【北师大版·数学】2024年中考二轮复习之二元一次方程组

试卷更新日期：2024-04-28 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：求100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（　　）

A、 $\{\begin{matrix} x + y = 100 \\ 3 x + 3 y = 100 \end{matrix}$ B、 $\{\begin{matrix} x + y = 100 \\ x + 3 y = 100 \end{matrix}$ C、 $\{\begin{matrix} x + y = 100 \\ 3 x + \frac{1}{3} y = 100 \end{matrix}$ D、 $\{\begin{matrix} x + y = 100 \\ 3 x + y = 100 \end{matrix}$

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2. 《孙子算经》记载：今有人盗库绢，不知所失几何？但闻草中分绢：人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹．问：人、绢各几何？意思是：如果每个人分6匹，还多出6匹，每个人分7匹，还差7匹，问：现在有多少人，有多少匹绢？设现在有x人，有绢y匹，下列所列方程（组）正确的是（）

A、 $6 x - 6 = 7 x + 7$ B、 $6 x + 6 = 7 x - 7$ C、 ${\begin{array}{l} y = 6 x + 6 \\ y - 7 = 7 x \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} y = 6 x - 6 \\ y + 7 = 7 x \end{array}$

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3. 普通火车从绵阳至成都历时大约2小时，成绵城际快车开通后，时间大大缩短至几十分钟，现假定普通火车与城际快车两列对开的火车于同一时刻发车，其中普通火车由成都至绵阳，城际快车由绵阳至成都，这两车在途中相遇之后，各自用了80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成都，则城际快车的平均速度是普通火车平均速度的（　　）倍．

A、2 B、2.5 C、3 D、4

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4. 某快递公司每天上午9：00-10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来搅收快件，乙仓库用来派发快件。该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，则两仓库快件数相等的时刻为（）

A、9：15 B、9：20 C、9：25 D、9：30

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5. 《九章算术》中有问题：1亩好田是300元，7亩坏田是500元，一人买了好田坏田一共是100亩，花费了10000元，问他买了多少亩好田和坏田？设一亩好田为x元，一亩坏田为y元，根据题意列方程组得（）

A、 ${\begin{array}{l} x + y = 100 \\ 300 x + \frac{7}{500} y = 10000 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x + y = 100 \\ 300 x + \frac{500}{7} y = 10000 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x + y = 100 \\ \frac{7}{500} x + 300 y = 10000 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x + y = 100 \\ \frac{500}{7} x + 300 y = 10000 \end{array}$

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6. 定义一种运算“◎”，规定x◎y=ax﹣by，其中a、b为常数，且2◎3=6，3◎2=8，则a+b的值是（）

A、2 B、﹣2 C、 $\frac{16}{3}$ D、4

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7. 对于数对（a，b）、（c，d），定义：当且仅当a=c且b=d时，（a，b）=（c，d）；并定义其运算如下：
（a，b）※（c，d）=（ac﹣bd，ad+bc），如（1，2）※（3，4）=（1×3﹣2×4，1×4+2×3）=（﹣5，10）．若（x，y）※（1，﹣1）=（1，3），则x^y的值是（）

A、﹣1 B、0 C、1 D、2

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8. 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有36张白铁皮，设用x张制盒身，y张制盒底，恰好配套制成罐头盒．则下列方程组中符合题意的是（　　）

A、 $\{\begin{matrix} x + y = 36 \\ y = 2 x \end{matrix}$ B、 $\{\begin{matrix} x + y = 36 \\ 25 x = 2 \times 40 y \end{matrix}$ C、 $\{\begin{matrix} x + y = 36 \\ 25 x = \frac{40 y}{2} \end{matrix}$ D、 $\{\begin{matrix} x + y = 36 \\ \frac{2 x}{25} = \frac{y}{40} \end{matrix}$

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9. 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（）

A、 ${\begin{array}{l} x - y = 4.5 \\ 2 x - y = 1 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x - y = 4.5 \\ \frac{y}{2} - x = 1 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} y - x = 4.5 \\ 2 x - y = 1 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} y - x = 4.5 \\ x - \frac{y}{2} = 1 \end{array}$

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10. 我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱，问人数、货物总价各多少？设人数为x人，货物总价为y钱，可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} y = 7 x - 2 \\ y = 6 x + 3 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} y = 7 x + 2 \\ y = 6 x - 3 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 7 x = y - 2 \\ y = 6 x - 3 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 7 x = y - 2 \\ y = 6 x + 3 \end{array}$

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二、填空题

11. 已知一次函数y＝-x+m与y＝2x-1的图象如图所示，则关于x ， y的方程组 ${\begin{cases} y = - x + m \\ y = 2 x - 1 \end{cases}$ 的解为.

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12. 二元一次方程组 ${\begin{array}{l} x + y = 6 \\ 2 x - y = 6 \end{array}$ 的解是.

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13. 如图，已知直线l₁：y＝3x+1和直线l₂：y＝mx+n交于点P（1，b），则关于x ， y的二元一次方程组 ${\begin{cases} y = m x + n \\ y = 3 x + 1 \end{cases}$ 的解是．

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14. 已知直线 $y = 2 x$ 与直线 $y = - x + b$ 交于点（2，4），则关于x，y的方程组 ${\begin{array}{l} 2 x - y = 0 \\ x + y = b \end{array}$ 的解是．

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15. 若关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 5 x + 3 y = 23 \\ x + y = p \end{array}$ 的解满足 $x - y = - 1$ ，则 $p$ 的值为．

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三、计算题

16. 解方程组： ${\begin{cases} x + 2 y = 7 \\ 3 x + 4 y = 17 \end{cases}$ .

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17. 解方程组： ${\begin{array}{l} x - y = 1 \\ x + 3 y = 9 \end{array}$

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四、解答题

18. 有 $A 、 B$ 两个发电厂，每焚烧一吨垃圾， $A$ 发电厂比 $B$ 发电厂多发40度电， $A$ 焚烧20吨垃圾比 $B$ 焚烧30吨垃圾少1800度电.

(1)、求焚烧1吨垃圾， $A$ 和 $B$ 各发多少度电？

(2)、 $A 、 B$ 两个发电厂共焚烧90吨垃圾， $A$ 焚烧的垃圾不多于 $B$ 焚烧的垃圾的两倍，求 $A$ 厂和 $B$ 厂总发电量的最大值.

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19. 某商场销售甲、乙两种商品，其中甲种商品进价为20元/件，售价为30元/件；乙种商品进价为50元/件，售价为80元/件．现商场用13000元购进这两种商品并全部售出，两种商品的总利润为7500元，问该商场购进甲、乙两种商品各多少件？

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20. 小明到文具店买文具．请你根据对话信息（小明：阿姨您好，我要买12支中性笔和20本笔记本，是不是一共112元？店员：不对呀，一共是144元．小明：啊……哦，我明白了，您是对的！我刚才把中性笔和笔记本的单价弄反了），求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？

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五、实践探究题

21. 阅读材料：善于思考的小军在解方程组 ${\begin{cases} 2 x + 5 y = 3 ① \\ 4 x + 11 y = 5 ② \end{cases}$ 时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y=5 即2（2x+5y）+y=5③
把方程①代入③得：2×3+y=5，∴y=﹣1
把y=﹣1代入①得x=4，∴方程组的解为 $\{\begin{matrix} x = 4 \\ y = - 1 \end{matrix}$ ．
请你解决以下问题：

(1)、模仿小军的“整体代换”法解方程组 ${\begin{cases} 3 x - 2 y = 5 ① \\ 9 x - 4 y = 19 ② \end{cases}$ ；

(2)、已知x，y满足方程组 ${\begin{cases} 3 x^{2} - 2 x y + 12 y^{2} = 47 ① \\ 2 x^{2} + x y + 8 y^{2} = 36 ② \end{cases}$
（i）求x²+4y²的值；
（ii）求 $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{2 y}$ 的值．

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六、综合题

22. 为响应国家“全民阅读，建设学习型社会”的倡议，营造读书好，好读书，读好书的氛围，某校图书馆购进甲、乙两种图书，已知甲、乙两种图书的单价分别是25元和8元．

(1)、学校第一次购买甲、乙两种图书共100本，且恰好支出1820元，求第一购买了甲、乙两种图书各多少本？

(2)、若学校准备再次购买甲、乙两种图书共210本，且甲种图书的数量不低于乙种图书数量的一半，请问怎么购买费用最少？最少费用是多少元？

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23. 2022年北京冬奥会点燃了人们对冰雪运动的热情，各种有关冬奥会的纪念品也一度脱销．某实体店购进了甲、乙两种纪念品各30个，共花费1080元．已知乙种纪念品每个进价比甲种纪念品贵4元．

(1)、甲、乙两种纪念品每个进价各是多少元？

(2)、这批纪念品上架之后很快售罄．该实体店计划按原进价再次购进这两种纪念品共100件，销售官网要求新购进甲种纪念品数量不低于乙种纪念品数量的 $\frac{1}{3}$ （不计其他成本）．已知甲、乙纪念品售价分别为24元/个，30元/个．请问实体店应怎样安排此次进货方案，才能使销售完这批纪念品获得的利润最大？

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