备考2024年中考数学重难创新题1 方程（组）

试卷更新日期：2024-05-05 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 规定：如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论
①方程x²+2x﹣8＝0是倍根方程；②若关于x的方程x²+ax+2＝0是倍根方程，则a＝±3；③若（x﹣3）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则n＝6m或3n＝2m；④若点（m，n）在反比例函数y＝ $\frac{2}{x}$ 的图象上，则关于x的方程mx²﹣3x+n＝0是倍根方程.上述结论中正确的有（）

A、② B、①③ C、②③④ D、②④

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二、综合题

2. 如果方程x²+px+q=0的两个根是x₁ ， x₂ ，那么x₁+x₂=﹣p，x₁•x₂=q，请根据以上结论，解决下列问题：

(1)、若p=﹣4，q=3，求方程x²+px+q=0的两根．

(2)、已知实数a、b满足a²﹣15a﹣5=0，b²﹣15b﹣5=0，求 $\frac{a}{b}$ + $\frac{b}{a}$ 的值；

(3)、已知关于x的方程x²+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．

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三、实践探究题

3. 阅读材料：善于思考的小军在解方程组 ${\begin{cases} 2 x + 5 y = 3 ① \\ 4 x + 11 y = 5 ② \end{cases}$ 时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y=5即2(2x+5y)+y=5，③
把方程①代人③得：2x3+y=5，∴y=-1．
把y=-1代人①得x=4，∴方程组的解为 ${\begin{cases} x = 4 \\ y = - 1 \end{cases}$
请你解决以下问题：

(1)、模仿小军的“整体代换"法解方程组 ${\begin{cases} 3 x - 2 y = 5 ① ， \\ 9 x - 4 y = 19 ② ． \end{cases}$

(2)、已知x，y满足方程组 ${\begin{cases} 3 x^{2} - 2 x y + 12 y^{2} = 47 ① ， \\ 2 x^{2} + x y + 8 y^{2} = 36 ② ． \end{cases}$
①求x²+4y²的值．
②求 $\frac{1}{x} + \frac{1}{2 y}$ 的值．

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4. 阅读下列材料：
小明同学遇到下列问题：解方程组 ${\begin{array}{l} \frac{2 x + 3 y}{4} + \frac{2 x - 3 y}{3} = 7 \\ \frac{2 x + 3 y}{3} + \frac{2 x - 3 y}{2} = 8 \end{array}$ 小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的（2x+3y）看成一个整体，把（2x﹣3y）看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令m＝2x+3y，n＝2x﹣3y．原方程组化为 ${\begin{array}{l} \frac{m}{4} + \frac{n}{3} = 7 \\ \frac{m}{3} + \frac{n}{2} = 8 \end{array}$ ，解的 ${\begin{array}{l} m = 60 \\ n = - 24 \end{array}$ ，把 ${\begin{array}{l} m = 60 \\ n = - 24 \end{array}$ 代入m＝2x+3y，n＝2x﹣3y，得 ${\begin{array}{l} 2 x + 3 y = 60 \\ 2 x - 3 y = - 24 \end{array}$ 解得 ${\begin{array}{l} x = 9 \\ y = 14 \end{array}$ 所以，原方程组的解为 ${\begin{array}{l} x = 9 \\ y = 14 \end{array}$ ．
请你参考小明同学的做法解方程组：

(1)、 ${\begin{array}{l} \frac{x + y}{6} + \frac{x - y}{10} = 3 \\ \frac{x + y}{6} - \frac{x - y}{10} = - 1 \end{array}$ ；

(2)、 ${\begin{array}{l} \frac{5}{x} + \frac{2}{y} = 11 \\ \frac{3}{x} - \frac{2}{y} = 13 \end{array}$ ．

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5. 在解方程组 $\{\begin{matrix} 2 x + 5 y = 3 ， ① \\ 4 x + 11 y = 5 ， ② \end{matrix}$ 时，明明采用了一种“整体代换”的解法.
解：将方程②变形为4x+10y+y=5，即2(2x+5y)+y=5.③
把①代入③，得2×3+y=5，解得y=-1.
把y=-1代入①，得x=4，
∴方程组的解决为 $\{\begin{matrix} x = 4 ， \\ y = - 1 . \end{matrix}$
请用“整体代换”法解下列方程组：

(1)、 $\{\begin{matrix} 4 x - 3 y = 6 ， \\ 8 x - 7 y = 18 ， \end{matrix}$ 。

(2)、 $\{\begin{matrix} 2 (x + 3) + (2 y - 1) = 11 ， \\ 4 (x + 3) - 3 (2 y - 1) = 17 . \end{matrix}$

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6. 善于思考的小明在解方程组 $\{\begin{matrix} 4 x + 10 y = 6 ， ① \\ 8 x + 22 y = 10 ② \end{matrix}$ 时，采用了一种“整体代换”的思想，解法如下：
解：将方程8x+22y=10变形为2（4x+10y）+2y=10.③
把方程①代入③，得2×6+2y=10，解得 y=-1.
把y=-1代入①，得x=4，
∴原方程组的解为 $\{\begin{matrix} x = 4 ， \\ y = - 1 . \end{matrix}$
请你运用“整体代换”的思想解决下列问题：

(1)、解方程组 $\{\begin{matrix} 2 x - 3 y = 7 ， \\ 6 x - 5 y = 25 ， \end{matrix}$

(2)、已知x，y，z满足 $\{\begin{matrix} 3 x - 2 z + 12 y = 47 ， \\ x + z + 4 y = 19 ， \end{matrix}$ 试求 z 的值.

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7. 阅读材料：善于思考的小军在解方程组 ${\begin{array}{l} 2 x + 5 y = 3 ① \\ 4 x + 11 y = 5 ② \end{array}$ 时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形： $4 x + 10 y + y = 5$ 即 $2 (2 x + 5 y) + y = 5$ ③，

把方程①代入③得： $2 \times 3 + y = 5$ ，

$∴ y = - 1$ ，

把 $y = - 1$ 代入①得 $x = 4$ ，

$∴$ 方程组的解为 ${\begin{array}{l} x = 4 \\ y = - 1 \end{array}$ ．

请你解决以下问题：

(1)、模仿小军的“整体代换”法解方程组 ${\begin{array}{l} 3 x - 2 y = 5 ① \\ 9 x - 4 y = 19 ② \end{array}$ ；

(2)、已知 $x$ ， $y$ 满足方程组 ${\begin{array}{l} 3 x^{2} - 2 x y + 12 y^{2} = 47 ① \\ 2 x^{2} + x y + 8 y^{2} = 36 ② \end{array}$ ，求 $x^{2} + 4 y^{2}$ 与 $x y$ 的值；

(3)、在（2）的条件下，写出这个方程组的所有整数解．

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8. 【引入命题】设 $A (x)$ 是关于字母 $x$ 的一个整式，若 $x_{1}$ 是方程 $A (x) = 0$ 的一个根，则整式 $A (x)$ 必有一个因式 $(x - x_{1})$ ，即 $A (x) = (x - x_{1}) A_{1} (x)$ .其中 $A_{1} (x)$ 仍然是关于字母 $x$ 的一个整式.

(1)、若 $A (x) = (x - 2) A_{1} (x)$ ，则 $A (x) = 0$ 的一个根是；

(2)、【回归课本】设一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则方程可化为： $a (x - x_{1}) (x - x_{2}) = 0$ ，即 $a x^{2} - a (x_{1} + x_{2}) x + a x_{1} x_{2} = 0$ ，与原方程比较系数，可得到一元二次方程根与系数的关系： $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .
利用上式结论解题：已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 m x + m^{2} - m + 2 = 0$ 有两个不相等的实数根，且 $x_{1} + x_{2} + x_{1} x_{2} = 2$ ，求实数 $m$ 的值；

(3)、【探究引申】设一元三次方程 $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ 有三个根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，则原方程可化为： $a (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3}) = 0$ ，试着展开上式，然后比较系数，可以得到根与系数的关系： $x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{1} x_{3} = \frac{c}{a}$ ， $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} = - \frac{d}{a}$ .
利用上式结论解题：已知方程 $x^{3} - 4 x^{2} + 3 x + d = 0$ 有三个根 $α$ ， $β$ ， $γ$ ，求 $α^{2} + β^{2} + γ^{2}$ 的值；

(4)、【拓展提高】利用以上规律探究：若方程 $a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + ⋯ + a_{n - 1} x + a_{n} = 0 (a_{0} \neq 0)$ 有 $n$ 个根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + ⋯ + x_{n} =$ ， $x_{1} \cdot x_{2} \cdot ⋯ \cdot x_{n} =$ .

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9. 阅读与思考：
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

(1)、材料理解：若一元二次方程 $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ 的两个实数根分别为 $x_{1} ， x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$ ， $x_{1} \cdot x_{2} =$ ；

(2)、类比应用：已知一元二次方程 $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ 的两个实数根分别为 $m ， n$ ，求 $m^{2} n + m n^{2}$ 的值．

(3)、思维拓展：已知实数 $m ， n$ 满足 $2 m^{2} - 3 m - 1 = 0 ， 2 n^{2} - 3 n - 1 = 0$ ，且 $m \neq n$ ，求 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的值．

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10. 著名数学家高斯曾说过：“如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现”，我们向伟人看齐，将这种勤思善学、砺能笃行的精神运用于日常的数学学习中来，尝试发现新的惊喜.
【提出问题】

我们曾探究过一元二次方程根与系数的关系，如果一元二次方程的系数按照某种规律发生变化，原方程的根与新方程的根是否也会产生某种联系？

【构造关系】

将一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项按照 $n ： 1 ： \frac{1}{n}$ 的比例放大或缩小，其中 $n \neq 0$ ，我们称新方程为原方程的“系变方程”，系变倍数为 $n$ .

(1)、当系变倍数为3时，求解一元二次方程 $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ 的“系变方程”.

(2)、【自能探究】已知某一元二次方程有两个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，当 $n = 2$ 时，其“系变方程”也有两个实数根 $p$ 、 $q$ ，且 $x_{1} x_{2} = 1$ ，求 $\frac{q}{p} + \frac{p}{q} - (\frac{4}{p} + \frac{1}{4 q}) + 17$ 的最小值.

(3)、已知关于 $x$ 的方程 ${(3 x^{2} + t x - 2)}^{2} + {(- 2 x^{2} - t x + 3)}^{2} = {(x^{2} + 1)}^{2}$ 有四个实数根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ 、 $x_{4}$ ，问是否存在定值 $k$ ，对于任意实数 $t$ ，都满足 $\frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{x_{3}}{x_{4}} = k$ ，若存在，请求出 $k$ 的值.若不存在，请说明理由.

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11. 阅读材料：
材料1：若一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x₁、x₂ ，则x₁+x₂= $- \frac{b}{a}$ ，x₁x₂= $\frac{c}{a}$ ．

材料2：已知实数m、n满足m²-m-1=0，n²-n-1=0，且m≠n，求 $\frac{m}{n} + \frac{n}{m}$ 的值．

解：由题知m、n是方程x²-x-1=0的两个不相等的实数根，根据材料1，得m+n=1，mn=-1．

∴ $\frac{n}{m} + \frac{m}{n} = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} = \frac{{(m + n)}^{2} - 2 m n}{m n} = \frac{1 + 2}{- 1} = - 3$ ．

根据上述材料解决下面的问题：

(1)、一元二次方程x²-4x-3=0的两根为x₁、x₂ ，则x₁+x₂=4，x₁x₂=；

(2)、已知实数m，n满足 $2 m^{2} - 2 m - 1 = 0$ ， $2 n^{2} - 2 n - 1 = 0$ ，且m≠n，求m²n+mn²
的值；

(3)、已知实数p，q满足p²=3p+2，2q²=3q+1，且p≠2q，求p²+4q²的值．

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12. （换元思想）阅读材料：
材料1 若一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两根为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

材料2 已知实数m、n满足 $m^{2} - m - 1 = 0$ ， $n^{2} - n - 1 = 0$ ，且 $m \neq n$ ，求 $\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$ 的值.

解：由题知m、n是方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个不相等的实数根，根据材料1，得 $m + n = 1$ ， $m n = - 1$ .

∴ $\frac{n}{m} + \frac{m}{n} = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} = \frac{{(m + n)}^{2} - 2 m n}{m n} = \frac{1 + 2}{- 1} = - 3$ .

根据上述材料解决下面的问题：

(1)、一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 3 = 0$ 的两根为x₁ ， x₂ ，则 $x_{1} + x_{2} = 4$ ， $x_{1} x_{2} =$ ；

(2)、已知实数 $m$ ， $n$ 满足 $2 m^{2} - 2 m - 1 = 0$ ， $2 n^{2} - 2 n - 1 = 0$ ，且 $m \neq n$ ，求 $m^{2} n + m n^{2}$ 的值；

(3)、已知实数p，q满足 $p^{2} = 3 p + 2$ ， $2 q^{2} = 3 q + 1$ ，且 $p \neq 2 q$ ，求 $p^{2} + 4 q^{2}$ 的值.

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13. 我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程x²+px+q＝0的两个根是x₁ ， x₂ ，那么由求根公式可推出x₁+x₂＝﹣p ， x₁•x₂＝q ，请根据这一结论，解决下列问题：

(1)、若α，p是方程 $x^{2} ﹣ 3 x + 1 ＝ 0$ 的两根，则α+β＝， α•β＝；若2，3是方程 $x^{2} + m x + n ＝ 0$ 的两根，则m＝， n＝；

(2)、已知a ， b满足 $a^{2} ﹣ 5 a + 3 ＝ 0 ， b^{2} ﹣ 5 b + 3 ＝ 0$ ，求 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ 的值；

(3)、已知a ， b ， c满足 $a + b + c ＝ 0 ， a b c ＝ 5$ ，求正整数 $c$ 的最小值，

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14. 已知：a、b、c均为非零实数，且a>b>c，关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （a≠0）其中一个实数根为2。

(1)、填空：4a+2b+c0，a0，c0（填“>”，“<”或“=”）；

(2)、若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （a≠0）的两个实数根，满足一个根为另一个根的2倍，我们就称这样的方程为“倍根方程”，若原方程是倍根方程，则求a、c之间的关系。

(3)、若a=1时，设方程的另一根为m（m≠2），在两根之间（不包含两根）的所有整数的绝对值之和是7，求b的取值范围.

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15. 先阅读，再回答问题：如果x₁、x₂是关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根，那么x₁+x₂ ， x₁x₂与系数a、b、c的关系是：x₁+x₂= $- \frac{b}{a}$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ ，例如：若x₁、x₂是方程2x²﹣x﹣1=0的两个根，则x₁+x₂=﹣ $\frac{b}{a}$ = $- \frac{- 1}{2}$ $= \frac{1}{2}$ ，x₁x₂= $\frac{c}{a} = \frac{- 1}{2} = - \frac{1}{2}$ ．若x₁、x₂是方程2x²+x﹣3=0的两个根．

(1)、求x₁+x₂ ， x₁x₂；

(2)、求 $\frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}}$ 的值．

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