湖北省荆州市2023-2024学年七年级下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2024-05-07 类型：期中考试

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一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1. 下列四个数中，最小的数是（）

A、0 B、3 C、 $- \sqrt{2}$ D、－1

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2. 如图，已知 $A B ∥ C D$ ， $∠ 2 = 115 °$ ，则 $∠ 1 =$ （）

A、55° B、65° C、75° D、85°

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3. 如图，将两个含30°角的直角三角板的最长边靠在一起滑动，可知直角边 $A B ∥ C D$ ，根据是（）

A、同位角相等，两直线平行 B、同旁内角互补，两直线平行 C、内错角相等，两直线平行 D、两直线平行，内错角相等

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4. 已知下列语句：①同位角相等；②相等的角是对顶角；③ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 是分数；④ $\sqrt{81}$ 的算术平方根是3；其中真命题是（）

A、① B、② C、③ D、④

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5. 如图，笑脸盖住的点的坐标可能为（）

A、 $(- 3, 2)$ B、 $(3, 2)$ C、 $(- 3, - 2)$ D、 $(3, - 2)$

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6. 在下面的正方形网格图中，标明了学校附近的一些地点，其中每一个小正方形网格的边长代表200m．在图中以正东和正北方向分别为x轴，y轴正方向，200m代表1个单位长度建立平面直角坐标系xOy ．若超市的坐标为 $(- 6, 2)$ ，体育馆的坐标为 $(2, - 3)$ ，则学校的坐标为（）

A、 $(- 4, - 4)$ B、 $(- 7, - 5)$ C、 $(- 5, - 7)$ D、 $(7, 5)$

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7. 如图， $A B ∥ C D$ ， CE平分 $∠ A C D$ ，若 $∠ A E C = 25 °$ ，则 $∠ A$ 的度数是（）

A、25° B、50° C、65° D、130°

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8. 若一个正方体水池的容积为20立方米，估计这个正方体的棱长（）

A、在4米至5米之间 B、在3米至4米之间 C、在2米至3米之间 D、在1米至2米之间

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9. 如图，数轴上表示1和 $\sqrt{2}$ 的对应点分别为A ， B ，若 $A B = A C$ ，则C点表示的数为（）

A、 $2 - \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2} - 2$ C、 $1 - \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2} - 1$

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10. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动一个单位长度，依次得到点 $P_{1} (0, 1)$ ， $P_{2} (1, 1)$ ， $P_{3} (1, 0)$ ， $P_{4} (1, - 1)$ ， $P_{5} (2, - 1)$ ， $P_{6} (2, 0)$ ， ……，则点 $P_{2024}$ 的坐标是（）

A、 $(675, - 1)$ B、 $(675, 1)$ C、 $(674, - 1)$ D、 $(674, 1)$

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二、填空题（共5题，每题3分，共15分）

11. 在平面直角坐标系中，若点 $A (m + 1, m - 2)$ 在x轴上，则 $m =$ ．

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12. 如图所示，请添加一个条件，使 $A B ∥ C E$ ，则添加的条件为（写出一个即可）．

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13. 若 $\sqrt{5}$ 的整数部分为m ， $\sqrt{3}$ 的小数部分为n ，则 $m + 2 n =$ ．

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14. 如图是一块从一个边长为7cm的正方形材料中剪出的垫片，现测得 $G F = 1 c m$ ，则这个剪出的垫片图形的周长是cm．

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15. 如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知 $A B ∥ C D$ ， $C G ∥ E F$ ， $∠ B A G = 145 °$ ， $∠ C = 130 °$ ，则 $∠ A G C$ 的度数为．

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三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16. 计算： $\sqrt{16} + \sqrt[3]{- 27} - \sqrt{{(- 5)}^{2}} + | \sqrt{3} - 2 |$ ．

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17. 求下列各式中x的值：

(1)、 ${(x - 1)}^{2} = 36$

(2)、 $x^{3} + 1 = \frac{7}{8}$

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18. 如图，已知 $D G ∥ B A$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ ， $∠ A D F = 95 °$ ．将求 $∠ E F D$ 的过程补充完整．
解：∵ $D G ∥ B A$ （已知），
∴ $∠ 1 = ∠ 3$ （），
∵ $∠ 1 = ∠ 2$ （已知），
∴ $∠ 2 = ∠ 3$ （），
∴ $E F ∥$ ▲ ( ），
∴ $∠ A D F + ∠ E F D = 180 °$ （），
∵ $∠ A D F = 95 °$ （已知），
∴ $∠ E F D =$ ▲ .．

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19. 如图，直线AB与CD相交于点O ， $O M ⊥ A B$ ．

(1)、若 $∠ 1 = ∠ 2$ ，求证 $O N ⊥ C D$ ；

(2)、若 $∠ 1 = \frac{1}{2} ∠ B O D$ ，求 $∠ B O C$ 的度数．

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20. 如图，在平面直角坐标系中， $A (- 1, - 2)$ ， $B (- 2, - 4)$ ， $C (- 4, - 1)$ ．

(1)、把三角形ABC先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ ，请画出三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ ，并写出点 $B^{'}$ ， $C^{'}$ 的坐标；

(2)、求三角形ABC的面积．

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21. 在平面直角坐标系中，已知点 $A (m - 2, - 3)$ ， $B (2 m + 1, 1 - m)$ ， $C (n + 1, n)$ ．

(1)、若 $A B ∥ y$ 轴，求A ， B两点间的距离；

(2)、若 $C D ⊥ y$ 轴于点D ，且 $C D = 3$ 时，求点C的坐标．

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22. 如图， $B D ⊥ A C$ 于点D ， $E F ⊥ A C$ 于点F ， $∠ A D M = ∠ C$ ， $∠ 1 = ∠ 2 = 25 °$ ．（要求写明与平行线的性质和判定相关的推理根据）

(1)、求 $∠ A F G$ 的度数；

(2)、求证： $M D ∥ G F$ ．

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23. 先观察下列等式，再回答问题：第一个等式 $\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} = 1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{2} = 1 \frac{1}{2}$ ；第二个等式 $\sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = 1 \frac{1}{6}$ ；第三个等式 $\sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} = 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = 1 \frac{1}{12}$ ．

(1)、根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式；

(2)、请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）；

(3)、对于任何实数a ， $[a]$ 表示不超过a的最大整数，如 $[3] = 3$ ， $[\sqrt{5}] = 2$ ，计算： $[\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} + ⋯ + \sqrt{1 + \frac{1}{202 3^{2}} + \frac{1}{202 4^{2}}}]$ 的值．

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24. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点 $A (a, b)$ 分别作x轴、y轴的垂线，交x轴于点C ，交y轴于点B ，动点P从点C出发，沿C→A→B以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，运动时间为t（秒），a ， b满足 $\sqrt{a - 15} + | 9 - b | = 0$ ．

(1)、直接写出点B和点C的坐标；

(2)、用含t的式子表示线段AP的长，并写出t的取值范围；

(3)、已知点 $D (3, 0)$ ，连接PD ， AD ，在（2）条件下是否存在t值，使四边形ABOD的面积是三角形APD的面积的3倍，若存在，请求出t值及点P的坐标，若不存在，请说明理由．

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