重庆康德卷2024年普通高等学校招生全国统一考试高三第二次联合诊断考试数学试题

试卷更新日期：2024-04-28 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若复数 $z = (2 - a) + (2 a - 1) i (a \in R)$ 为纯虚数，则复数 $z + a$ 在复平面上的对应点的位置在（）

A、第一象限内 B、第二象限内 C、第三象限内 D、第四象限内

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2. 已知 $a, b$ 是空间中的两条直线，则 $a \cap b = \emptyset$ 是 $a$ $∥$ $b$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知集合 $A = {1, 3}, B = {x ∣ (x - a) [x - (a - 2)] ⩽ 0, a \in R}$ ，若 $A \cup B = B$ ，则（）

A、 $a = 1$ B、 $a = 3$ C、 $1 < a < 3$ D、 $1 ⩽ a ⩽ 3$

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4. 若函数 $f (x) = s i n (2 x - φ) (0 ⩽ φ < π)$ 在 $(0, \frac{π}{3})$ 上单调递增，则 $φ$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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5. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{2 n} = a_{n}^{2}$ ，且 $- a_{2}$ 是 $a_{1}$ 与 $a_{3}$ 的等差中项，则 $a_{5} =$ （）

A、32 B、2 C、1 D、-1

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6. 有男､女教师各1人，男､女学生各2人，从中选派3人参加一项活动，要求其中至少有1名女性，并且至少有1名教师，则不同的选派方案有（）

A、10种 B、12种 C、15种 D、20种

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7. 已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 3, P$ 是圆 $O$ 外一点，过点 $P$ 作圆 $O$ 的两条切线，切点分别为 $A, B$ ，若 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = \frac{9}{2}$ ，则 $| O P | =$ （）

A、 $\sqrt{6}$ B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{15}$

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8. 设函数 $f (x) = l n (x - 2)$ ，点 $A (x_{1}, f (x_{1})), B (x_{2}, f (x_{2}))$ ，其中 $2 < x_{1} < x_{2}$ ，且 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{1}{2}$ ，则直线 $A B$ 斜率的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{1}{2})$ B、 $(0, \frac{1}{e})$ C、 $(0, \frac{1}{4})$ D、 $(0, \frac{1}{2 e})$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.

9. 已知函数 $f (x) = a^{x} + {(\frac{1}{a})}^{x} (a > 0$ ，且 $a \neq 1)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (2 x) = [f (x)]^{2} - 2$ C、 $f (x)$ 的值域是 $[2, + ∞)$ D、 $f (x)$ 在 $(- ∞, 0)$ 上单调递减

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10. 英国经济学家凯恩斯（1883-1946）研究了国民收入支配与国家经济发展之间的关系，强调政府对市场经济的干预，并形成了现代西方经济学的一个重要学派一凯恩斯学派.机恩斯抽象出三个核心要素：国民收入 $Y$ ，国民消费 $C$ 和国民投资 $I$ ，假设国民收入不是用于消费就是用于投资，就有： ${\begin{array}{l} Y = C + I \\ C = a_{0} + a Y \end{array}$ .其中常数 $a_{0}$ 表示房租､水电等固定消费， $a (a ⩽ 1)$ 为国民“边际消费倾向”.则（）

A、若固定 $I$ 且 $I ⩾ 0$ ，则国民收入越高，“边际消费倾向”越大 B、若固定 $Y$ 且 $Y ⩾ 0$ ，则“边际消费倾向”越大，国民投资越高 C、若 $a = \frac{4}{5}$ ，则收入增长量是投资增长量的5倍 D、若 $a = - \frac{4}{5}$ ，则收入增长量是投资增长量的 $\frac{1}{5}$

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11. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} (- c, 0), F_{2} (c, 0)$ ，直线 $l$ ： $b x + a y - b c = 0$ 与 $C$ 相交于点 $M$ ，与 $C$ 的一条渐近线相交于点 $N$ .记 $C$ 的离心率为 $e$ ，那么（）

A、若 $N F_{1} ⊥ N F_{2}$ ，则 $e = 2$ B、若 $M F_{1} ⊥ M F_{2}$ ，则 $e = 2 \sqrt{2}$ C、落 $| N F_{2} | = 2 | M F_{2} |$ ，则 $e = \sqrt{2}$ D、若 $| M F_{1} | ⩾ 5 | M F_{2} |$ ，则 $e ⩾ \sqrt{2}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 某体育器材店在两个购物平台上均开设了网店，平台一有1万人给出评分，综合好评率为 $96 %$ ，平台二有2万人给出评分，综合好评率为 $93 %$ ，则这家体育器材店的总体综合好评率为.

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13. 将一个半径为 $\frac{3}{2} c m$ 的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的底面边长为 $1 c m$ 和 $2 c m$ ，则它的高为 $c m$ .

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14. 记正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} = \frac{a_{n} (a_{n} + 1)}{2}, n \in N^{*}$ ，则 $S_{n}^{2} + \frac{128}{S_{n}}$ 的最小值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 如图，直棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为梯形， $A B$ $∥$ $D C$ ，且 $A B = 2 D C, E, F$ 分别是棱 $A B$ ， $A D$ 的中点.

(1)、证明：平面 $D_{1} E F$ $∥$ 平面 $C_{1} B D$ ；

(2)、已知 $A A_{1} = A D = D C = 1, ∠ D A B = 6 0^{∘}$ ，求直线 $D C_{1}$ 与平面 $A_{1} E F$ 所成角的正弦值.

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16. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $b^{2} + c^{2} = 4 + 2 b c c o s A$ ，且 $s i n A = 2 s i n B s i n C$ .

(1)、若 $A E ⊥ B C$ 于点 $E$ ，求 $A E$ 的长；

(2)、若 $D$ 为边 $B C$ 的中点， $∠ B A D = \frac{π}{4}$ ，求 $B$ .

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17. 某商场推出“云闪付”购物活动，由于推广期内优惠力度较大，吸引了越来越多的顾客使用这种支付方式.现统计了活动刚推出一周内每天使用“云闪付”支付的人数，用 $x$ 表示活动推出的天数， $y$ 表示每天使用该支付方式的人数，统计数据如下表所示：
$x$
1
2
3
4
5
6
7
$y$
6
13
25
40
73
110
201
根据散点图判断，在推广期内，支付的人数 $y$ 关于天数 $x$ 的回归方程适合用 $y = c \cdot d^{x}$ 表示.

(1)、求该回归方程，并预测活动推出第8天使用“云闪付”的人数；（ $l g c, l g d$ 的结果精确到0.01）

(2)、推广期结束后，商场对顾客的支付方式进行统计，结果如下表：
支付方式
云闪付
会员卡
其它支付方式
比例
$30 %$
$30 %$
$40 %$
商场规定：使用会员卡支付的顾客享8折，“云闪付”的顾客随机优悪，其它支付方式的顾客无优恐，根据统计结果得知，使用“云闪付”的顾客，享7折的概率为 $\frac{1}{3}$ ，享8折的概率为 $\frac{1}{6}$ ，享9折的概率为 $\frac{1}{2}$ .设顾客购买标价为 $a$ 元的商品支付的费用为 $X$ ，根据所给数据用事件发生的频率估计相应事件发生的概率，写出 $X$ 的分布列，并求 $E (X)$ .
参考数据：设 $v_{i} = l g y_{i}, \bar{v} = \frac{1}{7} \sum_{i = 1}^{7} v_{i} \approx 1.59, \sum_{i = 1}^{7} x_{i} \cdot v_{i} \approx 51.30, 1 0^{0.63} \approx 4.27, 1 0^{1.92} \approx 83.18$ .
参考公式：对于一组数据 $(u_{1}, v_{1}), (u_{2}, v_{2}), ⋯ (u_{n}, v_{n})$ ，其回归直线 $\hat{v} = \hat{β} \cdot u + \hat{α}$ 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} \cdot v_{i} - n \bar{u} \cdot \bar{v}}{{\sum_{i = 1}^{n} u_{i}}^{2} - n {\bar{u}}^{2}}, \hat{α} = \bar{v} - \hat{β} \cdot \bar{u}$ .

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18. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $A, B$ 是其左､右顶点，点 $P$ 为 $C$ 上异于 $A, B$ 的点，满足直线 $P A$ 与 $P B$ 的斜率之积为 $- \frac{3}{4}, △ P F_{1} F_{2}$ 的周长为6.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l$ 过点 $F_{2}$ ，与椭圆 $C$ 交于 $D, E$ 两点，当 $△ D E F_{1}$ 外接圆面积最小时，求直线 $l$ 的方程.

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{l n (2 - x)}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) > \frac{a}{x - 1} + a$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = \frac{1}{3}$ ，且 $a_{n} = f (a_{n + 1})$ .证明： $\frac{1}{3 \cdot 2^{n - 1}} ⩽ a_{n} ⩽ \frac{1}{n + 2}$ .

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支付方式	云闪付	会员卡	其它支付方式
比例	$30 %$	$30 %$	$40 %$

$x$	1	2	3	4	5	6	7
$y$	6	13	25	40	73	110	201