湖北省武汉市青山区2024年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2024-05-07 类型：中考模拟

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一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑

1. 实数2024的倒数是（）

A、 $- 2024$ B、2024 C、 $- \frac{1}{2024}$ D、 $\frac{1}{2024}$

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2. 下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. “经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯”这个事件是（）

A、确定性事件 B、随机事件 C、不可能事件 D、必然事件

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $(2 a + b) (2 a - b) = 4 a^{2} - b^{2}$ B、 $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ C、 ${(- 2 a^{2})}^{3} = - 6 a^{6}$ D、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$

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5. 如图，是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 关于反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k < 0)$ ，下列结论正确的是（）

A、图象位于第一、三象限； B、图象与坐标轴有交点； C、若图象经过点 $(1, - 2)$ ，则必经过点 $(2, - 1)$ ； D、图象上有两点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ ，若 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $y_{1} < y_{2}$ ．

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7. 从写有数字 $1, 2, 3$ 的3张卡片中任意抽取两张，摆成一个两位数，摆出的两位数是3的倍数的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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8. 一次越野跑中，前a秒钟小明跑了 $1600 m$ ，小刚跑了 $1450 m$ ，小明，小刚此后所跑的总路程y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，则图中b的值是（）

A、2050 B、2250 C、2890 D、3050

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9. 如图， $⊙ O$ 的弦 $A B, B C$ 在圆心O的两侧， $⊙ O$ 的直径为4，弦 $B C = 2 \sqrt{3}, D$ 为 $\overset{⌢}{A C}$ 上一动点 $D, ∠ A D B = 45 °$ ，若 $A E ⊥ B D$ 于点E ，当点D从点C运动到点A的过程中，点E运动的路径长为（）

A、 $2 π$ B、 $3 π$ C、 $\frac{5 \sqrt{2}}{6} π$ D、 $\frac{5 \sqrt{2}}{12} π$

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10. 如图，二次函数 $y = a x^{2}$ 和反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于点 $A (1, \sqrt{3})$ ，则关于x的方程 $a x^{2} + 2 \sqrt{3} x = \frac{k}{x} + 1$ 的解有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11. 据统计，2023年湖北省人民政府发行惠购湖北岁末消费券，带动消费71.6亿元，“71.6亿”用科学记数法表示为．

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12. 如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若 $∠ 2 = 48 °$ ，则 $∠ 1$ 的度数为 $°$ ．

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13. 已知，非零实数 $a, b$ 满足： $a = - 3 b - 2 a b$ ，则 $(\frac{2}{a - b} - \frac{1}{a + b}) \div \frac{a b}{a^{2} - b^{2}} =$ ．

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14. 如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为 $α, t a n α = 3$ ，无人机沿水平线 $A F$ 方向继续飞行 $80 m$ 至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为 $30 °$ ．无人机距地面的垂直高度用 $A M$ 表示，点 $M, C, D$ 在同一条直线上，若 $M C = 100 m$ ，则河流的宽度 $C D$ 为m．

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15. 如图，等边 $△ A B C$ 边长为 $6, E, F$ 分别是边 $B C, C A$ 上的一个动点，且 $B E = C F$ ，连接 $A E, B F$ ，交于点P ，则 $C P$ 的最小值为．

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16. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a, b, c$ 为常数，且 $a \neq 0$ ），其对称轴为直线 $x = 3$ ．下列结论：
① $a b c > 0$ ；
②若 $a > 0, M (x_{1}, y_{1}), N (x_{2}, y_{2})$ 是抛物线上两点 $(x_{1} < x_{2})$ ，若 $x_{1} + x_{2} > 6$ ，则 $y_{1} < y_{2}$ ；
③若方程 $| a x^{2} + b x + c | = a$ 有四个根，则这四个根的和为12；
④当 $c = - 7$ 时，若 $5 ⩽ x ⩽ 6$ ，对应y的整数值有4个，则 $\frac{3}{5} ⩽ a < \frac{4}{5}$ ．
其中正确的结论是．（填写序号）

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三、解答题（共8小题，共72分）

17. 求不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x + 7 ⩽ 3 x + 10, ① \\ \frac{2 x - 1}{3} < - 1 . ② \end{array}$ 的整数解．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C, B D = C D, A N$ 是 $△ A B C$ 外角 $∠ C A M$ 的平分线， $C E ⊥ A N$ 于点E ．

(1)、求证：四边形 $A D C E$ 为矩形；

(2)、当 $△ A B C$ 满足什么条件时，四边形 $A D C E$ 是一个正方形？请给出证明．

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19. 为宣传6月8日世界海洋日，某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动．为了解全年级1400名学生此次竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计图表．
成绩频数分布表
组别
分数/分
频数
组内学生的平均成绩/分
A
$60 ⩽ x < 70$
a
65
B
$70 ⩽ x < 80$
10
75
C
$80 ⩽ x < 90$
14
85
D
$90 ⩽ x ⩽ 100$
18
95
成绩扇形统计图
请根据图表信息，解答下列问题：

(1)、一共抽取了人，表中 $a =$ ，所抽取参赛学生成绩的中位数落在“组别”；

(2)、求所抽取的这些学生的平均成绩；

(3)、请你估计该校九年级竞赛成绩达到90分及以上的学生大约有多少人？

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20. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，C是 $⊙ O$ 上一点，过点C的直线交 $A B$ 的延长线于点 $D, A E ⊥ D C$ 于点E ，交 $⊙ O$ 于点 $F, A C$ 平分 $∠ B A E$ ．

(1)、求证： $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A E = 6, ∠ D = 30 °$ ，求图中阴影部分的面积．

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21. 如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点． $△ A B C$ 的三个顶点都是格点，仅用无刻度直尺在给定的网格中完成画图．
图1 图2

(1)、如图1，在边 $A C$ 上画点D ，使 $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，再在线段 $B D$ 上画点E ，使 $B E = 3 D E$ ；

(2)、如图2，P是边 $B C$ 上一点，先将 $B A$ 绕点B逆时针旋转，得到线段 $B F$ ，旋转角等于 $∠ A B C$ ，画出线段 $B F$ ，再画点Q ，使 $P, Q$ 两点关于直线 $A B$ 对称．

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22. 某广场建了一座圆形音乐喷水池，在池中心竖直安装一根水管 $O A$ ，安装在水管顶端A处的圆形喷头向四周喷水，且各个方向喷出的抛物线形水柱形状相同．如图1，以池中心O点为坐标原点，水平方向为x轴， $O A$ 所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．x轴上的点 $C, D$ 为水柱的落水点， $C D = 8 m, O A = 2 m$ ．抛物线最高点距y轴 $1.5 m$ ．
图1 图2

(1)、求图1中右边抛物线的解析式；

(2)、计划在图1中的线段 $O C$ 上的点B处竖立一座雕像 $B E, B E = \frac{21}{8} m$ ，若想雕像不碰到水柱，请直接写出线段 $O B$ 的取值范围；

(3)、圆形水池的直径为 $12 m$ ，喷水造型会随着音乐节奏起伏而变化，从而产生一组不同的线（如图2），若右侧抛物线顶点始终在直线 $y = \frac{25}{12} x$ 上，当喷出的抛物线水柱最大高度为 $\frac{25}{4} m$ 时，水柱会喷到圆形水池之外吗？请说明理由．

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23. 【问题提出】在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C, B C = 4, D$ 为 $B C$ 中点，以D为顶点作 $∠ E D F = ∠ A B C = ∠ A C B = α$ ，角的两边分别交 $A B, A C$ 于点 $E, F$ ，连接 $E F$ ，试探究点D到线段 $E F$ 的距离．
图1 图2 图3

(1)、【问题探究】先将问题特殊化，如图2，当点E和A重合时，直接写出D到线段 $E F$ 的距离（用含 $s i n a$ 的式子表示）；

(2)、再探究一般情形，如图1，证明（1）中的结论仍然成立；

(3)、【问题拓展】如图3，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C, D$ 为 $B C$ 中点，以D为顶点作 $∠ E D F = ∠ A B C = ∠ A C B = α$ ，角的两边分别交直线 $A B, A C$ 于点 $E, F$ ，连接 $E F$ ．若 $E F ⊥ A B$ ，直接写出 $\frac{A C}{C F}$ 的值（用含 $t a n α$ 的式子表示）．

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24. 已知，抛物线 $y = a x^{2} + b x - \frac{3}{2}$ 与x轴交于点 $A (1, 0), B (3, 0)$ 与y轴交于点C ．
图1 图2

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1，抛物线顶点为D ，点P在抛物线上，若 $∠ P D C = ∠ O C B$ ，求点P的坐标；

(3)、如图2，直线 $E F$ 过点 $(3, - 1)$ ，交抛物线于 $E, F$ 两点（点E在点F左侧，且点E不与点A重合），直线 $A E, A F$ 分别交y轴于点 $G, H$ ．请判断： $O G \cdot O H$ 是否为定值，如果是定值，求其定值，若不是，请说明理由．

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组别	分数/分	频数	组内学生的平均成绩/分
A	$60 ⩽ x < 70$	a	65
B	$70 ⩽ x < 80$	10	75
C	$80 ⩽ x < 90$	14	85
D	$90 ⩽ x ⩽ 100$	18	95