湖北省武汉市黄陂区、蔡甸区2023-2024学年八年级下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2024-05-07 类型：期中考试

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一、选择题（每小题3分，共30分）

1. 化简 $\sqrt{9}$ 的结果是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、3 C、 $\pm \sqrt{3}$ D、 $\pm 3$

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2. 下列二次根式中，最简二次根式是（）

A、 $\sqrt{8}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{4}$ D、 $\sqrt{0.2}$

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3. 已知直角三角形的两条直角边的长分别为1，3，则斜边的长是（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{10}$

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{5} - \sqrt{3} = \sqrt{2}$ B、 $2 + \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ D、 $\sqrt{6} \div \sqrt{3} = \sqrt{3}$

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5. 矩形是特殊的平行四边形，下列性质矩形具有而平行四边形不一定具有的是（）

A、对边平行 B、对边相等 C、对角线互相平分 D、对角线相等

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6. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A C = 8, B D = 12$ ．则 $B C$ 边的长不可能是（）

A、3 B、5 C、8 D、10

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7. 四边形具有不稳定性，在如图所示平面直角坐标系中，矩形 $A B C D$ 的边 $A B$ 固定在 $x$ 轴上， $A (- 2, 0), B (4, 0)$ ．推动矩形得到平行四边形 $A B C^{'} D^{'}$ ，点 $D$ 的对应点 $D^{'}$ 恰好落在 $y$ 轴上．若 $A D = 4$ ，则点 $C$ 的对应点 $C^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(6, 4)$ B、 $(6, 2 \sqrt{3})$ C、 $(4, 2 \sqrt{3})$ D、 $(5, 3 \sqrt{2})$

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8. 正整数 $a, b$ 满足 $a > b$ ，且 $\sqrt{a}$ 和 $\sqrt{b}$ 是可以合并的二次根式，若 $\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{75}$ ， $\sqrt{a} - \sqrt{b} = \sqrt{27}$ ，则 $\sqrt{\frac{b}{a}}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、1

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9. 如图，以点 $O$ 为圆心的三个同心圆把以 $O A$ 为半径的大圆的面积四等分，已知 $O A = 2$ ，以另外三个圆的半径 $O B ， O C ， O D$ 为边的三角形的面积为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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10. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A B$ 上一点，将矩形的一角沿 $C E$ 向上折叠，点 $B$ 的对应点 $F$ 恰好落在边 $A D$ 上．若 $△ A E F$ 的周长为6， $△ C D F$ 的周长为12，则 $A F$ 的长为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、1

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二、填空题（每小题3分，共18分）

11. 若二次根式 $\sqrt{x - 2}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是．

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12. 如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，分别取AC， BC的中点D，E，量得DE的长为25米，则AB的长是米．

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13. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A B = 5, B C = 4$ ，连接 $A C, B D$ ，若 $∠ A C B = 90 °$ ，则 $B D$ 的长为．

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14. 学习了勾股定理之后，一天小明看着操场上的旗杆陷入了深思，有没有办法利用勾股定理测量旗杆的高度呢？通过观察，小明发现系在旗杆顶端的绳子垂下来距离地面 $1.6$ 米，如图（1），于是他将绳子拉开一段距离至点 $P$ ，测得绳端到旗杆的水平距离为 $1.6$ 米，到地面的垂直距离为 $1.8$ 米，如图（2），则该旗杆的高度为米．

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15. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $B F ⊥ A C$ 于点 $E$ ，交 $A D$ 于 $F, C E = C D$ ．下列说法：
① $E F = D F$ ；② $B E = A F$ ；③已知 $\frac{A F}{A D} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，则 $\frac{B E}{E F} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ ；④若 $B E = \sqrt{2}$ ，则 $\frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{B C^{2}} = \frac{1}{2}$ ．
其中一定正确的结论有（填序号即可）．

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16. 任意一个二次根式 $\sqrt{p}$ （ $p$ 为正整数），都可以进行这样的分解： $\sqrt{p} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ （ $a, b$ 都是正整数，且 $a \leq b$ ），在 $p$ 的所有这种分解中，若 $\sqrt{b} - \sqrt{a}$ 最小，我们就称 $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ 是 $\sqrt{p}$ 的最佳分解，并记为： $F (p) = \frac{a}{b}$ ．例如 $\sqrt{12}$ 可以分解成 $\sqrt{1} \times \sqrt{12}, \sqrt{2} \times \sqrt{6}$ 或 $\sqrt{3} \times \sqrt{4}$ ，显然 $\sqrt{3} \times \sqrt{4}$ 是 $\sqrt{12}$ 的最佳分解，此时 $F (12) = \frac{3}{4}$ ．若正整数 $m, n$ 满足 $F (m) = \frac{4}{5}$ ， $F (n) = 1$ ，且 $20 < m + n < 25$ ，则 $\sqrt{m n}$ 的值为．

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三、解答题（共72分）．

17. 计算：

(1)、 $\sqrt{12} \times \sqrt{20} \div \sqrt{5}$ ；

(2)、 $(\sqrt{24} - \sqrt{\frac{1}{2}}) - (\sqrt{8} + \sqrt{6})$ ．

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18. 已知：如图，▱ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．求证：BE＝DF．

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19. 已知： $a = \sqrt{3} + 1 ， b = \sqrt{3} - 1$ ．

(1)、直接写出 $a + b$ 的值为， $a b$ 的值为；

(2)、求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的值．

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20. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $B E ⊥ A D$ 于点 $E, A E = A D$ ．

(1)、求证：四边形 $A E B C$ 为矩形；

(2)、 $F$ 为 $C D$ 的中点，连接 $A F, B F$ ．若 $A B = 6, ∠ B A C = ∠ F B C$ ，求 $B F$ 的长．

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21. 在如图所示 $6 \times 6$ 小正方形组成的网格中，四边形 $A B C D$ 的四个顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺在给定图形中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题．

(1)、如图1，点 $E$ 是 $A D$ 上一点， $F$ 是 $D C$ 延长线上一点，在 $B C$ 上画点 $G, D E = B G$ ，再在格线上画点 $H$ ，使四边形 $B C F H$ 为矩形；

(2)、在图2中画格点 $K$ ，使四边形 $B D C K$ 为平行四边形，再在 $C K$ 上画点 $P$ ，连接 $A P$ ，使 $A P^{2} + C P^{2} = B D^{2}$ ．

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22. 背景知识：宽与长的比等于 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ （约为0.618）的矩形称为黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊帕特农神庙等．

(1)、如图，经测量，帕特农神庙的面宽约为31米，那么它的高度大约是米．（结果取整数）
实验操作：折一个黄金矩形
第一步，在矩形纸片的一端利用图1的方法折出一个正方形 $M N C B$ ，然后把纸片展平；
第二步：如图2，将正方形折成两个相等的矩形，再将其展平；
第三步：折出内侧矩形的对角线 $A B$ ，并将 $A B$ 折到图3所示的 $A D$ 处；
第四步，展平纸片，按照所得的点 $D$ 折出 $D F$ ，矩形 $B C D F$ 就是黄金矩形（如图4）．

(2)、问题思考：图4中是否还存在其它黄金矩形，请判断并说明理由；

(3)、以图3中的折痕 $A Q$ 为边，构造黄金矩形，若 $M N = 2$ ，则这个矩形的面积是（直接写出结果）．

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23. 在 $△ A B C$ 中， $A B ⊥ A C, A B = A C$ ．

(1)、如图1，点 $E, F$ 分别在 $A B, A C$ 上， $A E = A F$ ，连接 $E F, E C, M, N$ 分别为 $E F$ ， $E C$ 的中点，请直接写出 $M N$ 和 $B E$ 的数量关系是，位置关系是；

(2)、如图2， $E$ 是 $△ A B C$ 内一点， $△ A E F$ 为等腰直角三角形， $A F = E F$ ，连接 $E C, B E$ ，点 $N$ 为 $E C$ 的中点，连接 $F N$ ，判断 $F N$ 与 $B E$ 的关系并证明；

(3)、如图3， $E$ 是 $△ A B C$ 外一点， $△ A E F$ 为等腰直角三角形， $A F = E F$ ，点 $H$ 为 $B C$ 的中点，连接 $B E, F H$ ，已知 $B E = 10$ ，直接写出 $F H$ 的值为．

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24. 如图，在平面直角坐标系中， $A (a, b)$ 满足 $b = \sqrt{a - 6} + \sqrt{6 - a} + 10$ ，过点 $A$ 分别作 $A B ⊥ x$ 轴于点 $B, A C ⊥ y$ 轴于点 $C$ ．

(1)、直接写出点 $A$ 的坐标；

(2)、如图1，已知点 $D$ 为 $x$ 轴正半轴上一点，若 $∠ O A D = 45 °$ ，求点 $D$ 的坐标；

(3)、如图2，点 $P, Q$ 分别在线段 $O B, O C$ 上（不与端点重合）， $O Q = 2 O P$ ，连接 $A Q$ ， $P Q$ ，以 $A Q, P Q$ 为边向右侧作 $▱ A Q P H, P H$ 交 $A B$ 于点 $G$ ．若 $\frac{S_{△ A H G}}{S_{四边形 A Q P G}} = \frac{1}{3}$ ，求 $▱ A Q P H$ 的周长．

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