2024年中考数学热点探究二十一动态及轨迹型问题

试卷更新日期：2024-04-27 类型：二轮复习

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一、选择题（每题2分，共20分）

1. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $P$ 为边 $B C$ 上一动点， $P E ⊥ A B$ 于 $E$ ， $P F ⊥ A C$ 于 $F$ ，动点 $P$ 从点 $B$ 出发，沿着 $B C$ 匀速向终点 $C$ 运动，则线段 $E P$ 的值大小变化情况是（）

A、一直增大 B、一直减小 C、先减小后增大 D、先增大后减少

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2. 如图，在等边 $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ，点 $D$ 为 $A B$ 的中点，动点 $E 、 F$ 分别在 $A D 、 B C$ 上，且 $E F = 2 \sqrt{3}$ ，作 $△ B E F$ 的外接圆 $⊙ O$ ，交 $A C$ 于点 $G 、 H$ .当动点 $E$ 从点 $D$ 向点 $A$ 运动时，线段 $G H$ 长度的变化情况为（）

A、一直不变 B、一直变大 C、先变小再变大 D、先变大再变小

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3. 如图，⊙O的半径为10，弦AB＝16，点M是弦AB上的动点且点M不与点A、B重合，若OM的长为整数，则这样的点M有几个？（）

A、4 B、5 C、7 D、9

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4. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点A坐标为 $(- 8 ， 0)$ ，点B坐标为 $(0 ， 6)$ ， $⊙ O$ 的半径为4（O为坐标原点），点C是 $⊙ O$ 上一动点，过点B作直线 $A C$ 的垂线 $B P$ ， P为垂足，点C在 $⊙ O$ 上运动一周，则点P运动的路径长等于（）

A、 $\frac{5 π}{3}$ B、 $\frac{8 π}{3}$ C、 $\frac{10 π}{3}$ D、 $\frac{20 π}{3}$

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5. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 $O A B C$ 的边 $O A$ 在 $x$ 轴的正半轴上， $A$ ， $C$ 两点的坐标分别为 $(2, 0)$ ， $(1, 2)$ ，点 $B$ 在第一象限，将直线 $y = - 2 x$ 沿 $x$ 轴向右平移 $m (m > 0)$ 个单位.若平移后的直线与边 $A B$ 有交点，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $4 \leq m \leq 8$ B、 $0 < m < 4$ C、 $2 < m < 8$ D、 $2 \leq m \leq 4$

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6. 两块完全相同的含30°角的直角三角板ABC和A'B'C′重合在一起，将三角板A'B'C'绕直角顶点C'按逆时针方向旋转α（0°＜α≤90°），如图所示．以下结论错误的是（　　）

A、当α＝30°时，A'C与AB的交点恰好为AB中点 B、当α＝60°时，A'B'恰好经过点B C、在旋转过程中，存在某一时刻，使得AA'＝BB' D、在旋转过程中，始终存在AA'⊥BB'

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7. 如图1，在矩形 $A B C D (A B > A D)$ 中，动点 $P$ 从点 $B$ 出发，沿 $B \to C$ 做匀速运动，到达点 $C$ 后停止运动，动点 $Q$ 从点 $D$ 出发，沿 $D \to C$ 以同样的速度做匀速运动，到达点 $C$ 后也停止运动，已知点 $P ， Q$ 同时开始运动，连接 $A P ， A Q$ ，设 $D Q = x$ ， $A P - A Q = y$ ，其中 $y$ 关于 $x$ 的函数图象如图2所示，则图中 $m$ 的值为（）

A、 $3 \sqrt{5} - 3 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{10} - 2$ C、 $4 \sqrt{10} - 2$ D、 $2 \sqrt{10} - 2$

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8. 如图是一张矩形纸片 $A B C D$ ，点 $E$ ， $G$ 分别在边 $B C$ ， $A B$ 上，把 $△ D C E$ 沿直线 $D E$ 折叠，使点 $C$ 落在对角线 $B D$ 上的点 $F$ 处 $；$ 把 $△ D A G$ 沿直线 $D G$ 折叠，使点 $A$ 落在线段 $D F$ 上的点 $H$ 处， $H F = 1$ ， $B F = 8$ ，则矩形 $A B C D$ 的面积为（）

A、 $420$ B、 $360$ C、 $420 \sqrt{2}$ D、 $360 \sqrt{2}$

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9. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为4，点 $E$ 是 $A B$ 边上的一点，将 $△ B C E$ 沿着 $C E$ 折叠至 $△ F C E$ ，若 $C F$ 、 $C E$ 恰好与正方形 $A B C D$ 的中心为圆心的 $⊙ O$ 相切，则折痕 $C E$ 的长为（）

A、 $5 \sqrt{3}$ B、5 C、 $\frac{8}{3} \sqrt{3}$ D、以上都不对

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10. 在平面直角坐标系中，等边 $△ A O B$ 如图放置，点 $A$ 的坐标为 $(1 ， 0)$ ，每一次将 $△ A O B$ 绕着点 $O$ 逆时针方向旋转 $60 °$ ，同时每边扩大为原来的 $2$ 倍，第一次旋转后得到 $△ A_{1} O B_{1}$ ，第二次旋转后得到 $△ A_{2} O B_{2}$ ， $\dots$ ，依次类推，则点 $A_{2023}$ 的坐标为（）

A、 $(- 2^{2022} ， - \sqrt{3} \times 2^{2022})$ B、 $(2^{2022} ， \sqrt{3} \times 2^{2022})$ C、 $(2^{2021} ， - \sqrt{3} \times 2^{2021})$ D、 $(2^{2023} ， \sqrt{3} \times 2^{2023})$

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二、填空题（每题2分，共12分）

11. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $A D = 10$ ．动点E在 $A B$ 边上，以点E为圆心，以 $B E$ 为半径作弧，点G是弧上一动点．

(1)、如图①，若点E与点A重合，且点F在 $B C$ 上，当 $D F$ 与弧相切于点G时，则 $B F$ 的值是；

(2)、如图②，若 $A E = 1$ 连结 $C G$ ， $D G$ ，分别取 $D G$ 、 $C G$ 的中点P、Q ，连接 $P Q$ ， M为 $P Q$ 的中点，则CM的最小值为．

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12. 如图，直线 $y = - \frac{1}{3} x + 2$ 与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线 $y = - \frac{4}{3} x + 2$ 上的一动点，动点 $E (m ， 0) ， F (m + 3 ， 0)$ ，连接 $B E ， D F ， H D$ ．当 $B E + D F$ 取最小值时， $3 B H + 5 D H$ 的最小值是．

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13. 如图，等边三角形 $A B C$ 的边长为 $10 c m$ ，动点 $M$ 从点 $B$ 出发，沿 $B \to A \to C \to B$ 的方向以 $3 c m / s$ 的速度运动，动点 $N$ 从点 $C$ 出发，沿 $C \to A \to B \to C$ 的方向以 $2 c m / s$ 的速度运动，且动点 $M$ ， $N$ 同时出发，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动 $.$ 那么运动到第秒时，点 $A$ ， $M$ ， $N$ 以及 $△ A B C$ 的边上一点 $D$ 恰能构成一个平行四边形．

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14. 对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点 $P (2 ， 3)$ 经1次斜平移后的点的坐标为 $(3 ， 5)$ ．已知点 $A$ 的坐标为 $(1 ， 0)$ ．如图，点 $M$ 是直线 $l$ 上的一点，点 $A$ 关于点 $M$ 的对称点为点 $B$ ，点 $B$ 关于直线 $l$ 的对称点为点 $C$ ．若点 $B$ 由点 $A$ 经 $n$ 次斜平移后得到，且点 $C$ 的坐标为 $(7 ， 6)$ ，则点 $B$ 的坐标为．

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15. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $4$ ，点 $M$ ， $N$ 分别在 $A B$ ， $C D$ 上 $.$ 将该正方形沿 $M N$ 折叠，使点 $D$ 落在 $B C$ 边上的点 $E$ 处，折痕 $M N$ 与 $D E$ 相交于点 $Q$ ．

(1)、若 $E$ 是 $B C$ 的中点，则 $D N$ 的长为；

(2)、若 $G$ 为 $E F$ 的中点，随着折痕 $M N$ 位置的变化， $G Q + Q E$ 的最小值为．

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16. 如图1，有一张矩形纸片 $A B C D$ ，已知 $A B = 10$ ， $A D = 12$ ，现将纸片进行如下操作：现将纸片沿折痕 $B F$ 进行折叠，使点 $A$ 落在 $B C$ 边上的点 $E$ 处，点 $F$ 在 $A D$ 上（如图2），则 $D F =$ ；然后将 $△ F B E$ 绕点 $F$ 旋转到 $△ F M N$ ，当 $M N$ 过点 $C$ 时旋转停止，则 $E N$ 的长度为．

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三、解答题（共7题，共76分）

17. 如图，在矩形ABCD中， $A B = 3 c m$ ， $B C = 6 c m$ ，动点M以 $1 c m / s$ 的速度从A点出发，沿 $A B$ 向点B运动，同时动点N以 $2 c m / s$ 的速度从点D出发，沿DA向点A运动，设运动的时间为 $t$ 秒（ $0 < t < 3$ ）．

(1)、当 $t$ 为何值时， $△ A M N$ 的面积等于矩形 $A B C D$ 面积的 $\frac{1}{9}$ ？

(2)、是否存在某一时刻 $t$ ，使得以A、M、N为顶点的三角形与 $△ A C D$ 相似?若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

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18. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 6 c m$ ， $B C = 8 c m$ ．动点P从点B出发，在 $B A$ 边上以每秒 $5 c m$ 的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在 $C B$ 边上以每秒 $4 c m$ 的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒 $(0 < t < 2)$ ．

(1)、用含t的代数式表示 $B P 、 B Q$ 的长．

(2)、连结 $P Q$ ，如图①所示．当 $△ B P Q$ 与 $△ A B C$ 相似时，求t的值．

(3)、过点P作 $P D ⊥ B C$ 于D ，连结 $A Q 、 C P$ ，如图②所示．当 $A Q ⊥ C P$ 时，直接写出线段 $P D$ 的长．

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19. 如图1和图2，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C = 10 ， A D = 8$ ，直线 $l / / B C$ ，若 $l$ 自点 $A$ 出发以每秒1个单位长度的速度沿射线 $A D$ 方向平移，同时点 $P$ 从点 $B$ 出发向点 $C$ 运动，速度是每秒2个单位长度，若直线 $l$ 分别与 $A B ， A D ， A C$ 交于 $M ， H ， N$ 三点，连接 $P H$ ，设运动时间为 $t (0 < t < 8)$ ．

(1)、图中 $D C$ ＝；

(2)、求当 $t$ 为何值时， $△ H D P ∼ △ A D C$ ；

(3)、当四边形 $H D P N$ 为平行四边形时，则 $t a n ∠ P H C$ ＝；

(4)、在边 $B C$ 或其延长线上取一点 $Q$ （点 $Q$ 在 $P$ 的右侧），使得 $∠ P H Q = ∠ A C B$ ，直接写出：当 $P Q = 8$ 时， $t$ 的值为多少?

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20. 在平面直角坐标系中， $O$ 为原点， $△ O A B$ 是等腰直角三角形， $∠ O B A = 90 °$ ， $B O = B A$ ，顶点 $A (6，0)$ ，点 $B$ 在第一象限，矩形 $O C D E$ 的顶点 $E (- 6，0)$ ， $C (0，2)$ ，点 $D$ 在第二象限 $.$ 将矩形 $O C D E$ 沿 $x$ 轴向右平移，得到矩形 $O' C' D' E'$ ，点 $O$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 的对应点分别为 $O'$ ， $C'$ ， $D'$ ， $E' .$ 设 $O O' = t (0 \leq t \leq 6)$ ．

(1)、如图 $①$ ，当 $t = 1$ 时， $O' C'$ 与 $O B$ 交于 $F$ 点，求点 $C'$ ， $F$ 的坐标；

(2)、若矩形 $O' C' D' E'$ 与 $△ O A B$ 重叠部分的面积为 $S$ ．
$①$ 如图 $②$ ，当矩形 $O' C' D' E'$ 与 $△ O A B$ 重叠部分为五边形时， $C' D'$ 分别与 $O B$ 交于点 $G$ ，与 $A B$ 交于点 $H . O' C'$ 与 $A B$ 交于点 $N$ ，试用含有 $t$ 的式子表示 $S$ ，并直接写出 $t$ 的取值范围；
$②$ 当 $\frac{5}{3} \leq t \leq 4 \sqrt{2}$ 时，求 $S$ 的取值范围 $($ 直接写出结果即可 $)$ ．

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21. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，线段 $C D$ 绕点C逆时针旋转到 $C E$ 处，旋转角为 $α$ ，点F在直线 $D E$ 上，且 $A D = A F$ ，连接 $B F$ ．

(1)、如图1，当 $0 ° < α < 90 °$ 时，
①求 $∠ B A F$ 的大小（用含 $α$ 的式子表示）．
②求证： $E F = \sqrt{2} B F$ ．

(2)、如图2，取线段 $E F$ 的中点G ，连接 $A G$ ，已知 $A B = 2$ ，请直接写出在线段 $C E$ 旋转过程中（ $0 ° < α < 360 °$ ） $△ A D G$ 面积的最大值．

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22. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A (0 ， 3)$ ， $B (\sqrt{3} ， 0)$ ， $C (0 ， - 1)$ ，动点 $P$ 从点 $B$ 出发，在射线 $B C$ 上以每秒1个单位长度的速度运动，另一动点 $Q$ 与动点 $P$ 同时出发，在射线 $A B$ 上以每秒2个单位长度的速度运动，设点P、Q运动时间为 $t$ 秒．

(1)、填空：直线 $A B$ 的函数表达式为：， $△ A B C$ 是三角形；

(2)、连接 $P Q$ ，设 $△ B P Q$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 与 $t$ 的函数关系式，并写出自变量 $t$ 的取值范围；

(3)、在（2）的条件下，是否存在 $t$ 值，使得以点B ， P ， Q为顶点的 $△ B P Q$ 与 $△ A O B$ 相似？若存在，求出 $t$ 值，并直接写出点 $Q$ 的坐标，若不存在，请说明理由．

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23. 如图甲，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，动点P从点B出发，沿BA方向向点A匀速运动，同时动点Q从点A出发，沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1个单位/s，连接PQ ．设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：

(1)、设△APQ的面积为S ，则S＝；（用含t的代数式表示）

(2)、如图乙，连接PC ，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP’C ，当四边形PQP’C为菱形时，求t的值；

(3)、当△APQ是等腰三角形时，求t的值？

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四、实践探究题（共6题，共42分）

24. 如图1，在 $R t △ A B C$ 中，∠ABC=90°， $A B = 4$ ， $B C = 2$ ，点 $D 、 E$ 分别是边 $B C 、 A C$ 的中点，连接 $D E$ ．将 $△ C D E$ 绕点 $C$ 逆时针方向旋转，记旋转角为 $α$ ．

(1)、问题发现
$①$ 当 $α = 0 °$ 时， $\frac{A E}{B D} =$ ； $②$ 当 $α = 180 °$ 时， $\frac{A E}{B D} =$ ．

(2)、拓展探究
试判断：当 $0 ° \leq α < 360 °$ 时， $\frac{A E}{B D}$ 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．

(3)、问题解决
$△ C D E$ 绕点 $C$ 逆时针旋转至 $A 、 B 、 E$ 三点在同一条直线上时，请直接写出线段 $B D$ 的长．

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25. 【问题呈现】小华在一次学习过程中遇到了下面的问题：

点 $A$ 为 $⊙ O$ 内一定点，点 $P$ 为 $⊙ O$ 上一动点，确定点 $P$ 的位置，使线段 $A P$ 最长．

(1)、【问题解决】以下是小华的方法：
如图 $①$ ，连结 $A O$ 并延长交 $⊙ O$ 于点 $P$ ，点 $P$ 为所求．
理由如下：在 $⊙ O$ 上取点 $P' ($ 异于点 $P)$ ，连结 $A P'$ 、 $O P'$ ．
接下来只需证明 $A P > A P'$ ．
请你补全小华的证明过程．

(2)、【类比结论】点 $A$ 为 $⊙ O$ 外一定点，点 $P$ 为 $⊙ O$ 上一动点，设 $⊙ O$ 的半径为 $r$ ， $A O$ 的长为 $m$ ，则线段 $A P$ 长度的最大值为，线段 $A P$ 长度的最小值为 $. ($ 用含 $r$ 、 $m$ 的代数式表示 $)$

(3)、【拓展延伸】如图 $②$ ，在半圆 $O$ 中，直径 $A B$ 的长为 $10$ ，点 $D$ 在半圆 $O$ 上， $A D = 6$ ，点 $C$ 在 $\overset{⏜}{B D}$ 上运动，连结 $A C$ ， $H$ 是 $A C$ 上一点，且 $∠ D H C = 90 °$ ，连结 $B H .$ 在点 $C$ 运动的过程中，线段 $B H$ 长度的最小值为．

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26. 综合实践：在矩形 $A B C D$ 中，点E是边 $B C$ 上的一个动点，连接 $A E$ ，将 $△ A B E$ 沿着 $A E$ 对折，点B落在点F处．

(1)、如图1，若点F恰好落在矩形的对角线 $A C$ 上， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，直接写出 $B E$ 的长度是；

(2)、如图2，若点F恰好落在矩形的对角线BD上， $A E$ 与 $B D$ 相交于点H ， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，求 $B E$ 的长度；

(3)、如图3，若点F恰好落在矩形一边 $A B$ 的垂直平分线 $M N$ 上， $A B = 6$ ，直接写出 $B E$ 的长度是；

(4)、如图4，若点F恰好落在矩形一边 $A D$ 的垂直平分线 $M N$ 上， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，求 $B E$ 的长度；

(5)、如图5，若点F恰好落在矩形一边 $A B$ 的垂直平分线 $M N$ 上，延长 $E F$ 交 $A D$ 于点G ，过点G作 $A D$ 的垂线交 $A F$ 于点K ，点P为 $G K$ 上一点，连接 $E P$ ，把线段 $E P$ 绕点E逆时针旋转，使点P落在 $A K$ 上的点Q处，求证： $A Q = G P$ ．

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27. 综合与实践
[问题情境]
如图1，小华将矩形纸片ABCD先沿对角线BD折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线BD上，点B的对应点记为B'，折痕与边AD，BC分别交于点E，F．

(1)、 [活动猜想]如图2，当点B'与点D重合时，四边形BEDF是哪种特殊的四边形？并给予证明．

(2)、 [问题解决]如图1，当AB=4， AD=8，BF=3时，连结B'C，则B'C的长为

(3)、 [深入探究]如图3，请直接写出AB与BC满足什么关系时，始终有A'B'与对角线AC平行？

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28. 【问题情境】
在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含 $30 °$ 的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作 $△ A D B$ 和 $△ A^{'} D^{'} C ， ∠ A D B = ∠ A^{'} D^{'} C = 90 ° ， ∠ B = ∠ C = 30 °$ ，设 $A B = 2$ ．
【操作探究】
如图1，先将 $△ A D B$ 和 $△ A^{^{'}} D^{^{'}} C$ 的边 $A D$ 、 $A^{'} D^{'}$ 重合，再将 $△ A^{^{'}} D^{^{'}} C$ 绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为 $α (0 ° \leq α \leq 360 °)$ ，旋转过程中 $△ A D B$ 保持不动，连接 $B C$ ．

(1)、当 $α = 60 °$ 时， $B C =$ ；当 $B C = 2 \sqrt{2}$ 时， $α =$ $°$ ；

(2)、当 $α = 90 °$ 时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；

(3)、如图2，取 $B C$ 的中点F，将 $△ A^{^{'}} D^{^{'}} C$ 绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为．

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29. 数学课上，王老师出示问题：如图1，将边长为5的正方形纸片 $A B C D$ 折叠，使顶点 $A$ 落在边 $C D$ 上的点 $Р$ 处（点 $Р$ 与 $C$ ， $D$ 不重合），折痕为 $E F$ ，折叠后 $A B$ 边落在 $P Q$ 的位置， $P Q$ 与 $B C$ 交于点 $G$ .

(1)、观察操作结果，在图1中找到一个与 $△ D E P$ 相似的三角形，并证明你的结论；

(2)、当点 $Р$ 在边 $C D$ 的什么位置时， $△ D E P$ 与 $△ C P G$ 面积的比是 $9 ： 25$ ？请写出求解过程；

(3)、将正方形换成正三角形，如图2，将边长为5的正三角形纸片 $A B C$ 折叠，使顶点 $A$ 落在边 $B C$ 上的点 $P$ 处（点 $P$ 与 $B$ ， $C$ 不重合），折痕为 $E F$ ，当点 $Р$ 在边 $B C$ 的什么位置时，△BEP与△CPF面积的比是9∶25？请写出求解过程.

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2024年中考数学热点探究二十一 动态及轨迹型问题

一、选择题（每题2分，共20分）

二、填空题（每题2分，共12分）

三、解答题（共7题，共76分）

四、实践探究题（共6题，共42分）

2024年中考数学热点探究二十一动态及轨迹型问题