贵州省2024届高三下学期4月高考适应性考试数学试题

试卷更新日期：2024-04-28 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知点 $P (- 3, 1)$ 是角 $α$ 终边上一点，则 $c o s α =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $- \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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2. 若集合 $A = {x | 2 m x - 3 > 0, m \in R}$ ，其中 $2 \in A$ 且 $1 \notin A$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{3}{4}, \frac{3}{2}]$ B、 $[\frac{3}{4}, \frac{3}{2})$ C、 $(\frac{3}{4}, \frac{3}{2})$ D、 $[\frac{3}{4}, \frac{3}{2}]$

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3. 直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的倾斜角分别为 $α$ ， $β$ ，则“ $α = β$ ”是“ $t a n α = t a n β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 设正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ，且 $- a_{3}$ ， $a_{2}$ ， $a_{4}$ 成等差数列，则 $S_{2024}$ 与 $a_{2024}$ 的关系是（）

A、 $S_{2024} = 2 a_{2024} - 1$ B、 $S_{2024} = 2 a_{2024} + 1$ C、 $S_{2024} = 4 a_{2024} - 3$ D、 $S_{2024} = 4 a_{2024} + 1$

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5. 已知过点 $M (0, 4)$ 的动直线 $l$ 交抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 于 $A$ ， $B$ 两点（ $A$ ， $B$ 不重合）， $O$ 为坐标原点，则 $∠ A O B$ （）

A、一定是锐角 B、一定是直角 C、一定是钝角 D、是锐角、直角或钝角都有可能

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6. 2024年3月16日下午3点，在贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县“村超”足球场，伴随平地村足球队在对阵口寨村足球队中踢出的第一脚球，2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕。某校足球社的五位同学准备前往村超球队所在村寨调研，将在第一天前往平地村、口寨村、忠诚村，已知每个村至少有一位同学前往，五位同学都会进行选择并且每位同学只能选择其中一个村，若学生甲和学生乙必须选同一个村，则不同的选法种数是（）

A、18 B、36 C、54 D、72

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7. 下图是一个圆台的侧面展开图，已知 $B A = 12$ ， $B D = 6$ 且 $∠ A B C = 120 °$ ，则该圆台的体积为（）

A、 $112 \sqrt{2} π$ B、 $\frac{7 \sqrt{2}}{3} π$ C、 $\frac{28 \sqrt{2}}{3} π$ D、 $\frac{112 \sqrt{2}}{3} π$

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8. 设方程 $3^{x} \cdot | l o g_{3} x | = 1$ 的两根为 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则（）

A、 $0 < x_{1} < 1$ ， $x_{2} > 3$ B、 $x_{1} > \frac{1}{x_{2}}$ C、 $0 < x_{1} x_{2} < 1$ D、 $x_{1} + x_{2} > 4$

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二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9. 下列说法正确的是（）

A、若事件 $A$ 和事件 $B$ 互斥， $P (A B) = P (A) P (B)$ B、数据2，7，4，5，16，1，21，11的第70百分位数为11 C、若随机变量 $ξ \sim N (6, σ^{2})$ ， $P (6 < ξ \leq 7) = 0.42$ ，则 $P (ξ > 7) = 0.1$ D、已知 $y$ 关于 $x$ 的回归方程为 $\hat{y} = 0.3 - 0.7 x$ ，则样本点 $(3, - 4)$ 的残差的绝对值为2.2

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10. 已知非零函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x + 1)$ 为奇函数，且 $f (2 + x) = f (2 - x)$ ，则（）

A、 $f (1) = 0$ B、4是函数 $f (x)$ 的一个周期 C、 $f (x + 1) = - f (- x - 1)$ D、 $y = f (x)$ 在区间 $[0, 2024]$ 上至少有1012个零点

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11. 如图，正四棱锥 $P - A B C D$ 每一个侧面都是边长为4的正三角形，若点 $M$ 在四边形 $A B C D$ 内（包含边界）运动， $N$ 为 $P D$ 的中点，则（）

A、当 $M$ 为 $A D$ 的中点时，异面直线 $M N$ 与 $P C$ 所成角为 $\frac{π}{2}$ B、当 $M N ∥$ 平面 $P B C$ 时，点 $M$ 的轨迹长度为 $2 \sqrt{3}$ C、当 $M P ⊥ M D$ 时，点 $M$ 到 $A B$ 的距离可能为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、存在一个体积为 $\frac{5 π}{3}$ 的圆柱体可整体放入正四棱锥 $P - A B C D$ 内

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知向量 $\vec{a} = (- 1, 2)$ ， $\vec{b} = (m, - 4)$ ，则 $(\vec{a} - 2 \vec{b}) ∥ (2 \vec{a} + \vec{b})$ ，则实数 $m =$ ．

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13. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{2}$ 与该双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点 $M$ ，若 $| M F_{1} | = 3 | M F_{2} |$ ，则双曲线的离心率为．

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14. 如果复数 $z = x + y i (x \in R, y \in R)$ ， $z_{1} = - 2$ ， $z_{2} = - \frac{1}{2}$ ， $z_{3} = i$ 在复平面内对应的点分别为 $Z$ ， $Z_{1}$ ， $Z_{2}$ ， $Z_{3}$ ，复数 $z$ 满足 $| z - z_{1} | = 2 | z - z_{2} |$ ，且 $\vec{Z_{1} Z} = λ \vec{Z_{1} Z_{2}} + μ \vec{Z_{1} Z_{3}} (λ \in R, μ \in R)$ ，则 $3 λ + 2 μ$ 的最大值为．

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四、解答题：共5个小题，满分77分。解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤。

15. 已知在 $△ A B C$ 中， $\sqrt{\frac{1 - c o s A}{2}} - s i n A = 0$ ，

(1)、求 $A$ ；

(2)、若点 $D$ 是边 $B C$ 上一点， $B D = 2 D C$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $A D$ 的最小值．

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16. 如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 4$ ， $A A_{1} = \sqrt{3}$ ．设点 $D$ 为 $A_{1} C_{1}$ 上的一点，过 $D$ ， $A$ 作平面 $B C B_{1} C_{1}$ 的垂面 $α$ ，

(1)、画出平面 $α$ 与正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 表面的交线（保留作图痕迹，不需证明）；

(2)、若 $A_{1}$ 到平面 $α$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $A C$ 与平面 $α$ 所成角的正弦值．

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17. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点为 $A$ ，右焦点为 $F$ ，椭圆 $C$ 上的点到 $F$ 的最大距离是短半轴长的 $\sqrt{3}$ 倍，且椭圆过点 $P (1, \frac{3}{2})$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设过点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点，直线 $l$ 的倾斜角为锐角．若点 $P (1, \frac{3}{2})$ 到直线 $l$ 与的距离为 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ ，求直线 $P M$ 与直线 $P N$ 的斜率之和．

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18. 已知函数 $f (x) = x l n x$ ．

(1)、若函数 $g (x) = f (x) - a$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、已知 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ， $C (x_{3}, y_{3})$ （其中 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ 且 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 成等比数列）是曲线 $y = f (x)$ 上三个不同的点，判断直线 $A C$ 与曲线 $y = f (x)$ 在点 $B$ 处的切线能否平行？请说明理由．

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19. 甲乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲乙各猜一个成语，已知甲、乙第一轮猜对的概率都为 $\frac{1}{2}$ ．甲如果第 $k (k \in N^{*})$ 轮猜对，则他第 $k + 1$ 轮也猜对的概率为 $\frac{2}{3}$ ，如果第 $k$ 轮猜错，则他第 $k + 1$ 轮也猜错的概率为 $\frac{2}{3}$ ；乙如果第 $k$ 轮猜对，则他第 $k + 1$ 轮也猜对的概率为 $\frac{1}{3}$ ，如果第 $k$ 轮猜错，则他第 $k + 1$ 轮也猜错的概率为 $\frac{1}{3}$ ．在每轮活动中，甲乙猜对与否互不影响．

(1)、若前两轮活动中第二轮甲乙都猜对成语，求两人第一轮也都猜对成语的概率；

(2)、若一条信息有 $n (n > 1, n \in N^{*})$ 种可能的情形且各种情形互斥，每种情形发生的概率分别为 $P_{1}, P_{2}, \dots \dots, P_{n}$ ，则称 $H = - \sum_{i = 1}^{n} (P_{i} l o g_{2} P_{i})$ 为该条信息的信息熵（单位为比特），用于量度该条信息的复杂程度．试求甲乙两人在第二轮活动中猜对成语的个数 $X$ 的信息熵 $H$ ．

(3)、如果“星队”在每一轮中活动至少有一人猜对成语，游戏就可以一直进行下去，直到他们都猜错为止．设停止游戏时“星队”进行了 $Y$ 轮游戏，求证： $E (Y) < 4$ ．

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