江西省南昌市2024届高三第二次模拟测试数学试题

试卷更新日期：2024-04-28 类型：高考模拟

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一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (- 2, 3)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、2 B、4 C、6 D、8

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2. 设复数 $z$ 满足 $z + 1 = (2 + i) z$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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3. 已知集合 $A = {x ∣ l n x ⩽ 0}, B = {x ∣ 2^{x} ⩽ 2}$ ，则“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - 2 x, x < 0 \\ l o g_{2} (x + 1), x ⩾ 0 \end{array}$ ，则不等式 $f (x) < 2$ 的解集是（）

A、 $(- \infty, 2)$ B、 $(- \infty, 3)$ C、 $[0, 3)$ D、 $(3, + \infty)$

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5. 在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B ⊥$ 平面 $B C D, A B = \sqrt{3}, B C = B D = C D = 2, E, F$ 分别为AC，CD的中点，则下列结论正确的是（）

A、AF，BE是异面直线， $A F ⊥ B E$ B、AF，BE是相交直线； $A F ⊥ B E$ C、AF，BE是异面直线，AF与BE不垂直 D、AF，BE是相交直线，AF与BE不垂直

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6. 已知 $2 c o s (2 x + \frac{π}{12}) c o s (x - \frac{π}{12}) - c o s 3 x = \frac{1}{4}$ ，则 $s i n (\frac{π}{6} - 2 x) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{7}{8}$ D、 $- \frac{7}{8}$

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7. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，双曲线的右支上有一点 $A, A F_{1}$ 与双曲线的左支交于 $B$ ，线段 $A F_{2}$ 的中点为 $M$ ，且满足 $B M ⊥ A F_{2}$ ，若 $∠ F_{1} A F_{2} = \frac{π}{3}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{7}$

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8. 校足球社团为学校足球比赛设计了一个奖杯，如图，奖杯的设计思路是将侧棱长为6的正三棱锥 $P - A B C$ 的三个侧面沿AB，BC，AC展开得到面 $P_{1} A B, P_{2} B C, P_{3} A C$ ，使得平面 $P_{1} A B, P_{2} B C, P_{3} A C$ 均与平面ABC垂直，再将球 $O$ 放到上面使得 $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ 三个点在球 $O$ 的表面上，若奖杯的总高度为 $6 \sqrt{2}$ ，且 $A B = 4$ ，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $\frac{140 π}{3}$ B、 $\frac{100 π}{9}$ C、 $\frac{98 π}{9}$ D、 $\frac{32 π}{3}$

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二、选择题:本题共3小题,每题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.

9. 为了解中学生喜爱足球运动与性别是否有关，甲、乙两校的课题组分别随机抽取了本校部分学生进行调查，得到如下两个表格：
甲校样本

喜爱足球运动
不喜爱足球运动
合计
男性
15
5
20
女性
8
12
20
合计
23
17
40
乙校样本

喜爱足球运动
不喜爱足球运动
合计
男性
70
30
100
女性
45
55
100
合计
115
85
200
则下列判断中正确的是（）

(参考公式及数据： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, n = a + b + c + d$ ).
$α$
0.1
0.01
0.001
$x_{α}$
2.706
6.635
10.828

A、样本中，甲校男学生喜爱足球运动的比例高于乙校男学生喜爱足球运动的比例 B、样本中，甲校女学生喜爱足球运动的比例高于乙校女学生喜爱足球运动的比例 C、根据甲校样本有 $99 %$ 的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关 D、根据乙校样本有 $99 %$ 的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关

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10. 已知 $f (x) = x + a c o s x (a \neq 0)$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $R$ 上可能单调递减 B、若 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，则 $a \in [- 1, 0) \cup (0, 1]$ C、 $(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 是 $f (x)$ 的一个对称中心 D、 $f (x)$ 所有的对称中心在同一条直线上

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11. 已知 $| A B | = 4, M$ 为AB上一点，且满足 $\vec{A M} = 3 \vec{M B}$ .动点 $C$ 满足 $| A C | = 2 | C M |, D$ 为线段BC上一点，满足 $| C D | = | D M |$ ，则下列说法中正确的是（）

A、若 $C M ⊥ A B$ ，则 $D$ 为线段BC的中点 B、当 $A C = 3$ 时， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ C、点 $D$ 到A，B距离之和的最大值为5 D、 $∠ M C B$ 的正切值的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.

12. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为 $a, b, c,$ 若 $a s i n B = 2 b c o s A$ ，则 $t a n A =$ .

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13. 一次知识竞赛中，共有 $A, B, C, D, E 5$ 个题，参赛人每次从中抽出一个题回答(抽后不放回).已知参赛人甲 $A$ 题答对的概率为 $\frac{3}{4}, B$ 题答对的概率为 $\frac{1}{4}, C, D, E$ 题答对的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，则甲前3个题全答对的概率为.

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14. 如图，有一张较大的矩形纸片 $A B C D, O, O_{1}$ 分别为AB，CD的中点，点 $P$ 在 $O O_{1}$ 上， $| O P | = 2$ .将矩形按图示方式折叠，使直线AB(被折起的部分)P点，记AB上与 $P$ 点重合的点为 $M$ ，折痕为 $l$ .过点 $M$ 再折一条与BC平行的折痕 $m$ ，并与折痕 $l$ 交于点 $Q$ ，按上述方法多次折叠， $Q$ 点的轨迹形成曲线 $E$ .曲线 $E$ 在 $Q$ 点处的切线与AB交于点 $N$ ，则 $△ P Q N$ 的面积的最小值为.

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四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 1, a_{2} = 3, a_{n} + a_{n + 2} = k a_{n + 1}$ .

(1)、当 $k = 2$ 时，求 $S_{10}$ ；

(2)、若 $k = \frac{5}{2}$ ，设 $b_{n} = a_{n + 1} - 2 a_{n}$ ，求 ${b_{n}}$ 的通项公式.

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16. 一条生产电阻的生产线，生产正常时，生产的电阻阻值 $X$ (单位： $Ω$ )服从正态分布 $N (1000, 5^{2})$ .

(1)、生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取2只，求这两只电阻的阻值在区间 $(995, 1000]$ 和 $(1005, 1010]$ 内各一只的概率；(精确到0.001)

(2)、根据统计学的知识，从服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ 的总体中抽取容量为 $n$ 的样本，则这个样本的平均数服从正态分布 $N (μ, \frac{σ^{2}}{n})$ .某时刻，质检员从生产线上抽取5只电阻，测得阻值分别为：1000，1007，1012，1013，1013(单位：Ω).你认为这时生产线生产正常吗?说明理由．(参考数据：若 $X ~ N (u, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X ⩽ μ + σ) \approx 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < X ⩽ μ + 2 σ) \approx 0.9544, P (μ - 3 σ < X ⩽ μ + 3 σ) \approx 0.9974 .)$

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17. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $E (1, \frac{\sqrt{3}}{2}), P$ 为椭圆 $C$ 的右顶点， $O$ 为坐标原点， $△ O P E$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $D (- 1, 0)$ 作直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于A，B，A关于原点 $O$ 的对称点为 $C$ ，若 $| B A | = | B C |$ ，求直线AB的斜率.

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18. 已知 $f (x) = a^{x} - x^{a} (x > 0, a > 0$ 且 $a \neq 1)$ .

(1)、当 $a = e$ 时，求证： $f (x)$ 在 $(e, + \infty)$ 上单调递增；

(2)、设 $a > e$ ，已知 $\forall x \in [\frac{e^{2}}{2} l n a, + \infty)$ ，有不等式 $f (x) ⩾ 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面，截该圆柱所得的截面为椭圆面，得到的几何体称之为“斜截圆柱”.图一与图二是完全相同的“斜截圆柱”，AB是底面圆 $O$ 的直径， $A B = 2 B C = 2$ ，椭圆所在平面垂直于平面ABCD，且与底面所成二面角为 $4 5^{°}$ ，图一中，点 $P$ 是椭圆上的动点，点 $P$ 在底面上的投影为点 $P_{1}$ ，图二中，椭圆上的点 $E_{i} (i = 1, 2, 3, ⋯, n)$ 在底面上的投影分别为 $F_{i}$ ，且 $F_{i}$ 均在直径AB的同一侧.

(1)、当 $∠ A O P_{1} = \frac{2 π}{3}$ 时，求 $P P_{1}$ 的长度；

(2)、①当 $n = 6$ 时，若图二中，点 $F_{1}, F_{2}, \dots, F_{6}$ 将半圆均分成7等份，求 $(E_{1} F_{1} - 2) \cdot (E_{2} F_{2} - 2) \cdot (E_{3} F_{3} - 2)$ ；
②证明： $\overset{⌢}{A F_{1}} \cdot E_{1} F_{1} + {\overset{⌢}{F_{1} F}}_{2} \cdot E_{2} F_{2} + ⋯ + \overset{⌢}{F_{n - 1} F_{n}} \cdot E_{n} F_{n} + \overset{⌢}{F_{n} B} \cdot B C < 2 π$ .

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	喜爱足球运动	不喜爱足球运动	合计
男性	15	5	20
女性	8	12	20
合计	23	17	40

$α$	0.1	0.01	0.001
$x_{α}$	2.706	6.635	10.828