【培优卷】2024年北师大版数学八（下）6.2平行四边形的判定同步练习

试卷更新日期：2024-05-05 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连结AF，CE，有下列结论：①CF=AE；②OE=OF；③DE=BF；④图中共有10对全等三角形.其中正确的是（）

A、③④ B、①②③ C、①②④ D、①②③④

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2. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分线分别交AD于点E和F，若BE＝6，则CF＝（）

A、6 B、8 C、10 D、13

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3. 如图，已知点D是等边三角形ABC中BC的中点，BC＝2，点E是AC边上的动点，则BE＋ED的和最小值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{7}$ C、3 D、 $\sqrt{3} + 1$

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4. 现有一张平行四边形 $A B C D$ 纸片， $A D > A B$ ，要求用尺规作图的方法在边 $B C$ ， $A D$ 上分别找点 $M ， N$ ，使得四边形 $A M C N$ 为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（）

A、甲对、乙不对 B、甲不对、乙对 C、甲、乙都对 D、甲、乙都不对

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5. 如图， $E$ 是 $▱ A B C D$ 的边 $A B$ 上的点， $Q$ 是 $C E$ 中点，连接 $B Q$ 并延长交 $C D$ 于点 $F$ ，连接 $A F$ 与 $D E$ 相交于点 $P$ ，若 $S_{△ A P D} = 3 c m^{2}$ ， $S_{△ B Q C} = 7 c m^{2}$ ，则阴影部分的面积为（） $c m^{2}$

A、24 B、17 C、13 D、10

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6. 如图，已知▱OABC的顶点A，C分别在直线 $x = 1$ 和 $x = 4$ 上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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7. 如图，在△ABC中， $A B = 3$ ， $A C = 4$ ， $B C = 5$ ， △ABD ， △ACE ， △BCF都是等边三角形，下列结论中：① $A B ⊥ A C$ ；②四边形AEFD是平行四边形；③ $∠ D F E = 150 °$ ；④ $S_{四边形 A E F D} = 6$ ．正确的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8. 如图，在▱

A B C D

中，点

E

，

F

是对角线

A C

上的两个点，且

A E = C F

，连接

B E

，

D F .

求证：

B E / / D F

．

证法 $1$ ：如图，在▱ $A B C D$ 中， $A B = C D$ ， $A B / / C D$ ，

$∴ ∠ B A E = ∠ D C F$ ．

又 $∵ A E = C F$ ，

$∴ △ B A E$ ≌ $△ D C F$ ，

$∴ ∠ A E B = ∠ C F D$ ，

$∴ 180 ° - ∠ A E B = 180 ° - ∠ C F D$ ，

即 $∠ B E F = ∠ D F E$ ， $∴ B E / / D F$ ．

证法 $2$ ：如图，连接 $B D$ 交 $A C$ 于点 $O$ ，连接 $D E$ ， $B F$ ．

在▱ $A B C D$ 中， $O A = O C$ ， $O B = O D$ ．

又 $∵ A E = C F$ ，

$∴ O A - A E = O C - C F$ ，即 $O E = O F$ ．

$∴$ 四边形 $D E B F$ 是平行四边形，

$∴ B E / / D F$ ．

下列说法错误的是（）

A、证法

1

中证明三角形全等的直接依据是

S A S

B、证法

2

中用到了平行四边形的对角线互相平分 C、证法

1

和证法

2

都用到了平行四边形的判定 D、证法

1

和证法

2

都用到了平行四边形的性质

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二、填空题

9. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， ∠ A = 30 ° ， B C = 2$ ，若D ， E是边 $A B$ 上的两个动点，F是边 $A C$ 上的一个动点， $D E = \sqrt{2}$ ，则 $C D + E F$ 的最小值为．

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10. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，线段 $E F$ 在对角线 $B D$ 上运动， $A B = 2$ ， $E F = 1$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，则 $△ A E F$ 周长的最小值为．

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11. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，点E ， F分别是 $A D$ ， $B C$ 边的中点，延长 $C D$ 至点 $G$ ，使 $D G = C D$ ，以 $D G$ ， $D E$ 为边向 $▱ A B C D$ 外构造 $▱ D G M E$ ，连接 $B M$ 交 $A D$ 于点 $N$ ，连接 $F N$ ．若 $D G = D E = 2$ ， $∠ A D C = 60 °$ ，则 $F N$ 的长为．

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12. 在四边形 $A B C D$ 中，现给出下列结论：
①若 $A B = C D$ ， $A D / / B C$ ，则四边形 $A B C D$ 是平行四边形；②若 $∠ A = ∠ C$ ， $∠ B = ∠ D$ ，则四边形 $A B C D$ 是平行四边形；③若 $A B / / C D$ ， $∠ A = ∠ C$ ，则四边形 $A B C D$ 是平行四边形；④ $A B = C D$ ， $∠ A = ∠ C$ ，则四边形 $A B C D$ 是平行四边形．
其中正确的结论是．（写出所有正确结论的序号）

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三、实践探究题

13. 如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB=6cm，BE是∠ABC的角平分线，点M从点E出发，沿ED方向以1cm/s的速度向点D运动，点N从点C出发，沿射线CB方向以4cm/s的速度运动，当点M运动到点D时，点N随之停止运动，设运动时间为t(s)，

(1)、求AE的长；

(2)、是否存在以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

(3)、当时，线段NM将平行四边形ABCD面积二等分(直接写出答案)”

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14. 如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F．

(1)、若点D是BC边的中点(如图①) ，求证：EF=CD．

(2)、在(1)的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比．

(3)、若点D是BC边上的任意一点(除B，C外，如图②) ，那么(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

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15. 在□ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F ，连接BF、DE如图1．

(1)、求证：四边形BEDF是平行四边形；

(2)、若DE＝DC ， ∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2．
①当CD＝6．CE＝4时，求BE的长；
②求证：CD＝CH ．

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16. 如图1，在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C$ 的平分线交 $A D$ 于点E， $∠ A D C$ 的平分线交 $B C$ 于点F．

(1)、试探究四边形 $B F D E$ 的形状，并说明理由；

(2)、如图2，连接 $E F$ ，若 $E F ⊥ B C ， D E = 6 ， E F = 4$ ，求 $A E$ 的长；

(3)、如图3，连接 $E F$ ，将 $△ E A B$ 沿直线 $E F$ 翻折得到 $△ E C G$ ，其中点A、B的对应点分别为点C、G，恰好有 $G E ⊥ D F$ ，垂足为点N， $E C$ 交 $D F$ 于点M．
①试探究 $△ D E C$ 的形状，并说明理由；

②若 $D F = 2 + \sqrt{2}$ ，求 $E F$ 的长．

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17. 【问题背景】
某“数学学习兴趣小组”在学习了“等腰三角形的性质”和“平行四边形的性质和判定”后，在习题中发现了这样一个问题：如图1，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D、E分别是边 $A B 、 A C$ 上的点，点P是底边 $B C$ 上的点，且 $∠ P D B = ∠ P E C = 90 °$ ，过点B作 $B F ⊥ A C$ 于点F，请写出线段 $P D$ 、 $P E$ 、 $B F$ 之间满足的数量关系式．
同学们经过交流讨论，得到了如下两种解决思路：
解决思路1：如图2，过点P作 $P G ⊥ B F$ 于点G；
解决思路2：如图3，过点B作 $B H ⊥ P E$ ，交 $E P$ 的延长线于点H；

(1)、上述两种解决思路都可以证明一组三角形全等，判定一个四边形为平行四边形，从而可证得线段 $P D 、 P E 、 B F$ 之间满足的数量关系式为．

(2)、【类比探究】
如图4，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D、E分别是边 $A B 、 A C$ 上的点，点P是底边 $B C$ 上的点，且 $∠ P D B = ∠ P E C = α$ ，过点B作 $B F ∥ P E$ 交 $A C$ 于点F，请写出线段 $P D 、 P E 、 B F$ 之间满足的数量关系式，并说明理由．

(3)、【拓展应用】
如图5，在 $△ A C P$ 与 $△ B D P$ 中， $∠ A = ∠ B = 75 °$ ， $∠ A P C = ∠ B P D = 60 °$ ，点A、B、P在同一条直线上，若 $A B = 6$ ， $P C = 2$ ，则 $P D =$ ．

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【培优卷】2024年北师大版数学八（下）6.2平行四边形的判定 同步练习

一、选择题

二、填空题

三、实践探究题

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