广东省惠州市惠阳区城乡教育共同体（第五组）2023-2024学年八年级下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2024-05-07 类型：期中考试

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 要使 $\frac{x}{\sqrt{1 - x}}$ 有意义，则实数x的取值范围是（）

A、 $x \leq 1$ B、 $x \leq 1$ 且 $x \neq 0$ C、 $x < 1$ 且 $x \neq 0$ D、 $x < 1$

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2. 与 $\sqrt{2}$ 是同类二次根式的是（）

A、 $\sqrt{\frac{1}{4}}$ B、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ C、 $\sqrt{4}$ D、 $\sqrt{6}$

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3. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）

A、4，5，6 B、2，3，4 C、 $\sqrt{7}$ ，3，4 D、1， $\sqrt{2}$ ，3

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4. 直角三角形的斜边长为6cm，则斜边上的中线长为（）

A、2cm B、2.5cm C、3cm D、4cm

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5. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 $A B C D$ 的顶点 $A 、 D$ 在 $x$ 轴上，顶点 $B$ 在 $y$ 轴上，且 $A 、 B$ 的坐标分别是 $(- 3, 0) ， (0, 4)$ ，则顶点 $C$ 的坐标是（）

A、 $(4, 3)$ B、 $(5, 3)$ C、 $(5, 4)$ D、 $(4, 5)$

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6. 如图， $▱ A B C D$ 中， $B E$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A D$ 于E ，若 $∠ C = 56 °$ ，则 $∠ B E D$ 度数为（）

A、 $112 °$ B、 $118 °$ C、 $119 °$ D、 $120 °$

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7. 如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点D落在点E处，AE与边BC的交点为M ．已知：AB=1，BC=2，则BM的长等于（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{5}{6}$

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8. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，下列条说法不正确的是（）

A、 $A D = B C$ B、 $O B = O D$ C、 $∠ A B O = ∠ D C O$ D、 $∠ B A D = ∠ B C D$

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9. 如图，在边长为7的正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $B C$ 边上一点， $F$ 为 $A D$ 边上一点，连接 $A E$ 、 $E F$ ，将 $△ A B E$ 沿 $E F$ 折叠，使点 $A$ 恰好落在 $C D$ 边上的 $A^{'}$ 处，若 $A^{'} D = 2$ ，则 $B^{^{'}} E$ 的长度为（）

A、 $\frac{27}{14}$ B、 $\frac{13}{7}$ C、 $\frac{25}{14}$ D、2

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10. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A D = 6 ， A B = 8$ ，点G是边 $A B$ 上的一点，点P是 $B C$ 边上的一个动点，连接 $D G$ ， $G P$ ，点E ， F分别是 $G D$ ， $G P$ 的中点，在点P的运动过程中， $E F$ 的最大长度为（）

A、5 B、6 C、8 D、不能确定

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二、填空题（每题4分，共28分）

11. “矩形的对角线相等”的逆命题为，该逆命题是命题（真、假）

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12. 若 $y = \sqrt{x - 4} + \sqrt{4 - x} + 2$ ，则 $x^{y}$ =.

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13. 如下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 $7 c m$ ，则正方形A ， B ， C ， D的面积之和为 $c m^{2}$ .

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14. 如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形，则留下部分的面积为 $c m^{2}$ ．

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15. 对于任意不相等的两个实数 $a$ ， $b$ ，新定义一种运算“※”如下： $a$ ※ $b = \frac{\sqrt{a} \times \sqrt{b}}{\sqrt{b - a - 1}}$ ，则2※ $6 =$ ．

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16. 如图，在一张矩形纸片ABCD中，AD=4cm，点E，F分别是CD和AB的中点，现将这张纸片折叠，使点B落在EF上的点G处，折痕为AH，若HG延长线恰好经过点D，则CD的长为.

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17. 如图，在直角坐标系中，四边形 $A B C D$ 是正方形， $A (1, - 1)$ ， $B (- 1, - 1)$ ， $C (- 1, 1)$ ， $D (1, 1)$ ．曲线 $A A_{1}$ 、 $A_{1} A_{2}$ 、 $A_{2} A_{3} \dots$ 叫做“正方形的渐开线”，其中弧 $A A_{1}$ 、弧 $A_{1} A_{2}$ 、弧 $A_{2} A_{3}$ 、弧 $A_{3} A_{4}$ 、 $\dots$ 的圆心依次是点 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $A$ 循环，则点 $A_{2024}$ 的坐标是．

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三、解答题（每题6分，共18分）

18. 计算： $\sqrt{48} + \sqrt{3} (\sqrt{3} - 1) - 3^{0} - | \sqrt{3} - 2 |$ ．

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19. 如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．AD＝1，BD＝4，CD＝2．求证：∠ACB＝90°．

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20. 如图所示，已知平行四边形ABCD的对角线交于O，过O作直线交AB、CD的反向延长线于E、F，求证：OE＝OF.

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四、解答题（每题8分，共24分）

21. $a = \sqrt{3} + 1$ ， $b = \sqrt{3} - 1$ ，求下列代数式的值．

(1)、 $a^{2} b + a b^{2}$

(2)、 $a^{2} - a b + b^{2}$

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22. 如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由 $45 °$ 改为 $30 °$ ．已知原传送带AB长为 $6 \sqrt{2} m$ ．

(1)、新传送带 $A C =$ $m$ ；

(2)、如果需要在货物着地点C的左侧留出 $5 m$ 的通道，试判断与B点距离为 $6 \sqrt{3} m$ 的货物 $M N Q P$ 是否需要挪走，并说明理由．

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23. 如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $A E ⊥ B C ， A F ⊥ C D$ ，垂足分别为 $E ， F$ ，且 $B E = D F$ ．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是菱形；

(2)、连接EF并延长，交AD的延长线于点G，若 $∠ C E G = 30 ° ， A E = 2$ ，求EG的长．

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五、解答题（每题10分，共20分）

24. 阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 $\frac{5}{\sqrt{3}}, \sqrt{\frac{2}{3}}, \frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
$\frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ （一），
$\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{2 \times 3}{3 \times 3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ （二），
$\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{{(\sqrt{3})}^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3} - 1$ （三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
$\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 还可以用以下方法化简： $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{3 - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{{(\sqrt{3})}^{2} - 1^{2}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{3} + 1} = \sqrt{3} - 1$ （四）

(1)、直接写出化简结果① $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} =$ ， ② $\frac{1}{\sqrt{5}} =$ ．

(2)、请选择适当的方法化简 $\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ ．

(3)、化简： $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{2 n + 1} + \sqrt{2 n - 1}}$ ．

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25. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C = 5$ ，过点A作 $A D ⊥ B C$ 交 $B C$ 于点D ， $A D = 4$ ．动点P从点B出发(点P不与点A、点D重合)，沿折线 $B A － A D$ 向终点D运动，在 $B A$ 边上运动时速度为每秒1个单位长度，在 $A D$ 边上运动时速度为每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒( $t > 0$ )．

(1)、线段 $A C$ 的长为；当点P在边 $A D$ 上运动时 $A P =$ (用含t的式子表示)；

(2)、当 $D P ⊥ A B$ 时， $D P =$ ； $t =$ ；

(3)、若点P运动到 $∠ A B C$ 的角平分线上时，直接写出线段 $D P$ 的长；

(4)、在整个运动过程中，当 $C P$ 与 $△ A B C$ 的一边垂直时，直接写出此时t的值．

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