【北师大版·数学】2024年中考二轮复习之函数基础知识

试卷更新日期：2024-04-28 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图1，在 $R t △ A B C$ 中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中 $B P$ 长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则 $A C$ 的长为（）

A、 $\frac{15 \sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{427}$ C、17 D、 $5 \sqrt{3}$

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2. 如图，△ABC为直角三角形，∠C＝90°，BC＝2cm，∠A＝30°，四边形DEFG为矩形，DE＝2 $\sqrt{3}$ cm，EF＝6cm，且点C、B、E、F在同一条直线上，点B与点E重合．Rt△ABC以每秒1cm的速度沿矩形DEFG的边EF向右平移，当点C与点F重合时停止．设Rt△ABC与矩形DEFG的重叠部分的面积为ycm² ，运动时间xs．能反映ycm²与xs之间函数关系的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图，菱形ABCD的边长为2cm，其中∠A=60°，动点E，F同时从点A都以1cm/s的速度出发，点E沿A→B→C路线，点F沿A→D→C路线运动。连接EF.设运动时间为ts，△AEF的面积为Scm² ，则下列图象中能大致表示S与t的函数关系的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图1，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，点E是BC边上的一动点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H（a，b）是图象上的最低点，则a+b的值为（）

A、 $7 \sqrt{3}$ B、 $6 \sqrt{3} + 3$ C、 $8 \sqrt{3}$ D、3 $\sqrt{3} +$ 6

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5. 如图，已知A ， B是反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C ，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C ，过P作PM⊥x轴，垂足为M ．设三角形OMP的面积为S ， P点运动时间为t ，则S关于t的函数图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（）

A、 B、 C、 D、

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7.
某星期下午，小强和同学小明相约在某公共汽车站一起乘车回学校，小强从家出发先步行到车站，等小明到了后两人一起乘公共汽车回到学校．图中折线表示小强离开家的路程y（公里）和所用的时间x（分）之间的函数关系．下列说法错误的是（　　）

A、小强从家到公共汽车在步行了2公里 B、小强在公共汽车站等小明用了10分钟 C、公共汽车的平均速度是30公里/小时 D、小强乘公共汽车用了20分钟

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8.
如图，在等腰△ABC中，直线l垂直底边BC，现将直线l沿线段BC从B点匀速平移至C点，直线l与△ABC的边相交于E、F两点．设线段EF的长度为y，平移时间为t，则下图中能较好反映y与t的函数关系的图象是（　　）

A、 B、 C、 D、

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9.
如图，在矩形中截取两个相同的正方形作为立方体的上下底面，剩余的矩形作为立方体的侧面，刚好能组成立方体．设矩形的长和宽分别为y和x，则y与x的函数图象大致是（　　）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，E是AB的中点，过点E作AC和BC的垂线，垂足分别为点D和点F，四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t，运动过程中四边形CDEF与△ABC的重叠部分面积为S．则S关于t的函数图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 定义： $\max (x ， y) = {\begin{array}{l} x & (x \geq y) \\ y & (x \leq y) \end{array}$ ，例如： $\max (2 ， 1) = 2$ ， $\max (a^{2} ， a^{2} + 1) = a^{2} + 1$ ，当 $x > 0$ 时，函数 $y = \max (\frac{2}{x} ， x + 1)$ 的最小值为．

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12. 如图①，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度，按A→B→C→D的顺序在边上匀速运动，设P点的运动时间为t秒，△PAD的面积为S，S关于t的函数图象如图②所示，当P运动到BC中点时，△PAD的面积为．

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13. 在函数y= $\frac{3}{x + 2}$ 中，自变量x的取值范围是

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14. 小华和小兰两家相距2400米，他们相约到两家之间的剧院看戏，两人同时从家出发匀速前行，出发15分钟后，小华发现忘带门票，立即以原来速度的1.5倍返回家中，取完东西后仍以返回时的速度去见小兰；而小兰在出发30分钟时到达剧院，等待10分钟后未见小华，于是仍以原来的速度，从剧院出发前往小华家，途中两人相遇．假设小华掉头、取票时间均忽略不计．两人之间的距离y（米）与小华出发时间x（分钟）之间的关系如图所示，则当两人相遇时，小兰距离剧院有米．

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15. 在函数y= $\sqrt{x + 3}$ 中，自变量x的取值范围是．

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三、实践探究题

16. 如图，甲、乙分别从A(-9，0)，B(13，0)两点同时出发，甲朝着正北方向，以每秒3个单位长度的速度运动；乙朝着正西方向，以每秒4个单位长度的速度运动．设运动时间为t秒．

规定：t秒时，甲到达的位置记为点A，乙到达的位置记为点B，例如，1秒时，甲到达的位置记为A，乙到达的位置记为B，(如图所示)；2.5秒时，甲到达的位置记为A_2.5等等．容易知道，两条平行且相等的线段，其中包含有相同的方位信息所以，在研究有关运动问题时，为研究方便，我们可把点或线段进行合适的平移后，再去研究(物理上的相对运动观，就是源于这种数学方法)现对t秒时，甲、乙到达的位置点A_t ， B_t ，按如下步骤操作：

第一步：连接A_tB_t；

第二步：把线段A_tB_t进行平移，使点B_t与点B重合，平移后，点A₁的对应点用点A_t^’标记

解答下列问题：

(1)、[理解与初步应用]
当t=1时，

①利用网格，在上图中画出A₁ ， B₁经过上述第二步操作后的图形；

②此时，甲在乙的什么方位？(请填空)

答：此时，甲在乙的北偏西θ°(其中tanθ°= ，两者相距个单位长度．

(2)、[实验与数据整理]
补全下表：

t的取值	1	2	3	t
点A_t'的坐标	(-5，3)	( ， )	( ， )	( ， )

(3)、[数据分析与结论运用]

①如果把点A_t'的横、纵坐标分别用变量x，y表示，则y与x之间的函数关系式为；

②点A_3.5’的坐标为

(4)、[拓展应用]
我们知道，在运动过程中的任意时刻t，甲相对于乙的方位(即，点A_t相对于点B_t的方位)与A_t'相对于点B的方位相同．这为我们解决某些问题，提供了新思路．

请解答：运动过程中，甲、乙之间的最近距离为个单位长度．

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17. 【探究函数 $y = x + \frac{1}{x}$ 的图象与性质】

(1)、函数 $y = x + \frac{1}{x}$ 的自变量x的取值范围是；

(2)、下列四个函数图象中，函数 $y = x + \frac{1}{x}$ 的图象大致是；

(3)、对于函数 $y = x + \frac{1}{x}$ ，求当 $x > 0$ 时，y的取值范围．请将下列的求解过程补充完整．
解：∵ $x > 0$ ， ∴ $y = x + \frac{1}{x}$ $= {(\sqrt{x})}^{2} + {(\frac{1}{\sqrt{x}})}^{2}$ $= {(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{2} +$ ．
∵ ${(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{2} \geq 0$ ， ∴ $y \geq$ ．

(4)、【拓展说明】
若函数 $y = \frac{x^{2} - 5 x + 4}{x} (x > 0)$ ，求y的取值范围．

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四、综合题

18. 在并联电路中，电源电压为

U_{总} = 6 V

，小亮根据“并联电路分流不分压”的原理知道：

I_{总} = I_{1} + I_{2}

（

I_{1} = \frac{6}{R_{1}}

，

I_{2} = \frac{6}{R}

）．已知R₁为定值电阻，当R变化时，干路电流

I_{总}

也会发生变化，且干路电流

I_{总}

与R之间满足如下关系：

I_{总} = 1 + \frac{6}{R}

．

(1)、定值电阻

R_{1}

的阻值为

Ω

；

(2)、小亮根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数

I_{2} = \frac{6}{R}

来探究函数

I_{总} = 1 + \frac{6}{R}

的图象与性质．

①列表：下表列出 $I_{总}$ 点与R的几组对应值，请写出m，n的值： $m =$ ， $n =$ ；

R	…	3	4	5	6	…
$I_{2} = \frac{6}{R}$	…	2	1.5	1.2	1	…
$I_{总} = 1 + \frac{6}{R}$	…	3	m	2.2	n	…

②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的R的取值为横坐标，以 $I_{总}$ 相对应的值为纵坐标，描出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来；

(3)、观察图象并分析表格，回答下列问题：

① $I_{总}$ 随R的增大而；（填“增大”或“减小”）

②函数 $I_{总} = 1 + \frac{6}{R}$ 的图象是由 $I_{2} = \frac{6}{R}$ 的图象向平移个单位而得到．

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19. 某学校STEAM社团在进行项目化学习时，根据古代的沙漏模型（图1）制作了一套“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器．沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子称上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．该实验小组从函数角度进行了如下实验探究：
实验观察：实验小组通过观察，每两小时记录一次电子秤读数，得到下表．

漏沙时间x（h）

0

2

4

6

8

电子秤读数y（克）

6

18

30

42

54

(1)、探索发现：建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示漏沙时间x，纵坐标表示精密电子称的读数y，描出以表中的数据为坐标的各点．

(2)、观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，请你建立适当的函数模型，并求出函数表达式，如果不在同一条直线上，请说明理由．

(3)、结论应用：应用上述发现的规律估算：若漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为多少？

(4)、若本次实验开始记录的时间是上午7：30，当精密电子秤的读数为72克时是几点钟？

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20. 在并联电路中，电源电压为

U_{总} = 6 V

，小亮根据“并联电路分流不分压”的原理知道：

I_{总} = I_{1} + I_{2}

（

I_{1} = \frac{6}{R_{1}}

，

I_{2} = \frac{6}{R}

）．已知R₁为定值电阻，当R变化时，干路电流

I_{总}

也会发生变化，且干路电流

I_{总}

与R之间满足如下关系：

I_{总} = 1 + \frac{6}{R}

．

(1)、定值电阻

R_{1}

的阻值为

Ω

；

(2)、小亮根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数

I_{2} = \frac{6}{R}

来探究函数

I_{总} = 1 + \frac{6}{R}

的图象与性质．

①列表：下表列出 $I_{总}$ 点与R的几组对应值，请写出m，n的值： $m =$ ， $n =$ ；

R	…	3	4	5	6	…
$I_{2} = \frac{6}{R}$	…	2	1.5	1.2	1	…
$I_{总} = 1 + \frac{6}{R}$	…	3	m	2.2	n	…

(3)、观察图象并分析表格，回答下列问题：

① $I_{总}$ 随R的增大而；（填“增大”或“减小”）

②函数 $I_{总} = 1 + \frac{6}{R}$ 的图象是由 $I_{2} = \frac{6}{R}$ 的图象向平移个单位而得到．

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21. 已知点A（2，a）、B（﹣8，b）两点在函数y＝ $\frac{8}{| x |}$ 的图象上．

(1)、直接写出a＝， b＝，并在网格内画出函数y＝ $\frac{8}{| x |}$ 的图象；

(2)、将点C（6，c）绕A点逆时针旋转90°得到点D，若点D恰好落在函数图象上，求c的值；

(3)、设AB的解析式为y＝kx+m，请直接写出不等式kx+m＞ $\frac{8}{| x |}$ 的解集．

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22. 九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数

y = \frac{2}{| x |}

的图象与性质，其探究过程如下：

(1)、绘制函数图象，

列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝．

x	…	﹣3	﹣2	﹣1	$- \frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	1	2	3	…
y	…	$\frac{2}{3}$	1	2	4	4	2	1	m	…

描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出各点，请你描出剩下的点；

连线：用平滑的曲线顺次连接各点，已经画出了部分图象，请你把图象补充完整；

(2)、通过观察图象，下列关于该函数的性质表述正确的是：；（填写代号）

①函数值y随x的增大而增大；② $y = \frac{2}{| x |}$ 关于y轴对称；③ $y = \frac{2}{| x |}$ 关于原点对称；

(3)、在上图中，若直线y＝2交函数

y = \frac{2}{| x |}

的图象于A，B两点（A在B左边），连接OA．过点B作BC

∥

OA交x轴于C．则

S_{四 边 形 O A B C}

＝．

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漏沙时间x（h）	0	2	4	6	8
电子秤读数y（克）	6	18	30	42	54