广西壮族自治区2024届高三下学期4月模拟考试数学试卷

试卷更新日期：2024-04-28 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知椭圆的长轴长等于焦距的4倍，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$

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2. $i (6 - 7 i)$ 的共轭复数为（）

A、 $7 + 6 i$ B、 $7 - 6 i$ C、 $6 + 7 i$ D、 $- 6 - 7 i$

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3. 把函数 $f (x) = c o s 5 x$ 的图象向左平移 $\frac{1}{5}$ 个单位长度后，所得图象对应的函数为（）

A、 $y = c o s (5 x + 1)$ B、 $y = c o s (5 x + \frac{1}{5})$ C、 $y = c o s (5 x - 1)$ D、 $y = c o s (5 x - \frac{1}{5})$

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4. 已知 $l, m$ 是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，且 $l \subset α; m \subset β$ ，下列命题为真命题的是（）

A、若 $l$ $∥$ $m$ ，则 $α$ $∥$ $β$ B、若 $α$ $∥$ $β$ ，则 $l$ $∥$ $β$ C、若 $l ⊥ m$ ，则 $l ⊥ β$ D、若 $α ⊥ β$ ，则 $l$ $∥$ $m$

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5. 下列函数中，在 $(0, 2)$ 上单调递增的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x - 1}$ B、 $f (x) = x^{2} - 2 x$ C、 $f (x) = \frac{1}{x}$ D、 $f (x) = x^{\frac{1}{4}}$

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6. 已知轴截面为正方形的圆柱 $M M^{'}$ 的体积与球 $O$ 的体积之比为 $\frac{3}{2}$ ，则圆柱 $M M^{'}$ 的表面积与 $O$ 球的表面积之比为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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7. 已知 $x = 0$ 是函数 $f (x) = x^{2} (x - a)$ 的极小值点，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- ∞, 0)$ B、 $(- \infty, \frac{3}{2})$ C、 $(0, + ∞)$ D、 $(\frac{3}{2}, + \infty)$

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8. 在研究变量 $x$ 与 $y$ 之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), ⋯$ ， $(x_{5}, y_{5}), (6, 28), (0, 28)$ ，利用此样本数据求得的经验回归方程为 $\hat{y} = \frac{10}{7} x + \frac{166}{7}$ ，现发现数据 $(6, 28)$ 和 $(0, 28)$ 误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为 $\hat{y} = 4 x + m$ ，且 $\sum_{i = 1}^{5} y_{i} = 140$ 则 $m =$ （）

A、8 B、12 C、16 D、20

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 若集合 $M$ 和 $N$ 关系的Venn图如图所示，则 $M, N$ 可能是（）

A、 $M = {0, 2, 4, 6}, N = {4}$ B、 $M = {x ∣ x^{2} < 1}, N = {x ∣ x > - 1}$ C、 $M = {x ∣ y = l g x}, N = {y ∣ y = e^{x} + 5}$ D、 $M = {(x, y) ∣ x^{2} = y^{2}}, N = {(x, y) ∣ y = x}$

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10. 已知 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $O$ 为 $△ A B C$ 的重心， $c o s A = \frac{1}{5}$ ， $A O = 2$ ，则（）

A、 $\vec{A O} = \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ B、 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} \leq 3$ C、 $△ A B C$ 的面积的最大值为 $3 \sqrt{6}$ D、 $a$ 的最小值为 $2 \sqrt{5}$

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11. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (2 + x) - f (2 - x) = 4 x$ .若 $f (2 x - 3)$ 的图象关于点 $(2, 1)$ 对称，且 $f (0) = 0$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 1)$ 对称 B、函数 $g (x) = f (x) - 2 x$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称 C、函数 $g (x) = f (x) - 2 x$ 的周期为2 D、 $f (1) + f (2) + ⋯ + f (50) = 2499$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 智慧农机是指配备先进的信息技术，传感器､自动化和机器学习等技术，对农业机械进行数字化和智能化改造的农业装备，例如：自动育秧机和自动插秧机.正值春耕备耕时节，某智慧农场计划新购2台自动育秧机和3台自动插秧机，现有6台不同的自动育秧机和5台不同的自动插秧机可供选择，则共有种不同的选择方案.

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13. 已知 $s i n^{2} α = s i n 2 α$ ，则 $t a n (α + \frac{π}{4}) =$ .

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14. 已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线 $E : \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的左､右焦点， $M$ 是 $E$ 的左支上一点，过 $F_{2}$ 作 $∠ F_{1} M F_{2}$ 角平分线的垂线，垂足为 $N, O$ 为坐标原点，则 $| O N | =$ .

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 6$ ，且等差数列 ${a_{n} + a_{n + 1}}$ 的公差为4.

(1)、求 $a_{10}$ ；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}} + a_{2 n - 1}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，证明： $S_{n} < 2 n^{2} + 2 n + \frac{1}{8}$ .

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16. 为提升基层综合文化服务中心服务效能，广泛开展群众性文化活动，某村干部在本村的村民中进行问卷调查，将他们的成绩（满分：100分）分成7组： $[30, 40)$ ， $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ .整理得到如下频率分布直方图.

(1)、求 $a$ 的值并估计该村村民成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

(2)、从成绩在 $[30, 40)$ ， $[80, 90)$ 内的村民中用分层抽样的方法选取6人，再从这6人中任选3人，记这3人中成绩在 $[80, 90)$ 内的村民人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与期望.

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为菱形， $∠ A B C = 6 0^{∘}$ ， $A B = \sqrt{2} P A = \sqrt{2} P B = 2, E$ 是 $C D$ 的中点.

(1)、证明：平面 $P B C ⊥$ 平面 $P A E$ .

(2)、求二面角 $D - A P - E$ 的余弦值.

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18. 设抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，已知点 $F$ 到圆 $E : (x + 3)^{2} + y^{2} = 1$ 上一点的距离的最大值为6.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程.

(2)、设 $O$ 是坐标原点，点 $P (2, 4), A, B$ 是抛物线 $C$ 上异于点 $P$ 的两点，直线 $P A, P B$ 与 $y$ 轴分别相交于 $M, N$ 两点（异于点 $O$ ），且 $O$ 是线段 $M N$ 的中点，试判断直线 $A B$ 是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.

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19. 定义：若函数 $f (x)$ 图象上恰好存在相异的两点 $P, Q$ 满足曲线 $y = f (x)$ 在 $P$ 和 $Q$ 处的切线重合，则称 $P, Q$ 为曲线 $y = f (x)$ 的“双重切点”，直线 $P Q$ 为曲线 $y = f (x)$ 的“双重切线”.

(1)、直线 $y = x - \frac{5}{2}$ 是否为曲线 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 2 l n x$ 的“双重切线”，请说明理由；

(2)、已知函数 $g (x) = {\begin{array}{l} e^{x + 1}, x \leq 0, \\ 6 - \frac{4}{x}, x > 0, \end{array}$ 求曲线 $y = g (x)$ 的“双重切线”的方程；

(3)、已知函数 $h (x) = c o s x$ ，直线 $P Q$ 为曲线 $y = h (x)$ 的“双重切线”，记直线 $P Q$ 的斜率所有可能的取值为 $k_{1}, k_{2}, ⋯, k_{n}$ ，若 $k_{1} > k_{2} > k_{i} (i = 3, 4, 5, ⋯, n)$ ，证明： $\frac{k_{1}}{k_{2}} < \frac{15}{8}$ .

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