湖北省荆州市2023-2024学年八年级下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2024-05-07 类型：期中考试

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一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1. 能作为直角三角形的三边长的一组数是（）

A、1，2，3 B、6，9，12 C、6，8，10 D、 $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{4}$ ， $\sqrt{5}$

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2. 下列条件中不能判定四边形 $A B C D$ 是平行四边形的是（）

A、 $A B ∥ C D$ ， $A D ∥ B C$ B、 $A D = B C$ ， $A B ∥ C D$ C、 $∠ A = ∠ C$ ， $∠ B = ∠ D$ D、 $A B = C D$ ， $A D = B C$

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3. 下列各式能与 $\sqrt{3}$ 合并的是（）

A、 $\sqrt{12}$ B、 $\sqrt{18}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{9}$

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{5} - \sqrt{5} = 2$ C、 $\sqrt{12} = 4 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{10} \div \sqrt{5} = \sqrt{2}$

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5. 图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三国角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形 $O A B C$ .若 $A B = B C = 1$ ，且 $∠ A O B = 30 °$ ，则 $O C$ 的长度为（）

A、3 B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{3}$

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6. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点O ， E是 $A B$ 的中点，若菱形 $A B C D$ 的周长为24，则 $E O$ 的长为（）

A、12 B、6 C、4 D、3

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7. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点O ， $∠ B O C = 120 °$ ， $A C = 2$ ，则 $A D$ 的长为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{3}$ C、1 D、2

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8. 在 $▱ A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B E$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A D$ 于点E ，若点E分 $A D$ 为 $1 : 3$ 两部分，则 $D E$ 的长为（）

A、1 B、1或9 C、4 D、4或12

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9. 《九章算术》提供了许多组勾股数，如 $(3, 4, 5)$ ， $(5, 12, 13)$ ， $(7, 24, 25)$ 等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”.后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个整数构成一组勾股数；若m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1得到两个整数，那么m与这两个整数构成一组勾股数.由上述方法得到的勾股数称为“由m生成的勾股数”.根据以上规律，“由10生成的勾股数”的“弦数”为（）

A、26 B、101 C、13 D、24

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10. 如图，在边长为1的正方形 $A B C D$ 中，连接 $B D$ ， $B E$ 平分 $∠ A B D$ 交 $A D$ 于点E ， F是 $A D$ 边上一点，连接 $C F$ 交 $B D$ 于点G ， $C F = B E$ ，连接 $A G$ 交 $B E$ 于点H.在下列结论中：① $△ A B E ≌ △ D C F$ ；② $A G = C G$ ；③ $B E ⊥ A G$ ；④ $D F = \sqrt{2} - 1$ ，其中正确的结论是（）

A、①②③ B、①④ C、①②③④ D、②③④

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二、填空题（共5题，每题3分，共15分）

11. 使代数式 $\sqrt{x - 1}$ 有意义的x的取值范围是．

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12. 已知，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点O ，请添加一个条件，使四边形 $A B C D$ 是菱形，则添加的条件为（写出一个即可）.

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13. 已知x ， y是有理数，且 $y = \sqrt{x - 2} + \sqrt{2 - x} + 6$ ，则 $\sqrt{x y}$ 化简的结果为.

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14. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地高度 $A B = 2.7$ 米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开.一个身高1.5米的学生 $C D$ 正对门，走到离门1.6米的地方时（ $B C = 1.6$ 米），感应门自动打开，此时，学生头顶离感应器的距离为米.

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15. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点E在边 $A D$ 上， $A E = 2$ ，点P ， Q分别是直线 $B C$ ， $A B$ 上的两个动点，将 $△ A E Q$ 沿 $E Q$ 翻折，使点A落在点F处，连接 $P D$ ， $P F$ ，若正方形的边长为12，则 $P D + P F$ 的最小值为.

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三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16. 计算： ${(\sqrt{3} - 2)}^{2} + (3 \sqrt{15} - \sqrt{20}) \div \sqrt{5}$

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17. 已知 $x = \sqrt{2} + 1$ ， $y = \sqrt{2} - 1$ ，求下列各式的值：

(1)、 $x^{2} - y^{2}$ ；

(2)、 $x^{2} + 2 x y + y^{2}$ .

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18. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点E ， F在 $B C$ 边上， $A F$ ， $D E$ 交于点M ，且 $A M = D M$ .求证： $B F = C E$ .

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19. 数学活动课上，李老师要求各学习小组自主设计班徽，奋进组设计的图案背景如图所示，四边形 $A B C D$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 3 c m$ ， $B C = 4 c m$ ， $C D = 13 c m$ ， $A D = 12 c m$ ，求背景图案四边形 $A B C D$ 的面积.

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20. 如图，在 $5 \times 8$ 的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，已知格点 $△ A B C$ ，按要求用无刻度直尺画图（结果用实线表示，其他辅助线用虚线表示）.

(1)、如图1，画出 $B C$ 边上的中线 $A M$ ；

(2)、如图2，①在网格中画出 $▱ A B C D$ ；
②点P为 $B C$ 与网格线的交点，画出经过点P且平分 $▱ A B C D$ 的面积的直线 $P Q$ .

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21. 如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向 $340 k m$ 的B处有一台风中心，沿 $B C$ 方向以 $20 k m / h$ 的速度移动，已知城市A到 $B C$ 的距离 $A D$ 为 $160 k m$ ，

(1)、台风中心经过多长时间从B点移到D点？

(2)、如果在距台风中心 $200 k m$ 的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？

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22. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点O ， F是 $A B$ 的中点，连接 $O F$ 并延长到点E ，使 $F E = O F$ ，连接 $A E$ ， $B E$ .

(1)、求证：四边形 $A O B E$ 是矩形；

(2)、若 $A E = 2$ ， $∠ A F E = 60 °$ ，求菱形 $A B C D$ 的面积.

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23. 观察下列等式：① $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = \sqrt{2} - 1$ ；
② $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ；③ $\frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{4} - \sqrt{3}}{(\sqrt{4} + \sqrt{3}) (\sqrt{4} - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ ；……；像 $(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 1$ ， $\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5$ ，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式.例如： $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ 与 $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ ， $\sqrt{5}$ 与 $\sqrt{5}$ ， $2 \sqrt{3} - 5 \sqrt{2}$ 与 $2 \sqrt{3} + 5 \sqrt{2}$ 等都是互为有理化因式.进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请解答下列问题：

(1)、化简：① $\frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ；② $\frac{3}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$ ；

(2)、计算： $(\frac{2}{\sqrt{3} + 1} + \frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + ⋯ + \frac{2}{\sqrt{2025} + \sqrt{2023}}) (\sqrt{2025} + 1)$ ；

(3)、已知 $a = \sqrt{2025} - \sqrt{2024}$ ， $b = \sqrt{2024} - \sqrt{2023}$ ，试比较a ， b的大小，则ab.（填“<”“＞”或“=”）

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24.

(1)、【方法回顾】如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形 $A B O C$ 为正方形，直线l经过点A ， $B E ⊥ l$ 于点E ， $C F ⊥ l$ 于点F ，若点A的坐标为 $(- \sqrt{10}, \sqrt{10})$ ， $C F = 3$ ，求 $E F$ 的长；

(2)、【问题解决】如图2，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形 $A B O C$ 为菱形，直线 $l ⊥ A C$ 于点A交 $O B$ 于点P ， $B E ⊥ A B$ 交l于点E ，点F在 $A P$ 上，且 $∠ A C F = ∠ B A E$ ，若 $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $E F = 2$ ，求点E ， F的坐标；

(3)、【思维拓展】如图3，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形 $A B O C$ 为矩形，直线l分 $∠ B A C$ 为 $1 : 2$ 两部分， $B E ⊥ l$ 于点E ， $C F ⊥ l$ 于点F ，若点F的坐标为 $(- 3 \sqrt{3}, - 1)$ ，直接写出点E的坐标.

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