湖南省新高考2024届高三第二次联考数学试卷

试卷更新日期：2024-04-28 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 某10人的射击小组，在一次射击训练中射击成绩数据如下表，则这组数据的中位数为( )
成绩（单位：环）
6
7
8
9
10
人数
1
2
2
4
1

A、2 B、8 C、8.2 D、8.5

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2. 若椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{4} = 1 (a > 0)$ 的焦距为2，则该椭圆的离心率为( )

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ 或 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 或 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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3. 张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列.有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸.几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677码.现在问题是，另外一个缺货尺寸是( )

A、28码 B、29.5码 C、32.5码 D、34码

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4. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，E，F，G，H分别为 $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $A_{1} B_{1}$ ， $A_{1} C_{1}$ 的中点，则下列说法错误的是( )

A、E，F，G，H四点共面 B、 $E F / / G H$ C、 $E G$ ， $F H$ ， $A A_{1}$ 三线共点 D、 $∠ E G B_{1} = ∠ F H C_{1}$

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5. 设 $\vec{O A} = (1, 0)$ ， $\vec{O B} = (0, 2)$ ，对满足条件 $| \vec{O C} - \vec{O A} - \vec{O B} | = 2 | \vec{O A} - \vec{O B} |$ 的点 $C (x, y)$ ， $| x - 2 y + m | + | x - 2 y - 7 |$ 的值与x，y无关，则实数m的取值范围为( )

A、 $(- \infty, - 7)$ B、 $[13, + \infty)$ C、 $(13, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 7) ∪ [13, + \infty)$

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6. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别是 $F_{1}, F_{2}, O$ 为坐标原点，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与双曲线C交于点P，且 $\vec{O P}$ 在 $\vec{O F_{1}}$ 上的投影向量为 $\frac{3}{5} \vec{O F_{1}}$ ，则双曲线C的离心率为( )

A、2 B、3 C、4 D、 $\sqrt{5}$

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7. 2024年春节期间，某单位需要安排甲、乙、丙等五人值班，每天安排1人值班，其中正月初一、二值班的人员只安排一天，正月初三到初八值班人员安排两天，其中甲因有其他事务，若安排两天则两天不能连排，其他人员可以任意安排，则不同排法一共有( )

A、792种 B、1440种 C、1728种 D、1800种

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8. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且 $a^{2} - b^{2} + c^{2} + \sqrt{2} a c = 0$ ，若 $c o s (A - C) = \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ ， $α \in (\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$ ， $\frac{c o s (α + A) c o s (α + C)}{c o s^{2} α} = \frac{\sqrt{2}}{5}$ 则 $t a n α$ 的值为( )

A、1 B、2 C、4 D、2或4

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二、多项选择题

9. 已知i为虚数单位，下列说法正确的是( )

A、若复数 $z = \frac{1 + i}{1 - i}$ ，则 $z^{30} = - 1$ B、若 $| z_{1} | > | z_{2} |$ ，则 $z_{1}^{2} > z_{2}^{2}$ C、若 $z_{2} \neq 0$ ，则 $| \frac{z_{1}}{z_{2}} | = \frac{| z_{1} |}{| z_{2} |}$ D、复数z在复平面内对应的点为Z，若 $| z + i | + | z - i | = 2$ ，则点Z的轨迹是一个椭圆

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10. 已知 $f (x) = \sqrt{3} s i n \frac{ω x}{2} c o s \frac{ω x}{2} + c o s^{2} \frac{ω x}{2} - \frac{1}{2}$ ， $ω > 0$ ，下列结论正确的是( )

A、若 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，则 $ω = 2$ B、若 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到的图象关于y轴对称，则 $ω_{m i n} = 1$ C、若 $f (x)$ 在 $[0, 2 π)$ 上恰有4个极值点，则 $ω$ 的取值范围为 $(\frac{5}{3}, \frac{13}{6}]$ D、存在 $ω$ ，使得 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{4}]$ 上单调递减

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11. 已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的定义域均为R， $g (x + 1) + f (1 - x) = 1$ ， $f (x + 1) - g (x + 2) = 1$ ，且 $y = f (x)$ 的图像关于直线 $x = 1$ 对称，则以下说法正确的是( )

A、 $f (x)$ 和 $g (x)$ 均为奇函数 B、 $\forall x \in R$ ， $f (x) = f (x + 4)$ C、 $\forall x \in R$ ， $g (x) = g (x + 2)$ D、 $g (- \frac{3}{2}) = 0$

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三、填空题

12. 已知集合 $M = {x | x^{2} - 2 x - 3 < 0}$ ， $N = {x | x^{2} - a x < 0, x \in Z}$ ，若集合 $M ∩ N$ 恰有两个元素，则实数a的取值范围是.

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13. 已知表面积为 $100 π$ 的球面上有四点S，A，B，C， $△ A B C$ 是边长为 $4 \sqrt{3}$ 的等边三角形，若平面 $S A B ⊥$ 平面 $A B C$ ，则三棱锥 $S - A B C$ 的体积的最大值为.

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14. 已知 $f (x) = | 2^{x} + x - m |, x \in [a, a + 2], f (x)_{m a x} = g (m)$ ，若 ${m | g (m) \geq 13} = R$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题

15. 已知 ${a_{n}}$ 是各项都为正数的等比数列，数列 ${b_{n}}$ 满足： $b_{n} = 2 l o g_{2} a_{n} + 1$ ，且 $b_{1} = 1$ ， $b_{4} = 7$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若对任意的 $n \in N^{*}$ 都有 $2 λ a_{n} \geq b_{n} - 2$ ，求实数 $λ$ 的取值范围.

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16. 在直角梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $B C = 2 A B = 2 A D = 4$ ， $A B ⊥ B C$ 点E为 $A D$ 中点，沿 $B D$ 将 $△ A B D$ 折起，使 $B E ⊥ C D$ ，

(1)、求证： $A B ⊥$ 平面 $A C D$ ；

(2)、求二面角 $E - B C - D$ 的余弦值，

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17. 现有甲、乙、丙三个工厂生产某种相同的产品进入市场，已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品能达到优秀等级的概率分别为 $\frac{2}{3}$ ， $\frac{5}{6}$ ， $\frac{1}{2}$ ，现有某质检部门，对该产品进行质量检测，首先从三个工厂中等可能地随机选择一个工厂，然后从该工厂生产的产品抽取一件进行检测.

(1)、若该质检部门的一次抽检中，测得的结果是该件产品为优秀等级，求该件产品是从乙工厂抽取的概率；

(2)、因为三个工厂的规模大小不同，假设三个工厂进入市场的产品的比例为 $2 : 1 : 1$ ，若该质检部门从已经进入市场的产品中随机抽取10件产品进行检测，求能达到优秀等级的产品的件数 $ξ$ 的分布列及数学期望.

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18. 已知抛物线 $Γ : y^{2} = 4 x$ ，焦点为F，过 $P (4, 4)$ 作两条关于直线 $x = 4$ 对称的直线分别交 $Γ$ 于A，B两点.

(1)、判断直线 $A B$ 的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.

(2)、若 $C (x_{1}, y_{1})$ ， $D (x_{2}, y_{2})$ ， $E (x_{3}, y_{3})$ 三点在抛物线 $Γ$ 上，且满足 $\vec{F C} + \vec{F D} + \vec{F E} = \vec{0}$ ，证明 $△ C D E$ 三个顶点的横坐标均小于2.

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19. 罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是由法国数学家米歇尔·罗尔于1691年提出的.它的表达如下：如果函数 $f (x)$ 满足在闭区间 $[a, b]$ 连续，在开区间 $(a, b)$ 内可导，且 $f (a) = f (b)$ ，那么在区间 $(a, b)$ 内至少存在一点m，使得 $f^{'} (m) = 0$ .

(1)、运用罗尔定理证明：若函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 连续，在区间 $(a, b)$ 上可导，则存在 $x_{0} \in (a, b)$ ，使得 $f^{'} (x_{0}) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ .

(2)、已知函数 $f (x) = x l n x, g (x) = \frac{1}{2} x^{2} - b x + 1$ ，若对于区间 $(1, 2)$ 内任意两个不相等的实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，都有 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | > | g (x_{1}) - g (x_{2}) |$ 成立，求实数b的取值范围.

(3)、证明：当 $p > 1$ ， $n \geq 2$ 时，有 $\frac{1}{n^{p}} < \frac{1}{p - 1} [\frac{1}{(n - 1)^{p - 1}} - \frac{1}{n^{p - 1}}]$ .

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成绩（单位：环）	6	7	8	9	10
人数	1	2	2	4	1