	20	24
售价（元/套）	25	30