湖北省荆楚初中联盟2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2024-05-06 类型：期中考试

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一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）

1. 下列各数中是无理数的是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{4}$ C、 $\sqrt[3]{8}$ D、3.14

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2. 下列四个图形中， $∠ 1$ 与 $∠ 2$ 是对顶角的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列说法正确的是（）

A、5是－25的算术平方根 B、 ${(- 4)}^{2}$ 的算术平方根是－4 C、0的平方根与算术平方根都是0 D、 $\frac{25}{36}$ 的平方根是 $\frac{5}{6}$

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4. 若点 $M (a + 2, 3 - 2 a)$ 在y轴上，则点M的坐标是（）

A、 $(- 2, 7)$ B、 $(0, 3)$ C、 $(0, 7)$ D、 $(7, 0)$

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5. 一个正方体的体积扩大为原来的8倍，它的棱长变为原来的（）倍

A、2 B、3 C、4 D、8

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6. 课间操时，小钦、小新、小敏的位置如图所示，小钦对小敏说：“如果我的位置用 $(0, 0)$ 表示，小新的位置用 $(2, 1)$ 表示，那么你的位置可以表示成（）”

A、 $(5, 4)$ B、 $(4, 5)$ C、 $(3, 4)$ D、 $(4, 3)$

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7. 如图， $C D ∥ A B$ ， CD与AF交于点G ， $∠ C G F = 120 °$ ，则 $∠ A$ 的度数是（）

A、60° B、80° C、100° D、120°

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8. 如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点表示的数为a ，则a是（）

A、2的平方根 B、2的算术平方根 C、2的立方根 D、不能确定

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9. 如图，一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路左边线向右平移t米就是它的边线．若 $a : b = 5 : 2$ ， $b : t = 4 : 1$ ，则小路面积与绿地面积的比为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{10}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $\frac{1}{6}$

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10. 在平面直角坐标系中，对于点 $P (a, b)$ ，我们把 $Q (- b + 1, a + 1)$ 叫做点P的伴随点，已知 $A_{1}$ 的伴随点为 $A_{2}$ ， $A_{2}$ 的伴随点为 $A_{3}$ ， …，这样依次下去得到 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， ……， $A_{n}$ ．若 $A_{1}$ 的坐标为 $(- 3, 1)$ ，则 $A_{2024}$ 的坐标为（）

A、 $(0, - 2)$ B、 $(0, 4)$ C、 $(- 3, 1)$ D、 $(3, 1)$

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二、填空题（共5题，每题3分，共15分）

11. 已知 $\sqrt{0.03} \approx 0.1732$ ，则 $\sqrt{300} \approx$ ．

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12. 若x轴上的点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为．

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13. 一个正数x的平方根是 $3 m + 5$ 与 $5 - m$ ，则 $m =$ ．

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14. 在正实数范围内定义一种运算“ $\otimes$ ”：当 $x \geq y$ 时， $x \otimes y = \sqrt{x} - \sqrt[3]{y}$ ；当 $x < y$ 时， $x \otimes y = \sqrt{x} + \sqrt[3]{y}$ ．则方程 $n \otimes 64 = 5$ 的解是．

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15. 如图， $A B ∥ C D$ ，将一副直角三角板作如下摆放， $∠ E F G = 30 °$ ， $∠ P M N = 45 °$ ．下列结论：① $G E ∥ M P$ ；② $∠ F N D = 105 °$ ；③ $∠ A E G = 45 °$ ；④ $∠ B E F + ∠ D N F = ∠ E F N$ ．其中正确结论的序号是．

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三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

16. 计算：

(1)、 $\sqrt{0.04} + \sqrt[3]{- 8} - \sqrt{\frac{1}{4}}$ ；

(2)、 $| \sqrt{2} - \sqrt{5} | + 3 \sqrt{5}$ ．

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17. 求下列各式中的x的值：

(1)、 ${(2 x - 1)}^{2} = 16$

(2)、 $x^{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{64}$

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18. 如图，直线AB ， CD相交于点O ， OA平分 $∠ E O C$ ．

(1)、若 $∠ E O D = 110 °$ ，求 $∠ A O E$ 的度数；

(2)、若 $∠ A O E : ∠ E O D = 1 : 3$ ，求 $∠ B O D$ 的度数．

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19. 填空，请依据条件进行推理，得出结论，并在括号内填上适当的依据．
如图， $C F ⊥ A B$ 于F ， $D E ⊥ A B$ 于E ， $∠ 1 + ∠ E D C = 180 °$ ，求证： $F G ∥ B C$ ．
证明：∵ $D E ⊥ A B$ ， $C F ⊥ A B$ （已知），
∴ $∠ B E D = ∠______= 90 °$ （_▲_）．
∴ $E D ∥ F C$ （_▲_）．
∴ $∠ 2 = ∠ 3$ （_▲_）．
∵ $∠ 1 + ∠ E D C = 180 °$ （已知），
又∵ $∠ 2 + ∠ E D C = 180 °$ （平角的定义），
∴ $∠ 1 = ∠$ _▲_（_▲_）．
∴ $∠ 1 = ∠ 3$ （_▲_）．
∴ $F G ∥ B C$ （_▲_）．

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20. 如图（1）大正方形纸片，其面积为 $72 c m^{2}$ ．小钦同学按如图的方法把大正方形沿对角线裁成四个三角形．然后再把这四个三角形拼成如图（2）两个相同的小正方形．

(1)、求小正方形的边长；

(2)、小钦同学要在一个小正方形中沿边的方向裁出一个面积为 $30 c m^{2}$ 的长方形，使它的长宽之比为 $3 : 2$ ，问能否成功，试说明理由．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中，AD平分 $∠ B A C$ 交BC于点D ，点E在BA上，过点E的直线与CA的延长线交于点F ，与BC交于点G ， $∠ B A C = 2 ∠ E F A$ ．

(1)、AD与EF平行吗？请说明理由；

(2)、点N在AD上，若 $∠ C A D = ∠ D N G$ ， $∠ F + ∠ F G N = 80 °$ ， $∠ B = 40 °$ ， GN平分 $∠ F G C$ 吗？请说明理由．

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22. 如图，在平面直角坐标系中，网格线的交点称为格点，每一个小正方形方格边长为1个单位长度，三角形ABC的三个顶点均在格点上， $△ A B C$ 内任意一点 $P (x_{0}, y_{0})$ 经过平移后对应点为 $P_{1} (x_{0} + 2, y_{0} - 2)$ ，将 $△ A B C$ 作同样的平移得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，点A ， B、C平移后对应的点为 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 、 $C_{1}$ ．

(1)、请画出平移后的三角形 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ，写出点 $A_{1}$ 的坐标为；

(2)、四边形 $A A_{1} B_{1} B$ 的面积是；

(3)、在图中存在格点Q ，使得直线BQ将三角形ABC分成面积相等的两个三角形，则点Q的坐标是；

(4)、若 $P (x_{0}, y_{0})$ 经过平移后对应点为 $P_{2} (x_{0} + m, y_{0} - n)$ ，点A、C作同样的平移得到对应的点为 $A_{2}$ 、 $C_{2}$ ．此时长方形 $A_{2} C_{2} C_{1} A_{1}$ 的面积为20，求出m和n的值．

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23. 已知， $A B ∥ C D$ ，点E ， F分别是AB ， CD上的点，点M是平面内一点，连接EM ， FM ， $E M ⊥ F M$ ， $∠ C F M = 60 °$ ．

(1)、如图1，FM与AB交于点K ，则 $∠ K M E =$ °， $∠ B K M =$ °， $∠ A E M =$ °；

(2)、如图2，点M在直线AB、CD之间，延长ME到G ，点H在EG的上方，连接GH ， BH ，若 $∠ M G H = ∠ B H G + ∠ F M G$ ，求 $∠ A B H$ 的度数；

(3)、如图3，P为直线AC上一动点，探究 $∠ P M F$ ， $∠ P F C$ 和 $∠ M P F$ 的数量关系，请直接给出结论．（提示：题中所有角都是大于0°小于180°的角）

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24. 在平面直角坐标系中， $A (0, a)$ ， $B (b, a)$ ， $C (c, 0)$ ，且 $| a - 5 | + {(b - 3)}^{2} = - \sqrt{c - 8}$ ．

(1)、请直接写出点A ， B ， C的坐标；

(2)、如图1，点 $D (m, - m + 8)$ 在线段BC上，线段 $E F ∥ x$ 轴， $E F = 2$ ，点E从点D出发沿x轴负方向平移．
①当线段BE最短时，求 $△ A F O$ 的面积；
②若 $S_{四边形 A F E B} = \frac{1}{2} S_{四边形 O F E C}$ ，求点D的坐标．

(3)、如图2，若点 $D (m, n)$ 是x轴上方一点，且 $S_{三角形 B D C} = \frac{1}{2} S_{四边形 A B C O}$ ，求m与n之间的关系式．（提示： $(3 - m) (5 - n) = 15 - 3 n - 5 m + m n$ ）

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