湖南省益阳市沅江市2023-2024学年八年级下学期月考数学试题

试卷更新日期：2024-04-30 类型：月考试卷

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一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是符合题意的）

1. 若式子 $\sqrt{(2 x - 1)}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是（　　）

A、 $x \neq \frac{1}{2}$ B、 $x > \frac{1}{2}$ C、 $x > 0$ D、 $x \geq \frac{1}{2}$

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2. 下列计算结果正确的是（　　）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{6} \div \sqrt{2} = 3$ C、 $\sqrt{1} 2 - \sqrt{3} = \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{2} \times 3 \sqrt{3} = 6 \sqrt{5}$

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3. 估算 $7 - 2 \sqrt{3}$ 的值在（　　）

A、0和1之间 B、1和2之间 C、2和3之间 D、3和4之间

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4. 104的绝对值是（　　）

A、 $- 104$ B、 $\frac{1}{104}$ C、 $- \frac{1}{104}$ D、104

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5. 2018年我市财政计划安排社会保障和公共卫生等支出约1800000000元支持民生幸福工程，数1800000000用科学记数法表示为 $($ $)$

A、 $18 \times 10^{8}$ B、 $1.8 \times 10^{8}$ C、 $1.8 \times 10^{9}$ D、 $0.18 \times 10^{10}$

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6. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 下列各式中，计算正确的是（）

A、 $8 a - 3 b = 5 a b$ B、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ C、 $a^{8} \div a^{4} = a^{2}$ D、 $a^{2} \cdot a = a^{3}$

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8. 如图，已知 $A B ∥ C D$ ， $A F$ 交 $C D$ 于点 $E$ ， $B E ⊥ A F$ ， $∠ B E D = 40 °$ ，则 $∠ A$ 的度数是（　　）

A、 $40 °$ B、 $50 °$ C、 $80 °$ D、 $90 °$

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9. 沅江某中学足球队24名队员年龄情况如下：
年龄（岁）
12
11
10
9
人数
4
10
8
2
则这个队队员年龄的众数和中位数分别是（　　）

A、11，10 B、11，11 C、10，9 D、10，11

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10. 对于反比例函数 $y = - \frac{2}{x}$ ，下列说法不正确的是 $($ $)$

A、图象分布在第二、四象限 B、当 $x > 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大 C、图象经过点（1，-2） D、若点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 都在图象上，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $y_{1} < y_{2}$

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二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）

11. 计算： $\sqrt{36} - \sqrt{5} =$ ．

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12. 在一个不透明布袋里装有3个白球、2个红球和 $a$ 个黄球，这些球除颜色不同其它没有任何区别．若从该布袋里任意摸出1个球，该球是黄球的概率为 $\frac{1}{2}$ ，则 $a$ 等于．

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13. 已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是．

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14. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E ，已知CD＝8，EB＝2，则⊙O的半径为．

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15. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2}$ 的图象如图所示．已知A点坐标为 $(1, 1)$ ，过点A作 $A A_{1} ∥ x$ 轴交抛物线于点 $A_{1}$ ，过点 $A_{1}$ 作 $A_{1} A_{2} ∥ O A$ 交抛物线于点 $A_{2}$ ，过点 $A_{2}$ 作 $A_{2} A_{3} ∥ x$ 轴交抛物线于点 $A_{3}$ ，过点 $A_{3}$ 作 $A_{3} A_{4} ∥ O A$ 交抛物线于点 $A_{4} ⋯$ ，依次进行下去，则点 $A_{2023}$ 的坐标为．

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三、解答题（共8小题，共75分．解答应写出过程）

16. 先化简，再求值： $(2 x + 1) (2 x - 1) - {(2 x - 3)}^{2}$ ，其中 $x = - 1$ .

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17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，有一条以格点（网格线的交点）为端点的线段 $A B$ ．

(1)、线段 $A B$ 的长为；

(2)、请以线段 $A B$ 为边在下图中作一个面积为26的矩形 $A B C D$ ，要求点C，D均在格点上．

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18. 如图，在等腰 $R t △ O A B$ 中， $∠ O A B = 90 °$ ， $O A = A B = 1$ ，以斜边 $O B$ 为一条直角边，向外作另一直角边长为1的 $R t △ O B C$ ，依次作下去，记 $△ O A B$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ O B C$ 的面积为 $S_{2}$ ， $△ O C D$ 的面积为 $S_{3}$ ， …，回答下列问题：

(1)、 $S_{4} =$ ， $S_{8} =$ ；

(2)、求 $S_{1}^{2} + S_{2}^{2} + S_{3}^{2} + . . . + S_{20}^{2}$ 的值．

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19. 某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门.如图为该测温门截面示意图，已知测温门AD的顶部A处距地面高为2.2m，为了解自己的有效测温区间.身高1.6m的小聪做了如下实验：当他在地面N处时测温门开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为18°；在地面M处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°.求小聪在地面的有效测温区间MN的长度.（额头到地面的距离以身高计，计算精确到0.1m，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）

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20. 如图，快递员小李从点 $O$ 出发，负责给 $A ， B ， C$ 三个菜鸟驿站派送包裹，站点 $A$ 位于点 $O$ 的北偏西 $30 °$ 方向上，站点 $B$ 位于点 $O$ 的南偏东 $15 °$ 方向上，站点 $C$ 位于点 $O$ 的北偏东 $60 °$ 方向上，且站点 $C$ 到点 $O$ 的距离与站点 $B$ 到点 $O$ 的距离相等．已知小李在派送包裹时，从点 $O$ 到站点 $A ， B$ 所需要的时间分别为 $30 m i n$ 和 $15 m i n$ ，配送速度均为 $0.4 k m / m i n$ ．

(1)、试计算 $∠ A O C ， ∠ B O C$ 的度数；

(2)、求站点 $A$ 与站点 $C$ 之间的距离．

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21. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $B A ⊥ A C$ ， $E ， F$ 分别是 $B C ， A D$ 的中点， $G$ 是线段 $C E$ 上的点（不与 $C ， E$ 重合），连接 $F G$ 交 $A C$ 于点 $H$ ，连接 $A E ， C F ， E H$ ．

(1)、求证：四边形 $A E C F$ 是菱形；

(2)、求证： $∠ C G F = ∠ A E H$ ；

(3)、当 $A B = 6 ， B C = 10 ， A H = A E$ 时，求 $E H$ 的长．

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22. 已知两个全等的 $R t △ A B E$ 和 $R t △ F C D$ ， a，b为直角边长（ $a > b$ ）， $c$ 为斜边长．

(1)、将两个三角形按如图① 所示的位置（此时B，F重合）摆放，能够得到结论 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ．下面是证明该结论的部分过程，请画出解图，并补充完整；
证明：如解图①，连接 $A D$ ， $D E$ ，则 $S_{四边形 A B C D} = S_{四边形 A B E D} + S_{△ D C E}$ ， …

(2)、利用如图②所示的 $R t △ A B E$ 和 $R t △ F C D$ 重新构造一个图形，并写出证明 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ 的过程．

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23. 已知四边形 $A B C D$ 是菱形，直线 $l$ 经过点 $B$ ，且点 $B$ 右侧的部分在 $B D$ 的下方，过点 $A$ 作 $A E ⊥ l$ 于点 $E$ ，点 $F$ 是直线 $l$ 上一点且在点 $B$ 的右侧，连接 $A F ， D F$ ， $∠ E A F = \frac{1}{2} ∠ B A D$ ．

(1)、数学思考：
如图①，当 $∠ E A F$ 的边 $A E ， A F$ 都在 $A B$ 的右侧时，线段 $B E ， E F ， D F$ 之间的数量关系为；

(2)、猜想证明：
如图②，当 $∠ E A F$ 的边 $A E ， A F$ 分别在 $A B$ 的两侧时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

(3)、拓展延伸：
若菱形 $A B C D$ 的边长为13， $∠ B A D = 60 °$ ， $B E = 5$ ，请直接写出线段 $D F$ 的长．

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年龄（岁）	12	11	10	9
人数	4	10	8	2