浙江省绍兴市柯桥区柯桥区秋瑾中学2023-2024学年九年级下学期数学4月月考试卷

试卷更新日期：2024-05-07 类型：月考试卷

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一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）

1. 2024的相反数是（）

A、2024 B、 $- 2024$ C、 $\frac{1}{2024}$ D、 $\pm 2024$

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2. 某种芯片每个探针单元的面积为0.00 000 64cm² ， 0.00 000 64用科学记数法表示为（）

A、6.4×10^－5 B、6.4×10⁶ C、6.4×10^－6 D、6.4×10⁵

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3. 下列运算，正确的是（）

A、 $4 a - 2 a = 2$ B、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ C、 $(a - b)^{2} = a^{2} - b^{2}$ D、 $(- a^{3} b)^{2} = a^{6} b^{2}$

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4. 一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（）

A、 $9 π$ B、 $6 π$ C、 $3 π$ D、 $(3 + \sqrt{3}) π$

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5. 某同学对数据16，20，20，36，5■，51进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（）

A、中位数 B、平均数 C、方差 D、众数

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6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，使点P到AB、BC的距离相等，则符合要求的作图痕迹（　　）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点D，C在 $⊙ O$ 上，连接 $A D$ ， $D C$ ， $A C$ ，如果 $∠ C = 65 °$ ，那么 $∠ B A D$ 的度数是（　　）

A、15° B、20° C、25° D、30°

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8. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ ， $y$ 与 $x$ 的部分对应值为：
$x$
$\dots$
$- 2$
$- 1$
0
1
2
$\dots$
$y$
$\dots$
$- 1$
2
3
2
？
$\dots$
关于此函数的图象和性质，下列说法正确的是（）

A、当 $x > 0$ 时，函数图象从左到右上升 B、抛物线开口向上 C、方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根在 $- 2$ 与 $- 1$ 之间 D、当 $x = 2$ 时， $y = 1$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D ⊥ A B$ 于点 $D$ ，点 $P$ 在线段 $D B$ 上，点 $M$ 是边 $A C$ 的中点，连接 $M P$ ，作 $∠ M P Q = 90 °$ ，点 $Q$ 在边 $B C$ 上，若 $A C = 6$ ， $B C = 8$ ，则（）

A、当 $C Q = 4$ 时，点 $P$ 与点 $D$ 重合 B、当 $C Q = 4$ 时， $∠ M P A = 30 °$ C、当 $P D = \frac{7}{5}$ 时， $C Q = 4$ D、当 $P M = P Q$ 时， $C Q = 4$

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10. 将两张全等的等腰直角三角形纸片 $△ A B H$ 与 $△ C D F$ 和一张正方形纸片 $E F G H$ 按照如图所示的方式拼成一个平行四边形 $A B C D$ ，同时形成了剩余部分（即 $△ B E F$ ， $△ B F C$ ， $△ A H D$ ， $△ H D G$ ），若只知道阴影部分的面积，则不能直接求出（）

A、 $△ B E F$ 的面积 B、 $△ C D F$ 的面积 C、平行四边形 $A B C D$ 的面积 D、剩余部分的面积之和与正方形 $E F G H$ 面积和

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二、填空题（本题有6小题．每小题4分，共24分）

11. 因式分解： $3 x^{2} - 27$ =.

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12. 已知点 $(- 1, a - 3)$ 位于第二象限，则a的取值范围是．

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13. 直线 $y = x + b$ 与 $y = m x + n$ 相交于点 $P (1 ， 2)$ ，则关于x，y的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} x - y + b = 0 \\ m x - y + n = 0 \end{array}$ 的解为.

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14. 如图，点A，C为函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 图象上的两点，过A，C分别作 $A B ⊥ x$ 轴， $C D ⊥ x$ 轴，垂足分别为B，D，连接 $O A$ ， $A C$ ， $O C$ ，线段 $O C$ 交 $A B$ 于点E，且点E恰好为 $O C$ 的中点．当 $△ A E C$ 的面积为 $\frac{3}{4}$ 时，k的值为．

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15. 若关于x的方程 $x^{2} - 2 k x + k - 3 = 0$ 的一个实数根 $x_{1} \geq 3$ ，另一个实数根 $x_{2} \leq 0$ ，则关于x的二次函数 $y = x^{2} - 2 k x + k - 3$ 图象的顶点到x轴距离h的取值范围是．

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16. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $∠ B = 60 °$ ，以点 $B$ 为圆心作半径为3的圆，其中点 $P$ 是圆上的动点，则 $P D + \frac{1}{2} P C$ 的最小值为．

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三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）

17. 计算：

(1)、 $| - 5 | + (\frac{1}{2})^{- 2} - (\sqrt{3} + 1)^{0} - 2 s i n 30 °$

(2)、 ${\begin{array}{l} x \geq 3 - 2 x ① \\ \frac{x - 1}{2} - \frac{x - 3}{6} < 1 ② \end{array}$

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18. 某中学开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球五项球类活动．为了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了 $m$ 名学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一项），并根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据统计图提供的信息，解答下列问题：

(1)、 $m =$ _▲_， $n =$ _▲_，并补全条形统计图；

(2)、若全校共有2000名学生，求该校约有多少名学生喜爱乒乓球；

(3)、在抽查的 $m$ 名学生中，学校打算从喜欢羽毛球运动的甲、乙、丙、丁四人中，选取2名参加区中学生羽毛球比赛，请用列表法或画树状图法求同时选中甲、乙的概率．

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19. 水龙头关团不严会通成滴水．现用一个含有显示水量的圆柱形水杯接水做如图1的试验，研究水杯内盛水量 $w (L)$ 与滴水时间 $t (h)$ 的关系，根据试验数据绘制出如图2的函数图象，结合图象解答下列问题．

(1)、求 $w$ 与 $t$ 之间的函数关系式．

(2)、若杯子容积为 $2.2 L$ ，计算杯子最多可以接多少时间的水？

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20. 如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高 $A B$ 为 $5 c m$ ，长度均为 $20 c m$ 的连杆 $B C$ ， $C D$ 与 $A B$ 始终在同一平面上．

(1)、转动连杆 $B C$ ， $C D$ ，使 $∠ B C D$ 成平角， $∠ A B C = 150 °$ ，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度 $D E$ ．

(2)、将（1）中的连杆 $C D$ 再绕点C逆时针旋转，使 $∠ B C D ＝ 165 °$ ，此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到 $0.1 c m$ ，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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21. 如图，割线ABC与⊙O相交于B、C两点，D为⊙O上一点，E为弧BC的中点，OE交BC于F ， DE交AC于G ， ∠ADG＝∠AGD ．

(1)、求证明：AD是⊙D的切线；

(2)、若∠A＝60°，⊙O的半径为4，求ED的长．

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22. 在 $△ A B C$ 中， $B A = B C$ ，在射线 $B C$ 上取点D，E，且 $B D < B E$ ，作 $△ A D E$ ，使 $D A = D E$ .

(1)、如图，当点D在线段 $B C$ 上时，且 $∠ B A D = 30 °$ .
①若 $∠ B = 40 °$ ，求 $∠ E A C$ 的度数.
②若 $∠ B \neq 40 °$ ，求 $∠ E A C$ 的度数.

(2)、当点D在 $B C$ 延长线上时，猜想 $∠ B A D$ 与 $∠ E A C$ 的数量关系并说明理由.

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23. 根据以下素材，探索完成任务．

如何设计喷水装置的高度？
素材1	图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心 $7 m$ 处达到最高，高度为 $5 m$ ．水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其底面直径 $C D$ 为 $12 m$ ，高 $C F$ 为1.8米．

素材2	如图3，拟在圆柱形蓄水池中心处建一喷水装置 $O P$ （ $O P ⊥ C D$ ，并从点P向四周喷射与图2中形状相同的抛物线形水柱，且满足以下条件： ①水柱的最高点与点P的高度差为 $0.8 m$ ； ②不能碰到图2中的水柱； ③落水点G ， M的间距满足： $G M : F M = 2 : 7$ ．

(1)、任务一：【确定水柱形状】在图2中以点O为坐标原点，水平方向为x轴建立直角坐标系，并求左边这条抛物线的函数表达式．

(2)、任务二：【探究落水点位置】在建立的坐标系中，求落水点G的坐标．

(3)、【拟定喷水装置的高度】求出喷水装置

O P

的高度．

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24. 定义：如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为双等腰四边形．

(1)、如图1，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = ∠ B C D = 90 °$ ，连结 $B D$ ，点 $E$ 是 $B D$ 的中点，连结 $A E$ ， $C E$ ．
①试判断四边形 $A B C E$ 是否是双等腰四边形，并说明理由；
②若 $∠ A E C = 90 °$ ，求 $∠ A B C$ 的度数；

(2)、如图2，点 $E$ 是矩形 $A B C D$ 内一点，点 $F$ 是边 $C D$ 上一点，四边形 $A E F D$ 是双等腰四边形，且 $A D = D E$ ．延长 $A E$ 交 $B C$ 于点 $G$ ，连结 $F G$ ．若 $A D = 5$ ， $∠ E F G = 90 °$ ， $\frac{C G}{F C} = \frac{3}{4}$ ，求 $A B$ 的长．

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$x$	$\dots$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	$\dots$
$y$	$\dots$	$- 1$	2	3	2	？	$\dots$