四川省眉山市仁寿县2023-2024学年高二下学期第一次教学质量监测(期中)数学试题

试卷更新日期：2024-04-29 类型：期中考试

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一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的）

1. 某班4个同学分别从3处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是（）

A、24种 B、4种 C、 $4^{3}$ 种 D、 $3^{4}$ 种

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2. 已知函数 $f (x) = a e^{x} + b x$ 在 $x = 0$ 处取得极小值1，则 $f^{'} (2) =$ （）

A、 $e^{2} - 2$ B、 $2 - e^{2}$ C、 $e^{2} - 1$ D、 $e^{2}$

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3. 设函数 $f (x)$ 在R上可导，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，且函数 $g (x) = x f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）

A、 $f (x)$ 有2个极值点 B、 $f (0)$ 为函数的极大值 C、 $f (x)$ 有1个极小值 D、 $f (- 1)$ 为 $f (x)$ 的极小值

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4. 已知函数 $f (x) = x l n x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(0, + ∞)$ 上是增函数 B、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{1}{e})$ 上是增函数 C、当 $x \in (0, 1)$ 时， $f (x)$ 有最小值 $- \frac{1}{e}$ D、 $f (x)$ 在定义域内无极值

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5. 已知 $f (x) = a x^{2} + l n x$ ，且 $\underset{Δ x \to 0}{l i m} \frac{f (1 + 2 Δ x) - f (1)}{Δ x} = 6$ ．若 $f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线与直线 $b x + a y + 1 = 0$ 垂直，则 $a + b =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、0

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6. 若函数 $f (x) = k x - 6 l n x - x^{2}$ 在区间 $[1, + \infty)$ 上单调递减，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(- ∞, 4 \sqrt{3})$ B、 $(- ∞, 8]$ C、 $(- ∞, 8)$ D、 $(- \infty, 4 \sqrt{3}]$

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 4 x^{2} - 3 x, x \leq 0 \\ x - a l n x, x > 0 \end{array}$ ，若 $\forall x_{1} \leq 0, \exists x_{2} > 0$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ 成立，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 0) \cup [1, + \infty)$ B、 $(- \infty, 0) \cup [e, + \infty)$ C、 $(0, 1]$ D、 $(0, e]$

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8. 已知实数x ， y满足 $e^{x} + x = \frac{1}{y} - l n y$ ，则 $x e^{- x} - y$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{e^{2}}$ B、 $\frac{1}{e}$ C、 $e$ D、 $2 e$

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二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题意要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选或不选得0分）

9. 下列表述中正确的是（）

A、若 $f^{'} (x_{0})$ 不存在，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{0} ， f (x_{0}))$ 处没有切线 B、 ${(l n 2 + l o g_{2} x)}^{^{'}} = \frac{1}{x l n 2}$ C、已知函数 $f (x) = e^{- 2 x} \cdot c o s x$ ，则 $f^{'} (0) = 1$ D、若 $f (x) = 2 f^{'} （ 1 ） x - x^{2} + l n x + 1$ ，则 $f (1) = 2$

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10. 已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，对任意的正数 $x$ ，都满足 $f (x) < x f^{'} (x) < 2 f (x) - 2 x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (1) < 2 f (\frac{1}{2})$ B、 $f (1) < \frac{1}{2} f (2)$ C、 $f (1) < 4 f (\frac{1}{2}) - 2$ D、 $f (1) > \frac{1}{4} f (2) + 1$

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11. 已知函数 $f (x) = a l n x - a x + 1 (a \in R)$ ， $g (x) = f (x) + \frac{3}{2} x^{2} - 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $a = 1$ 时， $f (x) \leq 0$ 在定义域上恒成立 B、若经过原点的直线与函数 $f (x)$ 的图像相切于点 $(3, f (3))$ ，则 $a = \frac{1}{l n 3 - 1}$ C、若函数 $g (x)$ 在区间 $[\frac{3}{2}, 4]$ 单调递减时，则 $a$ 的取值范围为 $[16, + ∞)$ D、若函数 $g (x)$ 有两个极值点为 $x_{1}, x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ ，则 $a$ 的取值范围为 $(- ∞, 12)$

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三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.）

12. 函数 $f (x) = e^{x} - x + 1$ 在区间 $[- 1, 1]$ 上的最大值是.

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13. 如图，现有4种不同颜色给图中5个区域涂色，要求任意两个相邻区域不同色，共有种不同涂色方法；（用数字作答）

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14. 已知函数 $f (x) = a l n x$ ， $(a \in R)$ ，若直线 $y = 2 x$ 是曲线 $y = f (x)$ 的切线，则 $a =$ ；若直线 $y = 2 x$ 与曲线 $y = f (x)$ 交于 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 两点，且 $x_{1} y_{1} - 9 x_{2} y_{2} \geq 0$ ，则 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题（本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + a}{e^{x - 1}}$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与直线 $x + 4 y + 2024 = 0$ 垂直.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间和极值.

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16. 已知函数 $f (x) = x^{3} - \frac{9}{2} x^{2} + 6 x + a (a \in R)$ .

(1)、求 $f (x)$ 在 $[- 2, 3]$ 上的最大值；

(2)、若函数 $f (x)$ 恰有1个零点，求 $a$ 的取值范围.

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17. 已知0， 1， 2， 3， 4， 5这六个数字．

(1)、可以组成多少个无重复数字的三位数？

(2)、可以组成多少个无重复数字的三位奇数？

(3)、可以组成多少个无重复数字的小于1 000的自然数？

(4)、可以组成多少个无重复数字的大于3 000且小于5 421的四位数？

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18. 已知函数 $f (x) = l n x + a x + \frac{a}{x}$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、探究：是否存在实数 $a$ ，使得函数 $g (x) = f (x) - a x - 2$ 在 $(0, e^{2}]$ 上的最小值为2；若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，请说明理由．

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19. 已知函数 $f (x) = l n x - x + 2$ ， e为自然对数的底数．

(1)、若此函数的图象与直线 $x = \frac{1}{e}$ 交于点P ，求该曲线在点P处的切线方程；

(2)、判断不等式 $f (x) > 0$ 的整数解的个数；

(3)、当 $\frac{e^{x}}{x} < e^{2}$ 时， $(1 + a x e^{2 - x} - a) f (x) \leq x e^{2 - x} - 1$ ，求实数a的取值范围．

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