四川省内江市隆昌市第一初级中学2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题

试卷更新日期：2024-04-30 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。）

1. $- 2024$ 的绝对值是（）

A、 $- 2024$ B、2024 C、 $- \frac{1}{2024}$ D、 $\frac{1}{2024}$

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2. 据生物学可知，卵细胞是人体细胞中最大的细胞，其直径约为0.0002米．将数0.0002用科学记数法表示为（）

A、 $0.2 \times 10^{- 3}$ B、 $0.2 \times 10^{- 4}$ C、 $2 \times 10^{- 3}$ D、 $2 \times 10^{- 4}$

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3. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A、等边三角形 B、平行四边形 C、矩形 D、正五边形

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4. 下列各式计算正确的是（）

A、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$ B、 $x^{2} \cdot x^{3} = x^{6}$ C、 $x^{2} + x^{3} = x^{5}$ D、 ${(a^{3})}^{3} = a^{9}$

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5. 下列立体图形中，俯视图是三角形的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 在函数 $y = \frac{\sqrt{x + 2}}{x - 1}$ 中，自变量 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \geq - 2$ 且 $x \neq 1$ B、 $x \leq 2$ 且 $x \neq 1$ C、 $x \neq 1$ D、 $x \leq - 2$

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7. 已知一组数据5，4， $x$ ，3，9的平均数为5，则这组数据的中位数是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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8. 如图，在 $□ A B C D$ 中， $E$ 为 $C D$ 上一点，连接 $A E 、 B D$ ，且 $A E 、 B D$ 交于点 $F$ ， $S_{△ D E F} : S_{△ A B F} = 4 : 25$ ，则 $D E : E C =$ （）

A、2：5 B、2：3 C、3：5 D、 $3 : 2$

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9. 某品牌服装折扣店将某件衣服按进价提高 $50 %$ 后标价，再打8折（标价的 $80 %$ ）销售，售价为240元。设这件衣服的进价为 $x$ 元，根据题意，下面所列的方程正确的是（）

A、 $x \cdot 50 % \times 80 % = 240$ B、 $x \cdot (1 + 50 %) \times 80 % = 240$ C、 $240 \times 50 % \times 80 % = x$ D、 $x (1 + 50 %) = 240 \times 80 %$

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10. 如图，AB是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ ， $∠ C D B = 30 °$ ， $C D = 2 \sqrt{3}$ ，则阴影部分的面积为（）

A、 $2 π$ B、 $π$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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11. 如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过矩形 $O A B C$ 对角线的交点 $M$ ，分别于 $A B 、 B C$ 交于点 $D 、 E$ ，若四边形 $O D B E$ 的面积为12，则 $k$ 的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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12. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的对称轴为直线 $x = 1$ ，与 $x$ 轴的一个交点坐标为 $(- 1 ， 0)$ ，其部分图象如图所示，下列结论：
$① 4 a c < b^{2}$ ； $②$ 方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两个根是 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = 3$ ； $③ 3 a + c > 0$ ；
$④$ 当 $y > 0$ 时， $x$ 的取值范围是 $- 1 \leq x < 3$ ； $⑤$ 当 $x < 0$ 时， $y$ 随 $x$ 增大而增大.
其中结论正确的个数是（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分、请将最后答案直接填在题中横线上。）

13. 分解因式： $x^{3} - 4 x$ =

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14. 在如图所示的四边形中，若去掉一个 $50 °$ 的角得到一个五边形，则 $∠ 1 + ∠ 2 =$ ；

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15. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(k - 1) x^{2} + 2 x - 2 = 0$ 有不相等实数根，则 $k$ 的取值范围是；

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16. 如图，在等边 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 边上一点， $E$ 为 $A C$ 边上一点，且 $∠ A D E = 60 °$ ， $B D = 4$ ， $C E = \frac{4}{3}$ ，则等边 $△ A B C$ 的边长为．

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三、解答题（本大题共5个小题，共44分、解答题必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤。）

17. 计算： ${(- \frac{1}{3})}^{- 2} - 16 \div {(- 2)}^{3} + {(π - t a n 60 °)}^{0} - 2 \sqrt{3} c o s 30 °$

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18. 在 $□ A B C D$ 中，点 $E, F$ 在对角线 $B D$ 上，且 $B E = D F$ ，
求证：

(1)、 $A E = C F$ ；

(2)、四边形 $A E C F$ 是平行四边形。

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19. 为推广阳光体育“大课间”活动，我市某中学决定在学生中开设A：实心球，B：立定跳远，C：跳绳，D：跑步四种活动项目．为了了解学生对四种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图①②的统计图．请结合图中的信息解答下列问题：

(1)、在这项调查中，共调查了多少名学生？

(2)、请计算本项调查中喜欢“立定跳远”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整；

(3)、若调查到喜欢“跳绳”的5名学生中有3名男生，2名女生．现从这5名学生中任意抽取2名学生．请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率．

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20. 为建设“宜居宜业宜游”山水园林式城市，内江市正在对城区沱江河段进行区域性景观打造。如图，某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸边取一点 $A$ ，再在河这边沿河边取两点 $B 、 C$ ，在点 $B$ 处测得点 $A$ 在北偏东 $30 °$ 方向上，在点 $C$ 处测得点 $A$ 在西北方向上，量得 $B C$ 长为200米。请你求出该河段的宽度（结果保留根号）。

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21. 如图，一次函数 $y = k x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象交于 $A (1, 4)$ ， $B (4, n)$ 两点。

(1)、求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)、连接 $O A, O B$ ，求 $△ O A B$ 的面积

(3)、点 $P$ 是 $x$ 轴上的一动点，要使 $P A + P B$ 最小，试求出点 $P$ 的坐标。

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四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分。）

22. 已知 $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{2 b}$ =3，则代数式 $\frac{2 a - 5 a b + 4 b}{4 a b - 3 a - 6 b}$ 的值为．

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23. 如图，已知直线 $l : y = \sqrt{3} x$ ，过点 $M (2, 0)$ 作 $x$ 轴的垂线交直线 $l$ 于点 $N$ ，过点 $N$ 作直线 $l$ 的垂线交 $x$ 轴于点 $M_{1}$ ；过点 $M_{1}$ 作 $x$ 轴的垂线交直线 $l$ 于 $N_{1}$ ，过点 $N_{1}$ 作直线 $l$ 的垂线交 $x$ 轴于点 $M_{2}, \cdot \cdot \cdot$ ；按此作法继续下去，则点 $M_{n}$ 的坐标为；

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24. 关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} - x + a < 2 \\ \frac{3 x - 1}{2} \leq x + 1 \end{array}$ 恰好有3个整数解，则 $a$ 的取值范围是；

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25. 如图，在等腰 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 15$ ，点 $E$ 在边 $C B$ 上， $C E = 2 E B$ ，点 $D$ 在边 $A B$ 上， $C D ⊥ A E$ ，垂足为 $F$ ，则 $A D$ 的长为．

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五、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分。解答题必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤。）

26. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ，$ 点 $E$ 在斜边 $A B$ 上，以 $A E$ 为直径的 $⊙ O$ 与 $B C$ 相切于点 $D .$

(1)、求证： $A D$ 平分 $∠ B A C .$

(2)、若 $A C = 3 ， A E = 4 .$ ①求 $A D$ 的值；②求图中阴影部分的面积.

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27. 一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜140吨，准备加工后进行销售，销售后获利的情况如下表所示：
销售方式
粗加工后销售
精加工后销售
每吨获利（元）
1000
2000
已知该公司的加工能力是：每天能精加工5吨或粗加工15吨，但两种加工不能同时进行。受季节等条件的限制，公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完。

(1)、如果要求12天刚好加工完140吨蔬菜，则公司应安排几天精加工，几天粗加工？

(2)、如果先进行精加工，然后进行粗加工。
①试求出销售利润 $W$ 元与精加工的蔬菜吨数 $m$ 之间的函数关系式；
②若要求在不超过10天的时间内，将140吨蔬菜全部加工完后进行销售，则加工这批蔬菜最多获得多少利润？此时如何分配加工时间？

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28. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的对称轴为 $x = - 1$ ，且抛物线经过 $A (1, 0), C (0, 3)$ 两点，与 $x$ 轴交于点 $B$

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、在第二象限抛物线上找一点 $M$ ， $△ B C M$ 的面积最大，求出此点 $M$ 的坐标；

(3)、设点 $P$ 为抛物线的对称轴 $x = - 1$ 上的一个动点，求使 $△ B P C$ 为直角三角形的点 $P$ 的坐标。

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销售方式	粗加工后销售	精加工后销售
每吨获利（元）	1000	2000