四川省成都市蓉城名校联盟2024届高三下学期第三次模拟考试文科数学试题

试卷更新日期：2024-04-29 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5}$ ，若集合 $M$ 满足 ${1, 4} \subseteq {∁_{}}_{U} M$ ，则( )

A、 $4 \in M$ B、 $1 \notin M$ C、 $2 \in M$ D、 $3 \notin M$

查看试题解析
2. 若复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 2 - i$ ，则 $z =$ ( )

A、 $\frac{1}{2} + \frac{i}{2}$ B、 $\frac{1}{2} - \frac{i}{2}$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ D、 $\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$

查看试题解析
3. $2_{}^{- 3}$ ， $2_{}^{\frac{1}{3}}$ ， $s i n \frac{3}{2}$ ， $l o g_{2}^{} \frac{1}{3}$ 四个数中最大的数是( )

A、 $2_{}^{- 3}$ B、 $2_{}^{\frac{1}{3}}$ C、 $s i n \frac{3}{2}$ D、 $l o g_{2}^{} \frac{1}{3}$

查看试题解析
4. 函数 $f (x) = \frac{x c o s 2 x}{l n (x_{}^{2} + 1)}$ 的图象大致是( )

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
5. 地球生命来自外星吗？一篇发布在《生物学快讯》上的文章《基因库的增长是生命起源和演化的时钟》可能给出了一种答案．该论文的作者根据生物功能性基因组里的碱基排列数的大小定义了基因库的复杂度 $y$ （单位：1），通过研究各个年代的古代生物化石里基因库的复杂度，提出了一个有趣的观点：生物基因库的复杂度近似是随时间呈指数增长的，只要知道生物基因库的复杂度就可以推测该生物体出现的年代．如图是该论文作者根据生物化石（原核生物，真核生物，蠕虫，鱼类，哺乳动物）中的基因复杂度的常用对数 $l g y$ 与时间 $x$ （单位：十亿年）的散点图及回归拟合情况（其中回归方程为： $l g y = 0.89 x + 8.64$ ，相关指数 $R_{}^{2} = 0.97$ ）．根据题干与图中的信息，下列说法错误的是( )

A、根据信息生物基因库的复杂度近似是随时间呈指数增长的情况，不同于作者采取 $y$ 取常用对数的做法，我们也可采用函数模型 $y = \hat{b}$ 来拟合 B、根据回归方程可以得到，每过10亿年，生物基因库的复杂度一定增加到原来的 $1 0_{}^{0.89} \approx 7.76$ 倍 C、虽然拟合相关指数为 $0.97$ ，但是样本点只有5个，不能很好地阐释其统计规律，所以增加可靠的样本点可以更好地完善回归方程 D、根据物理界主流观点：地球的形成始于45亿年前，及拟合信息：地球在诞生之初时生物的复杂度大约为 $1 0_{}^{8.64}$ ，可以推断地球生命可能并非诞生于地球

查看试题解析
6. 若 $a$ ， $b$ 是平面上两个非零的向量，则“ $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | + | \vec{b} |$ ”是“ $| \vec{a} \vec{b} | = | \vec{a} | | \vec{b} |$ ”的( )

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
7. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ ， $β$ 的始边均为 $O x$ ，终边相互垂直，若 $c o s α = \frac{3}{5}$ ，则 $c o s 2 β =$ ( )

A、 $\frac{9}{25}$ B、 $- \frac{9}{25}$ C、 $\frac{7}{25}$ D、 $- \frac{7}{25}$

查看试题解析
8. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = x (1 - l n x)$ ，则当 $x < 0$ 时， $f (x)$ 的单调递增区间为( )

A、 $(- \infty, - e)$ B、 $(- e, 0)$ C、 $(- \infty, 0)$ D、 $(- 1, 0)$

查看试题解析
9. 已知公比不为1的等比数列 ${a_{n}^{}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}^{}$ ，若数列 ${S_{n}^{} + a_{n}^{}}$ 是首项为1的等差数列，则 $a_{3} =$ ( )

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{8}$

查看试题解析
10. 已知点 $P$ ， $Q$ 分别是抛物线 $C : y_{}^{2} = 4 x$ 和直线 $l : x = \frac{5}{2}$ 上的动点，若抛物线 $C$ 的焦点为 $F$ ，则 $| P Q | + | Q F |$ 的最小值为( )

A、 $3$ B、 $2 + \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $4$

查看试题解析
11. 已知正方体以某直线为旋转轴旋转 $α$ 角后与自身重合，则 $α$ 不可能为( )

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $π$

查看试题解析
12. 若实数 $x_{1}^{}$ ， $x_{2}^{}$ 是方程 $\sqrt{3} s i n 2 x - c o s 2 x = - \frac{4}{3}$ 在区间 $(0, π)$ 上不同的两根，则 $c o s (x_{2}^{} - x_{1}^{}) =$ ( )

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{5}}{3}$

查看试题解析

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 若双曲线 $C$ 的渐近线方程为 $\sqrt{2} x \pm y = 0$ ，则 $C$ 的标准方程可以是（写出一个你认为正确的答案即可）．

查看试题解析
14. 若圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的高为．

查看试题解析
15. 若正实数 $a$ ， $b$ 满足 $a_{}^{2} + b_{}^{2} = m$ ，则 $a + b$ 的最大值为（用 $m$ 表示）．

查看试题解析
16. 若函数 $f (x) = e^{x} - k x^{2}$ 大于 $0$ 的零点有且只有一个，则实数 $k$ 的值为．

查看试题解析

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17. 在 $△ A B C$ 中， $B C = 5$ ， $A C = 6$ ， $c o s B = \frac{1}{8}$ ．

(1)、求 $A B$ 的长；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

查看试题解析
18. 为了更好地培养国家需要的人才，某校拟开展一项名为“书香致远，阅读润心”的读书活动，为了更好地服务全校学生，需要对全校学生的周平均阅读时间进行调查，现从该校学生中随机抽取 $200$ 名学生，将他们的周平均阅读时间（单位：小时）数据分成 $5$ 组： $[2, 4)$ ， $[4, 6)$ ， $[6, 8)$ ， $[8, 10)$ ， $[10, 12]$ ，根据分组数据制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)、求 $a$ 的值，并估计全校学生周平均阅读时间的平均数；

(2)、用分层抽样的方法从周平均阅读时间不小于 $8$ 小时的学生中抽出 $6$ 人，再随机选出 $2$ 人作为该活动的形象大使，求这 $2$ 人都来自 $[8, 10)$ 这组的概率．

查看试题解析
19. 已知在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是直角梯形，满足 $A D ∥ B C$ ， $A D ⊥ D C$ ，若 $P A = A D = D C = 2$ ， $B C = 3$ ，点 $M$ 为 $P D$ 的中点，点 $N$ 为 $P C$ 的三等分点（靠近点 $P$ ）．

(1)、求证： $A M ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求三棱锥 $P - A M N$ 的体积．

查看试题解析
20. 已知椭圆 $E$ ： $\frac{x_{}^{2}}{a_{}^{2}} + \frac{y_{}^{2}}{b_{}^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的点 $M (2, 1)$ 到焦点 $F_{1}^{}$ ， $F_{2}^{}$ 的距离之和为 $4 \sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、过点 $N (4, 0)$ 的直线交椭圆 $E$ 于A ， B两点，直线 $A M$ ， $B M$ 分别交直线 $x = 4$ 于 $P (x_{P}^{}, y_{P}^{})$ ， $Q (x_{Q}^{}, y_{Q}^{})$ 两点，求证： $y_{P}^{} + y_{Q}^{} = 0$ ．

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = l n x$ ，若数列 ${a_{n}^{}}$ 的各项由以下算法得到：
①任取 $a_{i} = a$ （其中 $a > 0$ ），并令正整数 $i = 1$ ；
②求函数 $f (x)$ 图象在 $(a_{i}^{}, f (a_{i}^{}))$ 处的切线在 $y$ 轴上的截距 $a_{i + 1}^{}$ ；
③判断 $a_{i + 1}^{} > 0$ 是否成立，若成立，执行第④步；若不成立，跳至第⑤步；
④令 $i = i + 1$ ，返回第②步；
⑤结束算法，确定数列 ${a_{n}^{}}$ 的项依次为 $a_{1}^{}$ ， $a_{2}^{}$ ， $⋯$ ， $a_{i + 1}^{}$ ．
根据以上信息回答下列问题：

(1)、求证： $a_{i + 1}^{} = l n a_{i}^{} - 1$ ；

(2)、是否存在实数 $a$ 使得 ${a_{n}^{}}$ 为等差数列，若存在，求出数列 ${a_{n}^{}}$ 的项数 $n$ ；若不存在，请说明理由．参考数据： $e^{\frac{1}{e^{2}} + 1} \approx 3.11$ ．

查看试题解析

四、选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22. [选修4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $C_{1}^{}$ 的参数方程为 ${\begin{cases} x = - t ， \\ y = \sqrt{3} t \end{cases}$ （ $t$ 为参数），曲线 $C_{2}^{}$ 的参数方程为 ${\begin{cases} x = a + c o s α ， \\ y = s i n α \end{cases}$ （ $α$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求 $C_{1}^{}$ 与 $C_{2}^{}$ 的极坐标方程；

(2)、若 $C_{1}^{}$ 与 $C_{2}^{}$ 的两不同交点 $A$ ， $B$ 满足 $\vec{O A} = 2 \vec{O B}$ ，求 $a$ 的值．

查看试题解析
23. [选修4－5：不等式选讲]
已知函数 $f (x) = x - m$ ， $g (x) = x + 2$ ．

(1)、当 $m = 1$ 时，解不等式 $| f (x) | + | g (x) | ⩽ 5$ ；

(2)、若 $x \in (- 1, + \infty)$ ， $| f (x) | g (x - 2) + f (x) | g (x) | > 0$ 成立，求 $m$ 的取值范围．

查看试题解析