【培优卷】2024年北师大版数学八（下）6.3三角形的中位线同步练习

试卷更新日期：2024-05-05 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，在△ABC中，D，E分别是边 AB，BC的中点，点F 在射线DE 上.添加一个条件，使得四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是（）

A、∠B=∠F B、DE=EF C、AC=CF D、AD=CF

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2. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点E ， F分别是 $A B$ ， $C D$ 的中点， $A F$ ， $D E$ 相交于点M ， G为 $B C$ 上一点，N为 $E G$ 的中点．若 $B G = 3$ ， $C G = 1$ ，则线段 $M N$ 的长度为（　　）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{\sqrt{17}}{2}$ C、2 D、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$

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3. 我们知道：五边形具有不稳定性，小文将正五边形沿箭头方向向右推，使点B在线段AC上，若 $A C ∥ D E$ ，则 $∠ E$ （）

A、减小了 $12 °$ B、增加了 $12 °$ C、减少了 $15 °$ D、增加了 $15 °$

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4. 如图， $△ A B C$ 是锐角三角形， $E$ 是 $B C$ 的中点，分别以 $A B$ ， $A C$ 为边向外侧作等腰三角形 $A B M$ 和等腰三角形 $A C N$ ．点 $D$ ， $F$ 分别是底边 $B M$ ， $C N$ 的中点，连接 $D E$ ， $E F$ ，若 $∠ B A M = ∠ C A N = θ$ （是锐角），则 $∠ D E F$ 的度数是（）

A、 $180 - 2 θ$ B、 $180 - θ$ C、 $90 + 2 θ$ D、 $90 + θ$

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5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=8，点D是AC上一个动点，以AB为对角线的所有平行四边形ADBE中，线段DE的最小值是（）

A、4 B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、6

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $A B$ ， $A C$ 的中点， $D$ ， $E$ 为 $B C$ 上的点，连接 $D N$ ， $E M$ ．若 $A B = 13$ cm， $B C = 10$ cm， $D E = 5$ cm，则图中阴影部分面积为（）

A、25cm² B、35cm² C、30cm² D、42cm²

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ， $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ， $B F ⊥ A C$ 于点 $F$ ， $D E = 5 c m$ ，则 $B F =$ （）

A、 $8 c m^{2}$ B、 $10 c m$ C、 $12 c m$ D、 $14 c m$

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8. 在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①GN＝NE；②AE⊥GF；③AC平分∠BCD；④AC⊥BD，其中正确的个数是（　　）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

9. 如图，等腰直角 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C = 4$ ， $M$ 为 $A B$ 中点．点 $D$ 为射线 $B C$ 上的一个动点，以 $A D$ 为直角边向右上方构造等腰直角 $△ A D E$ ， $∠ D A E = 90 °$ ，连接 $E M$ ．在 $D$ 点的运动过程中， $E M$ 长度的最小值是．

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10. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 交于点 $O$ ，将 $△ D O C$ 沿着对角线 $A C$ 翻折得到 $△ E O C$ ，连接 $B E$ ．若 $B E = 2$ ， $O C = 5$ ， $B D = 6$ ，则 $O$ 到 $C D$ 的距离为．

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11. 如图，▱ABCD中∠D＝75°，AB＝4，AC＝BC，点E为线段AD上一动点，过点E作EF⊥AC于点F，连接BE，点G为BE中点，连接GF．当GF最小时，线段AF的值为．

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12. 如图， $△ A B C$ 的三边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，以它的三边中点为顶点组成一个新三角形，以这个新三角形三边中点为顶点又组成一个小三角形， $\dots$ ，以此类推，第 $2023$ 次组成的三角形的周长．

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13. 如图1是雨伞的结构示意图．OP是伞柄，OM，AB，CD是伞骨．已知点A，C分别是OM，AB的中点．CD＝ $\sqrt{7}$ （dm），点B，D在OP上滑动时，可将雨伞打开或收拢．当OP与水平面垂直时打开雨伞，雨伞能罩住的水平面大小可近似地看成一个圆．如图2，当雨伞完全打开时，∠ABD＝90°；再将雨伞收拢到如图3，此时B′D′＝1（dm），且点C′到OP的距离恰好等于图2中BD的长．则伞骨AB的长为（dm），设图2中能罩住的水平面面积是S₁ ，图3中能罩住的水平面面积是S₂ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ ＝．

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三、解答题

14. 已知， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线，过点C作 $C E ∥ D A$ ．

(1)、如图1， $D E ∥ B A$ 交 $A C$ 于点F，连接 $A E$ ．求证：四边形 $A B D E$ 是平行四边形；

(2)、P是线段 $A D$ 上一点（不与点A，D重合）， $P E ∥ B A$ 交 $A C$ 于点F，交 $C E$ 于点E，连接 $A E$ ．
①如图2，四边形 $A B P E$ 是平行四边形吗？请说明理由．
②如图3，延长 $B P$ 交 $A C$ 于点Q，若 $B Q ⊥ A C$ ， $∠ A C B = 45 °$ ， $∠ C A D = 30 °$ ，请直接写出 $\frac{A Q}{B C}$ 的值．

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15. 下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，在 $△ A B C$ 中，点D ， E分别是 $A B$ ， $A C$ 边的中点．求证： $D E ∥ B C$ ，且 $D E = \frac{1}{2} B C$ ．

(1)、方法一：证明：如图，延长 $D E$ 到点 $F$ ，使 $E F = D E$ ，连接 $A F$ ， $F C$ ， $D C$ ．

(2)、方法二：证明：如图，取 $B C$ 中点 $G$ ，连接 $G E$ 并延长到点 $F$ ，使 $E F = G E$ ，连接 $A F$ ．

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16.

(1)、课本再现
已知：如图， $D E$ 是 $△ A B C$ 的中位线．求证： $D E ∥ B C$ ，且 $D E = \frac{1}{2} B C$ ．
定理证明
证明：如图1，延长 $D E$ 至点 $F$ ，使得 $E F = D E$ ，连接 $C F$ ．请你根据小乐添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线）

(2)、知识应用
如图2，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $C D = 8$ ， $∠ B A C = 30 °$ ， $∠ A C D = 120 °$ ，点 $E$ ， $F$ ， $M$ 分别是 $A D$ ， $B C$ ， $A C$ 的中点，求 $E F$ 的长．

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17.

(1)、回归课本
请用文字语言表述三角形的中位线定理：．

(2)、回顾证法
证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．下面是其中一种辅助线的添加方法．请结合图2，补全求证及证明过程．
已知：在 $△ A B C$ 中，点D ， E分别是 $A B, A C$ 的中点．
求证：_▲_．
证明：过点 $C$ 作 $C F / / A B$ ，与 $D E$ 的延长线交于点 $F$ ．

(3)、实践应用
如图3，点 $B$ 和点 $C$ 被池塘隔开，在 $B C$ 外选一点 $A$ ，连接 $A B, A C$ ，分别取 $A B, A C$ 的中点D ， E ，测得 $D E$ 的长度为9米，则B ， C两点间的距离为．

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【培优卷】2024年北师大版数学八（下）6.3三角形的中位线 同步练习

一、选择题

二、填空题

三、解答题

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