广东省珠海市六校2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-04-29 类型：期中考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1. 下列求导运算正确的是（）

A、 $(l n x)^{'} = \frac{1}{x}$ B、 ${(e^{- x})}^{^{'}} = e^{- x}$ C、 ${(l o g_{2} x)}^{^{'}} = \frac{1}{x} l n 2$ D、 ${(s i n \frac{π}{3})}^{^{'}} = c o s \frac{π}{3}$

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2. 设 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{3} = 3, S_{8} = 48$ ，则 $a_{5}$ 的值为（）

A、5 B、7 C、9 D、10

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3. 在数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{4}{2 - a_{n}}$ ，则 $a_{12} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、1 D、4

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4. 函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{^{'}} (x)$ 的图象如图所示，则下面说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在区间 $(1, 3)$ 上单调递减 B、函数 $f (x)$ 在区间 $(- 2, 1)$ 上单调递增 C、 $x = - 3$ 为函数 $f (x)$ 的极小值点 D、 $x = 2$ 为函数 $f (x)$ 的极大值点

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{9} = 16$ ，设等差数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $b_{5} = a_{5}$ ，则 $S_{9} =$ （）

A、-36或36 B、-36 C、36 D、18

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6. 若点P是曲线 $y = x^{2} - l n x$ 上任意一点，则点P到直线 $y = x - 2$ 的最小距离为（）.

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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7. 已知函数 $f (x) = l n (x + 1)$ ，则 $f (1), \frac{f (2)}{2}, \frac{f (3)}{3}$ 的大小关系为（）

A、 $f (1) < \frac{f (2)}{2} < \frac{f (3)}{3}$ B、 $\frac{f (3)}{3} < f (1) < \frac{f (2)}{2}$ C、 $\frac{f (3)}{3} < \frac{f (2)}{2} < f (1)$ D、 $\frac{f (2)}{2} < f (1) < \frac{f (3)}{3}$

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8. 函数 $y = f (x)$ 的导数 $y = f^{'} (x)$ 仍是x的函数，通常把导函数 $y = f^{'} (x)$ 的导数叫做函数的二阶导数，记作 $y = f^{″} (x)$ ，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数…….一般地， $n - 1$ 阶导数的导数叫做n阶导数，函数 $y = f (x)$ 的n阶导数记为 $y = f^{(n)} (x)$ ，例如 $y = e^{x}$ 的n阶导数 ${(e^{x})}^{(n)} = e^{x}$ .若 $f (x) = x e^{x} + c o s 2 x$ ，则 $f^{(50)} (0) =$ （）

A、 $50 - 2^{50}$ B、50 C、49 D、 $49 + 2^{49}$

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二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 12 x + t (t \in R)$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $f (x)$ 可能是奇函数 B、 $f (x)$ 在区间 $[- 2 ， 2]$ 上单调递减 C、当 $f (x)$ 的极大值为17时， $t = 1$ D、当 $t = 1$ 时，函数 $f (x)$ 的值域是 $[- 15 ， 17]$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + 3 a_{2} + ⋯ ⋯ + (2 n - 1) a_{n} = 2 n$ ，其中 $b_{n} = \frac{a_{n}}{(2 n + 1)}$ ， $S_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前n项和，则下列四个结论中，正确的是（）

A、 $a_{1} = 2$ B、数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为： $a_{n} = \frac{2}{2 n + 1}$ C、数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为： $S_{n} = \frac{2 n}{2 n + 1}$ D、数列 ${a_{n}}$ 为递减数列

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11. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，则（）

A、若 $f (x)$ 为奇函数，则 $f^{'} (x)$ 为偶函数 B、若 $f^{'} (0) = 0$ ，则 $f (x)$ 为奇函数 C、若 $f^{'} (x)$ 的最小值为0，则 $a^{2} = 3 b$ D、若 $f^{'} (x)$ 为偶函数，则 $f (x)$ 为奇函数

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12. 已知 $n \in N^{*}$ ，下列说法正确的是（）

A、若数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} = n^{2} + 2 n + 1$ ，则该数列的通项公式为 $a_{n} = 2 n + 1$ B、设 $T_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项的乘积，且 $T_{n} = n^{2}$ ，则该数列的通项公式 $a_{n} = {\begin{array}{l} 1, n = 1 \\ \frac{n^{2}}{(n - 1)^{2}}, n > 1 \end{array}$ C、数列 $2, 5, 11, 20, x, 47, \dots$ 中的 $x$ 可以等于32 D、若 $S_{n}$ 是等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则 $S_{2}, S_{4} - S_{2}, S_{6} - S_{4}$ 也成等比数列

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三、填空题

13. 在等差数列{a_n}中，a₁=2，公差为d，且a₂ ， a₃ ， a₄+1成等比数列，则d= ．

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14. 函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，满足关系式 $f (x) = x^{2} + 2 x f^{'} (3) - 3 l n x$ ，则 $f^{'} (3)$ 的值为.

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15. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，….记大衍数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = {\begin{array}{l} \frac{n^{2} - 1}{2}, n 为奇数 \\ \frac{n^{2}}{2}, n 为偶数 \end{array}$ ，若 $b_{n} = {(- 1)}^{n} a_{n}$ ，则数列 ${b_{n}}$ 的前30项和为.

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16. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 的导函数满足 $f^{'} (x) < f (x)$ ，且 $f (x) f (x + 2) = - 1$ ，若 $f (2023) = - e$ ，则不等式 $f (x) < e^{x}$ 的解集为.

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b$ 在 $x = - 2$ 时取得极大值4.

(1)、求实数a ， b的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 3, 1]$ 上的最值.

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18. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{2} + a_{3} = 8$ ， $S_{5} = 25$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 1$ ， $b_{n + 1} = a_{n} - b_{n} (n \in N^{*})$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前21项和.

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19. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和．已知 $\frac{2 S_{n}}{n} + n = 2 a_{n} + 1$ ．

(1)、证明： ${a_{n}}$ 是等差数列；

(2)、若 $a_{4} ， a_{7} ， a_{9}$ 成等比数列，求 $S_{n}$ 的最小值．

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20. 某市城郊由3条公路围成的不规则的一块土地（其平面图形为图 $1$ 所示）.市政府为积极落实“全民健身”国家战略，准备在此地块上规划一个体育馆.建立图 $2$ 所示的平面直角坐标系，函数 $f (x)$ 的图象由曲线段 $O A$ 和直线段 $A B$ 构成，已知曲线段 $O A$ 可看成函数 $f (x) = k x^{2}$ 的一部分，直线段 $O B = 6$ （百米），体育馆平面图形为直角梯形 $B C D E$ （如图 $2$ 所示）， $∠ B C D = \frac{π}{2}$ ， $B C ∥ D E$ .（参考数据： $\sqrt{105} \approx 10$ ）

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、在线段 $O B$ 上是否存在点 $C$ ，使体育馆平面图形面积最大？若存在，求出该点 $C$ 到原点 $O$ 的距离；若不存在，请说明理由.

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21. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，已知 $a_{1} = 1 ， {\frac{S_{n}}{a_{n}}}$ 是公差为 $\frac{1}{3}$ ，的等差数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、证明： $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{n}} < 2$

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22. 已知函数 $f (x) = a (e^{x} + a) - x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、证明：当 $a > 0$ 时， $f (x) > 2 l n a + \frac{3}{2}$ .

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