吉林省长春市长春净月高新技术产业开发区净月区2024年中考一模考试数学模拟试题

试卷更新日期：2024-04-30 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1. 冰箱保鲜室的温度零上 $5 ℃$ 记作 $+ 5 ℃$ ，则冷冻室的温度零下 $18 ℃$ 记作（）

A、 $- 18 ℃$ B、 $- 13 ℃$ C、 $+ 13 ℃$ D、 $+ 18 ℃$

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2. 2024年春节期间，吉林省凭借滑雪、度假、雾凇、冰雕等特色冰雪旅游元素，接待国内游客约20517000人次，同比增长 $55.48 %$ ，将20517000用科学记数法表示为（）

A、 $2.0517 \times 1 0^{5}$ B、 $2.0517 \times 1 0^{6}$ C、 $2.0517 \times 1 0^{7}$ D、 $2.0517 \times 1 0^{8}$

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3. 如图是一个几何体的表面展开图，该几何体是（）

A、三棱柱 B、三棱锥 C、圆锥 D、圆柱

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 $a^{2} + 2 a^{2} = 2 a^{4}$ C、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ D、 $(a b)^{2} = a^{2} b^{2}$

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5. 如图，天定山滑雪场有一坡角为 $18 °$ 的滑雪道，滑雪道 $A C$ 长为150米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度 $A B$ 的长为（）

A、 $150 t a n 18 °$ 米 B、 $150 s i n 18 °$ 米 C、 $\frac{150}{c o s 18 °}$ 米 D、 $\frac{150}{t a n 18 °}$ 米

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6. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦 $A B$ 长 $8 m$ ，轮子的吃水深度 $C D$ 为 $2 m$ ，则该桨轮船的轮子半径为（）

A、 $2 m$ B、 $3 m$ C、 $4 m$ D、 $5 m$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 75 °$ ，分别以点 $A$ 、 $B$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径作弧，两弧分别交于点 $M$ 、 $N$ （点 $M$ 在 $A B$ 上方），直线 $M N$ 交 $A C$ 边于点 $D$ ；在 $B A$ 和 $B C$ 上分别截取 $B E$ 、 $B F$ ，使 $B E = B F$ ，分别以点 $E$ 、 $F$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} E F$ 的长为半径作弧，两弧在 $∠ A B C$ 内交于点 $P$ ，作射线 $B P$ ，若射线 $B P$ 恰好经过点 $D$ ，则 $∠ A$ 的度数是（）

A、 $30 °$ B、 $32 °$ C、 $35 °$ D、 $38 °$

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8. 如图，在Rt $△ A B C$ 中， $∠ O A B = 90 °, O A = A B$ ，点 $A$ 、 $B$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象上，点 $A$ 的坐标 $(m, 2)$ ，则 $k$ 的值为（）

A、2 B、 $\sqrt{5} - 1$ C、 $2 \sqrt{5} - 2$ D、2.5

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二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9. 分解因式：2a²+a=.

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10. 已知一元二次方程 $x^{2} + m x + 1 = 0$ 有两个相等的实数根，则m的值为．

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11. 同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与“小孔”的距离是光屏与“小孔”距离的一半，且蜡烛与光屏始终垂直于水平面，当蜡烛火焰的高度 $A B$ 为 $1.6 c m$ 时，所成的像 $A^{'} B^{'}$ 的高度为 $c m$ ．

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12. 如图，在 $5 \times 6$ 的网格图中，每个小正方形的边长均为1．点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 均在格点上．则图中阴影部分的面积为。．（结果保留 $π$ ）

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13. 如图，四边形 $A B C D$ 是边长为6的正方形，点E在 $C B$ 的延长线上，当 $B E = 2$ 时，连接 $A E$ ，过点A作 $A F ⊥ A E$ ，交 $C D$ 于点F ，连接 $E F$ ，点H是 $E F$ 的中点，连接 $B H$ ，则 $B H =$ ．

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14. 实心球是一项力量性和动作速度项目．同学小丁在某次投掷实心球所经过的路线是如图所示抛物线的一部分，已知实心球出手处 $A$ 距离地面的高度是1.68米，当实心球运行的水平距离为2米时，达到最大高度2米的 $B$ 处，则小丁此次投掷的成绩是米．

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三、解答题（本大题共10小题，共78分）

15. 先化简，再求值： $(x + 1)^{2} + x (x - 2)$ ，其中 $x = \sqrt{3}$ ．

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16. 共享经济已经进入人们的生活．小丽收集了感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同），现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．

(1)、小丽从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是．

(2)、小丽从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 表示）

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17. 随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，已知每台新型机器人比每台旧型机器人每天多搬运20吨货物，且每台新型机器人搬运960吨货物的时间和每台旧型机器人搬运720吨货物的时间相同．求新型机器人每天搬运的货物量．

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18. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C$ 、 $D$ 为 $⊙ O$ 上的点，连结 $O C$ ，连结 $A C$ 、 $B D$ 并延长交于点 $E$ ，且 $O C ∥ B D$ ，连结 $C D$ ．

(1)、求证： $C E = C D$ ；

(2)、若 $A B = 12, A C = 4$ ，则 $\frac{D E}{B D} =$ ．

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19. “杨花榆荚无才思，惟解漫天作雪飞”，每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代，漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成困扰，为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况，某课题小组随机调查了部分市民（问卷调查表如下），并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图：

治理杨絮——您选哪一项？（单选）

A．减少杨树新增面积，控制杨树每年的栽种量

B．调整树种结构，逐渐更换现有杨树

C．选育无絮杨品种，并推广种植

D．对雌性杨树注射生物干扰素，避免产生飞絮

E．其他____

根据以上统计图，解答下列问题：

(1)、本次接受调查的市民共有人；

(2)、请补全条形统计图；

(3)、扇形统计图中，求扇形

E

的圆心角度数．

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20. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长为1个单位，小正方形的顶点称为格点，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 均在格点上．要求只用无刻度直尺画图，并保留画图痕迹．

(1)、在图①中的线段 $A C$ 上找一点 $D$ ，连结 $B D$ ，使 $S_{Δ A B C} = 2 S_{Δ A B D}$ ；

(2)、在图②中的线段 $B C$ 上找一点 $E$ ，连结 $A E$ ，使 $S_{Δ A B C} = 3 S_{Δ A C E}$ ；

(3)、在图③中的 $△ A B C$ 内部找一点 $H$ ，连结 $A H$ 、 $B H$ ，使 $S_{Δ A B C} = 3 S_{Δ A B H}$ ．

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21. 某校组织学生从学校出发，乘坐大巴车前往距离学校360千米的基地进行研学活动．大巴车匀速行驶1小时后，学校因事派人乘坐轿车匀速沿同一路线追赶，大巴车降低速度继续匀速行驶，轿车行驶1.5小时后追上大巴车，两车继续匀速行驶到达基地．如图表示大巴车和轿车离学校的距离 $y$ （千米）与大巴车出发时间 $x$ （时）之间函数关系的部分图象．结合图中提供的信息，解答下列问题：

(1)、轿车的速度为千米/时，大巴车行驶1小时后的速度为千米/时；

(2)、求大巴车出发1小时后 $y$ 与 $x$ 的函数解析式，并补全函数图象；

(3)、轿车到达基地时，大巴车距离基地还有多远？

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22. 【教材呈现】如图是华师版七年级下册数学教材第122页的部分内容．
2．如图， $△ A C D$ 、 $△ A E B$ 都是等腰直角三角形， $∠ C A D = ∠ E A B = 90 °$ ，画出 $△ A C E$ 以点 $A$ 为旋转中心、逆时针旋转 $90 °$ 后的三角形．
数学课上，同学们连结 $B D$ 便解决了此问题，随后数学老师追问： $B D$ 与 $E C$ 具有怎样的数量关系？两组同学给出两种不同方法：
甲组：由于 $△ A B D$ 是由 $△ A C E$ 绕着点 $A$ 逆时针旋转 $90 °$ 后得到的，所以 $B D$ 与 $E C$ 为对应线段，所以 $B D = E C$ ．
乙组：根据题意，我们可以证明 $△ A B D ≌ △ A C E$ ，因此 $B D = E C$ ．

(1)、请结合图①写出乙组证明方法的完整过程．

(2)、【类比探究】若将【教材呈现】中的等腰直角三角形换成等边三角形，上述结论是否仍然成立？
如图②， $△ A C D$ 、 $△ A E B$ 都是等边三角形，连结 $E C$ 、 $B D$ 、 $E D$ ．
①则 $B D$ 与 $E C$ 的数量关系是．
②若 $∠ D E A = 30 °, A B = 8, E D = 12$ ，则 $E C$ 长为．

(3)、【拓展应用】 $△ A C D$ 、 $△ A E B$ 都是等边三角形， $A C = 4, A B = 8$ ，若将 $△ A C D$ 绕着点 $A$ 旋转一周，在运动过程中，点 $B$ 到直线 $E D$ 的距离设为 $d$ ，则 $d$ 的取值范围是．

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C = 10, s i n B = \frac{4}{5}$ ，点 $D$ 为 $B C$ 的中点．动点 $P$ 从点 $B$ 出发，沿折线 $B A - A C$ 向点 $C$ 运动，在 $B A$ 边速度为每秒5个单位长度，在 $A C$ 边速度为每秒 $2 \sqrt{5}$ 个单位长度．当点 $P$ 不与点 $A$ 重合时，连接 $P D$ ，以 $P A$ 、 $P D$ 为邻边作平行四边形 $A P D E$ ．设点 $P$ 运动时间为 $t$ 秒 $(t > 0)$ ．

(1)、线段 $A C$ 的长为， $△ A B C$ 的面积为；

(2)、用含 $t$ 的代数式表示线段 $A P$ 的长；

(3)、当平行四边形 $A P D E$ 是菱形时求 $t$ 的值；

(4)、当点 $P$ 在线段 $A B$ 上运动时，当点 $E$ 落在 $△ A B C$ 的高上时，直接写出 $t$ 的值．

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24. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} - 8 a x + 3$ （ $a$ 为常数）经过点 $A (6, 6)$ ．点 $P$ 是抛物线上一点，点 $P$ 的横坐标为 $m$ ，点 $Q$ 的坐标为 $(- 2, 3 - 2 m)$ ．

(1)、求抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；

(2)、当 $P Q$ 平行于 $x$ 轴时，求 $m$ 的值；

(3)、将抛物线点 $P$ 和点 $A$ 之间的部分记为图象 $G$ ，当 $G$ 的最大值和最小值之差为1时，求 $m$ 的取值范围；

(4)、以 $O P$ 、 $O Q$ 为邻边作平行四边形 $O P N Q$ ，当对称轴将四边形分成两部分，且面积比为 $5 : 3$ 时，直接写出 $m$ 的值．

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