四川省成都蓉城名校联盟2024届高三下学期第三次模拟考试数学理科试卷

试卷更新日期：2024-04-29 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5}$ ，若集合 $M$ 满足 ${1, 4} \subseteq {∁_{}}_{U} M$ ，则( )

A、 $4 \in M$ B、 $1 \notin M$ C、 $2 \in M$ D、 $3 \notin M$

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2. 若复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 2 - i$ ，则 $z =$ ( )

A、 $\frac{1}{2} + \frac{i}{2}$ B、 $\frac{1}{2} - \frac{i}{2}$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ D、 $\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$

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3. $2_{}^{- 3}$ ， $2_{}^{\frac{1}{3}}$ ， $s i n \frac{3}{2}$ ， $l o g_{2}^{} \frac{1}{3}$ 四个数中最大的数是( )

A、 $2_{}^{- 3}$ B、 $2_{}^{\frac{1}{3}}$ C、 $s i n \frac{3}{2}$ D、 $l o g_{2}^{} \frac{1}{3}$

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4. 地球生命来自外星吗？一篇发布在《生物学快讯》上的文章《基因库的增长是生命起源和演化的时钟》可能给出了一种答案．该论文的作者根据生物功能性基因组里的碱基排列数的大小定义了基因库的复杂度y（单位：1），通过研究各个年代的古代生物化石里基因库的复杂度，提出了一个有趣的观点：生物基因库的复杂度近似是随时间呈指数增长的，只要知道生物基因库的复杂度就可以推测该生物体出现的年代．如图是该论文作者根据生物化石（原核生物，真核生物，蠕虫，鱼类，哺乳动物）中的基因复杂度的常用对数 $l g y$ 与时间 $x$ （单位：十亿年）的散点图及回归拟合情况（其中回归方程为： $l g y = 0.89 x + 8.64$ ，相关指数 $R^{2} = 0.97$ ）．根据题干与图中的信息，下列说法错误的是（）

A、根据信息生物基因库的复杂度近似是随时间呈指数增长的情况，不同于作者采取 $y$ 取常用对数的做法，我们也可采用函数模型 $y = \hat{b} \times 1 0^{\hat{a} x} + k$ 来拟合 B、根据回归方程可以得到，每过10亿年，生物基因库的复杂度一定增加到原来的 $1 0^{0.89} \approx 7.76$ 倍 C、虽然拟合相关指数为0.97，但是样本点只有5个，不能很好地阐释其统计规律，所以增加可靠的样本点可以更好地完善回归方程 D、根据物理界主流观点：地球的形成始于45亿年前，及拟合信息：地球在诞生之初时生物的复杂度大约为 $1 0^{8.64}$ ，可以推断地球生命可能并非诞生于地球

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5. 若正实数 $a, b$ 满足 $a^{2} + b^{2} = m$ ，则 $a + b$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{2 m}$ B、 $\sqrt{2} m$ C、 $2 \sqrt{m}$ D、 $2 m$

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6. 若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是平面上两个非零的向量，则“ $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | + | \vec{b} |$ ”是“ $| \vec{a} \cdot \vec{b} | = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} |$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ ， $β$ 的始边均为 $O x$ ，终边相互垂直，若 $c o s α = \frac{3}{5}$ ，则 $c o s 2 β =$ ( )

A、 $\frac{9}{25}$ B、 $- \frac{9}{25}$ C、 $\frac{7}{25}$ D、 $- \frac{7}{25}$

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8. 已知公比不为1的等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若数列 ${S_{n} + a_{n}}$ 是首项为1的等差数列，则 $a_{3} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{5}{8}$

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9. 某电子竞技队伍由1名队长、1名副队长与3名队员构成，按需要担任第1至5号位的任务，由于队长需要分出精力指挥队伍，所以不能担任1号位，副队长是队伍输出核心，必须担任1号位或2号位，则不同的位置安排方式有（）

A、36种 B、42种 C、48种 D、52种

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10. 已知正方体以某直线为旋转轴旋转 $α$ 角后与自身重合，则 $α$ 不可能为( )

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $π$

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11. 若函数 $f (x) = e^{x} - k x^{2}$ 大于0的零点有且只有一个，则实数 $k$ 的值为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{e}$ C、 $\frac{e}{2}$ D、 $\frac{e^{2}}{4}$

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12. 已知点 $P, Q$ 分别是抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 和圆 $E : x^{2} + y^{2} - 10 x + 21 = 0$ 上的动点，若抛物线 $C$ 的焦点为 $F$ ，则 $2 | P Q | + | Q F |$ 的最小值为（）

A、6 B、 $2 + 2 \sqrt{5}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $4 + 2 \sqrt{3}$

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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 若双曲线 $C$ 的渐近线方程为 $\sqrt{2} x \pm y = 0$ ，则 $C$ 的标准方程可以是（写出一个你认为正确的答案即可）．

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14. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是．

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15. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = x (1 - l n x)$ ，则当 $x < 0$ 时， $f (x)$ 的单调递增区间为．

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16. 若实数 $x_{1}, x_{2}$ 是方程 $\sqrt{3} s i n 2 x - c o s 2 x = - \frac{4}{3}$ 在区间 $(0, π)$ 上不同的两根，则 $c o s (x_{2} - x_{1}) =$ ．

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三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

17. 在 $△ A B C$ 中， $B C = 5, A C = 6, c o s B = \frac{1}{8}$ ．

(1)、求 $A B$ 的长；

(2)、求 $A C$ 边上的高．

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18. 已知在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是直角梯形，满足 $A D ∥ B C, A D ⊥ D C$ ，若 $P A = A D = D C = 2, B C = 3$ ，点 $M$ 为 $P D$ 的中点，点 $N$ 为 $P C$ 的三等分点（靠近点 $P$ ）．

(1)、求证： $P C ⊥$ 平面 $A M N$ ；

(2)、若线段 $P B$ 上的点 $Q$ 在平面 $A M N$ 内，求 $\frac{P Q}{P B}$ 的值．

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19. RAID10是一种常见的独立兮余磁盘阵列，因为先做镜像存储再做条带存储，使得RAID10同时具有RAID0的快速与RAID1的可靠的优点，同时阵列中若有几块磁盘损坏可以通过阵列冗余备份进行数据恢复．某视频剪辑公司购进100块拆机磁盘组建一台存储服务器，考虑到稳定性，拟采取RAID10组建磁盘阵列，组建之前需要对磁盘进行坏道扫描，每块需要2小时，若扫描出磁盘有坏道，则更换为没有坏道的正常磁盘．现工作小组为了提升效率，打算先扫描其中的10块，再根据扫描情况，决定要不要继续扫描剩下的所有磁盘，设每块磁盘有坏道的概率为 $x (x \in (0, 1))$ ，且每块磁盘是否有坏道相互独立．

(1)、将扫描的10块中恰有2块有坏道的概率 $p$ 表示成关于 $x$ 的函数，并求该函数的最大值点 $x_{0}$ ；

(2)、现扫描的10块中恰有2块有坏道，考虑到安全性，工作小组决定用（1）中的 $x_{0}$ 作为 $x$ 值来预测．已知有坏道磁盘直接投入使用会造成该盘上的数据丢失或损坏，每块投入使用的有坏道磁盘需要10.5小时进行更换和数据恢复，请根据现有扫描情况，以整个组建过程所花费的时间的期望为决策依据，判断是否需要扫描剩下的所有磁盘．

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20. 已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的点 $M (2, 1)$ 到焦点 $F_{1}, F_{2}$ 的距离之和为 $4 \sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、（2）过点 $N (4, 0)$ 的直线交 $E$ 于 $A, B$ 两点，直线 $A M, B M$ 分别交直线 $x = 4$ 于 $P, Q$ 两点，求证： $| P N | = | Q N |$ ．

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21. 已知函数 $f (x) = l n x$ ，若数列 ${a_{n}}$ 的各项由以下算法得到：
①任取 $a_{i} = a$ （其中 $a > 0$ ），并令正整数 $i = 1$ ；
②求函数 $f (x)$ 图象在 $(a_{i}, f (a_{i}))$ 处的切线在 $y$ 轴上的截距 $a_{i + 1}$ ；
③判断 $a_{i + 1} > 0$ 是否成立，若成立，执行第④步；若不成立，跳至第⑤步；
④令 $i = i + 1$ ，返回第②步；
⑤结束算法，确定数列 ${a_{n}}$ 的项依次为 $a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{i + 1}$ ．
根据以上信息回答下列问题：

(1)、求证： $a_{i + 1} = l n a_{i} - 1$ ；

(2)、是否存在实数 $a \in (k, k + 1) (k \in N)$ 使得 ${a_{n}}$ 为等差数列，若存在，求出 $k$ 的值；若不存在，请说明理由．参考数据： $e^{\frac{1}{e^{2}} + 1} \approx 3.11$ ．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - t, \\ y = \sqrt{3} t \end{array}$ （ $t$ 为参数），曲线 $C_{2}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = a + c o s α, \\ y = s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、若 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的两不同交点 $A, B$ 满足 $\vec{O A} = 2 \vec{O B}$ ，求 $a$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = x - m, g (x) = x + 2$ ．

(1)、当 $m = 1$ 时，解不等式 $| f (x) | + | g (x) | \leq 5$ ；

(2)、若 $x \in (- 1, + \infty)$ ， $| f (x) | g (x - 2) + f (x) | g (x) | > 0$ 成立，求 $m$ 的取值范围．

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