浙江省衢州市2024年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2024-05-07 类型：中考模拟

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一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分）

1. 家用冰箱冷冻室的温度需控制在 $- 4 ℃$ 到 $- 24 ℃$ 之间，则可将冷冻室的温度设为（）

A、 $0 ℃$ B、 $- 3 ℃$ C、 $- 18 ℃$ D、 $- 25 ℃$

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2. 下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 一个不透明的布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球．从中任意摸出1个球是红球的概率为（）

A、1 B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ C、 ${(a b^{3})}^{2} = a b^{6}$ D、 $2 a^{6} \div a^{3} = 2 a^{3}$

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5. 在平面直角坐标系中，将点 $A (- 1, 3)$ 向右平移3个单位得到点 $B$ ，则点 $B$ 的坐标为（）

A、 $(- 1, 6)$ B、 $(2, 3)$ C、 $(- 1, 0)$ D、 $(- 4, 3)$

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6. 今有三人共车，二车空：二人共车，九人步．问人与车各几何？（选自《孙子算经》）现假设有 $x$ 辆车，则有方程（）

A、 $3 (x - 2) = 2 x + 9$ B、 $3 x - 2 = 2 x + 9$ C、 $3 x - 2 = 2 (x + 9)$ D、 $3 (x - 2) = 2 (x + 9)$

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7. 不等式组 ${\begin{array}{l} 2 (x - 1) > x + 1 \\ \frac{5 x - 1}{4} \leq x + 1 \end{array}$ 的解集是（）

A、 $x > 3$ B、 $x \leq 2$ C、 $2 < x \leq 5$ D、 $3 < x \leq 5$

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8. 某款扫地机器人的俯视图是一个等宽曲边三角形 $A B C$ （分别以正 $△ A B C$ 的三个顶点A ， $B$ ， $C$ 为圆心， $A B$ 长为半径画弧得到的图形）．若已知 $A B = 6$ ，则曲边 $\overset{⌢}{A B}$ 的长为（）

A、 $π$ B、 $2 π$ C、 $6 π$ D、 $12 π$

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9. 某水文局测得一组关于降雨强度I和产汇流历时t的对应数据如下表（注：产汇流历时是指由降雨到产生径流所经历的时间），根据表中数据，可得t关于I的函数表达式近似为（　　）
降雨强度 $I (m m / h)$
4
6
8
10
12
14
产汇流历时 $t (h)$
18.0
12.1
9.0
7.2
6.0
5.1

A、 $t = \frac{72}{I}$ B、 $t = \frac{I}{72}$ C、 $t = - \frac{3}{2} I + 24$ D、 $t = - \frac{3}{4} I + 15$

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10. 已知二次函数 $y = x^{2} - 2 x - 3$ ，当 $m \leq x \leq m + 2$ 时，函数 $y$ 的最小值是 $- 4$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \geq 1$ B、 $m \leq 1$ C、 $- 1 \leq m \leq 1$ D、 $0 \leq m \leq 2$

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二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分）

11. 已知三角形两边长为3，4，则第三条边的长可以是（写出一种即可）．

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12. 国际上把 $5.0$ 及以上作为正常视力，下图是某校学生的视力情况统计图，已知该校视力正常的学生有 $500$ 人，则未达到正常视力的学生人数为．

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13. 篮球比赛规则规定：赢一场得2分，输一场得1分．某次比赛甲球队赢了 $x$ 场，输了 $y$ 场，积20分．若用含 $x$ 的代数式表示 $y$ ，则有 $y =$ ．

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14. 在 $⊙ O$ 中，半径 $O A = 2$ ，弦 $A B = 2 \sqrt{3}$ ，则弦 $A B$ 所对的圆周角大小为度．

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15. 某校为了解学生在校午餐所需的时间，抽查了 $20$ 名同学在校午餐所花的时间，获得如下数据（单位：分）： $9 ， 12 ， 15 ， 10 ， 16 ， 18 ， 19 ， 18 ， 20 ， 38 ， 22 ， 25 ， 20 ， 18 ， 18 ， 20 ， 15 ， 16 ， 21 ， 16$ ．若将这些数据分为6组，制作频数表，则频数最大的组是．

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16. 如图，是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形 $E F G H$ 拼成的赵爽弦图，连结 $C E$ 并延长，交 $B G$ 于点 $M$ ，交 $A B$ 于点 $N$ ．记 $△ N A E$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ C G M$ 的面积为 $S_{2}$ ．

(1)、若 $N A = N E$ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值为．

(2)、若 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{1}{3}$ ，且 $E F = 9$ ，则 $A E$ 的长度为．

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三、解答题（本题有8小题，共72分．第17～18题每题6分，第1920题每题8分，第21～22题每题10分，第23～24题每题12分，请务必写出解答过程）

17. 计算： $2 \times (- 3) - \sqrt{4} + | - 3 | + {(π - 1)}^{0}$ ．

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18. 化简： $\frac{2}{a^{2} - 2 a} - \frac{1}{a - 2}$ ．

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19. 如图，在 $5 \times 5$ 的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，点 $A$ ， $B$ 位于格点处．

(1)、分别在图1，图2中画出两个不全等的格点 $△ A B C$ ，使其内部（不含边）均有2个格点．

(2)、任选一个你所画的格点 $△ A B C$ ，判断其是否为等腰三角形并说明理由．

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20. 某市组织九年级20000名学生参加“一路书香，去阿克苏”的捐书活动，每人可捐书1～4本．为估计本次活动的捐书总数，随机抽查了400名学生的捐赠情况，绘制了如图所示的条形统计图（A：捐1本：B：捐2本；C：捐3本：D：捐4本）．
分析：根据“用样本估计总体”这一统计思想，既可以先求出被抽查的400名同学的人均捐书数，继而估算20000名同学的捐书总数；也可以……
请根据分析，给出两种方法估计本次活动捐书总数，写出你的解答过程．

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21. 我市“一户一表、抄表到户”居民生活用水实行阶梯水价，三级收费标准如下表，每户每年应缴水费 $y$ （元）与用水量 $x (m^{3})$ 关系如图．
分类
用水量 $x (m^{3})$
单价（元/ $m^{3}$ ）
第1级
不超过300
$a$
第2级
超过300不超过480的部分
$k$
第3级
超过480的部分
$6.2$
根据图表信息，解答下列问题：

(1)、小南家2022年用水量为 $400 m^{3}$ ，共缴水费1168元．求 $a$ ， $k$ 及线段 $A B$ 的函数表达式．

(2)、小南家2023年用水量增加，共缴水费 $1516.4$ 元，求2023年小南家用水量．

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22. 已知矩形纸片 $A B C D$ ．
第①步：将纸片沿 $A E$ 折叠，使点 $D$ 与 $B C$ 边上的点 $F$ 重合，展开纸片，连结 $A F$ ， $D F$ ， $D F$ 与 $A E$ 相交于点 $O$ （如图1）．
第②步：将纸片继续沿 $D F$ 折叠，点 $C$ 的对应点 $G$ 恰好落在 $A F$ 上，展开纸片，连接 $D G$ ，与 $A E$ 交于点 $H$ （如图2）．

(1)、请猜想 $D E$ 和 $D H$ 的数量关系并证明你的结论．

(2)、已知 $D E = 5$ ， $C E = 4$ ，求 $t a n ∠ C D F$ 的值和 $A H$ 的长．

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23. 综合与实践

矩形种植园最大面积探究
情境	实践基地有一长为12米的墙 $M N$ ，研究小组想利用墙 $M N$ 和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园．假设矩形一边 $C D = x$ ，矩形种植园的面积为 $S$ ．
分析	要探究面积 $S$ 的最大值，首先应将另一边 $B C$ 用含 $x$ 的代数式表示，从而得到 $S$ 关于 $x$ 的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值．
探究	思考一：将墙 $M N$ 的一部分用来替代篱笆按图1的方案围成矩形种植园（边 $A B$ 为墙 $M N$ 的一部分）．
	思考二：将墙 $M N$ 的全部用来替代篱笆按图2方案围成矩形种植园（墙 $M N$ 为边 $A B$ 的一部分）．

(1)、【解决问题】根据分析，分别求出两种方案中的

S

的最大值；比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少．

(2)、【类比应用】若“情境”中篱笆长为20米，其余条件不变，请画出矩形种植园面积最大的方案示意图（标注边长）．

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24. 在 $△ A B C$ 中，⊙O是 $△ A B C$ 的外接圆，连结 $C O$ 并延长，交 $A B$ 于点 $D$ ，交⊙O于点 $E$ ， $∠ A C E = 2 ∠ B C E$ ．连结 $O B$ ， $B E$ ．

(1)、求证： $∠ A B E = ∠ E O B$ ．

(2)、求证： $B D^{2} = \frac{1}{2} E D \cdot E C$ ．

(3)、已知 $A C = 2 E B$ ， $A B = 11$ ，是否能确定⊙O的大小？若能，请求出⊙O的直径；若不能，请说明理由．

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降雨强度 $I (m m / h)$	4	6	8	10	12	14
产汇流历时 $t (h)$	18.0	12.1	9.0	7.2	6.0	5.1

分类	用水量 $x (m^{3})$	单价（元/ $m^{3}$ ）
第1级	不超过300	$a$
第2级	超过300不超过480的部分	$k$
第3级	超过480的部分	$6.2$