2024年中考数学热点探究二十 PISA测试题

甲：如图$2$ ， 在$AD$上找点E，连接$BE$ ， 使$BE=$$\sqrt{6}$ ， 作$\angle DCF=\angle AEB$ ， 交$BE$于F点，完成分割；

乙：如图$3$ ， 在$AD$上找点F，连接$CF$ ， 使$CF=$$\sqrt{6}$ ， 以$BC$为直径作圆，交$CF$于点E，连接$BE$即可完成分割．下列结论正确的是(　　)

YYDS（永远的神）：$2^{200}$就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；

DDDD（懂的都懂）：$2^{200}$等于$200^2$；

JXND（觉醒年代）：$2^{200}$的个位数字是6；

QGYW（强国有我）：我知道$2^{10}=1024\mathrm{，}10^3=1000$ ， 所以我估计$2^{200}$比$10^{60}$大.

其中对$2^{200}$的理解错误的网友是（填写网名字母代号）.

如图，有一颗棋子放在图中的1号位置上，现按顺时针方向，第一次跳一步到2号位置上第二次跳两步跳到4号位置上，第三次跳三步又跳到了1号位置上，第四次跳四步…一直进行下去，那么第2017次跳2017步就跳到了号位置上．

小志查阅了相关资料，了解到北京公交车的票价按照乘客乘坐公交车的里程（公里）数计算，乘客可以按照如下方法计算票价：

①站牌中每一站上面标注的数字表示该站的站位号，乘客可以通过计算上、下车站的站位号的差，得到乘车的大致里程数，然后按照下面具体标准得出票价：若里程数在0至10之间（含0和10，下同），则票价为2元；若里程数在11至15之间，则票价为3元；若里程数在16至20之间，则票价为4元，以此类推．

②为了鼓励市民绿色出行，北京公交集团制定了票价优惠政策：使用市政公交一卡通刷卡，普通卡打5折，学生卡打2.5折．

请根据上述信息，回答下列问题：

将一根长度是$l\text{c}\text{m}$（$l\ge 4$的偶数）的细绳按照如图所示的方法对折$n$次（$n\ge 1$），然后从重叠的细绳的一端开始，每隔1厘米（两端弯曲部分的绳长忽略不计）剪1刀，共剪$m$刀（$m\ge \text{1}$的整数），最后得到一些长$\text{1}\text{c}\text{m}$和长$\text{2}\text{c}\text{m}$的细绳．如果长$\text{1}\text{c}\text{m}$的细绳有222根，那么原来的细绳的长度$l$是多少$\text{c}\text{m}$？

问题探究：

为了解决问题，我们可以先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．

探究一：

对折1次，可以看成有$2^1$根绳子重叠在一起，如果剪1刀（如图①），左端出现了2根长$\text{1}\text{c}\text{m}$的细绳，右端出现了$2^1-1=1$根长$\text{2}\text{c}\text{m}$的细绳，所以原绳长为$2\times 1+1\times 2=\text{4}\text{c}\text{m}$；如果剪2刀（如图②），左端仍有2根长$\text{1}\text{c}\text{m}$的细绳，中间有$1\times 2^1=2$根长$\text{1}\text{c}\text{m}$的细绳，右端仍有$2^1-1=1$根长$\text{2}\text{c}\text{m}$的细绳， 所以原绳长为$\mathrm{(}2+2\mathrm{)}\times 1+1\times 2=6\text{c}\text{m}$；如果剪3刀（如图③），左端仍有2根长$\text{1}\text{c}\text{m}$的细绳，中间有$2\times 2^1=4$根长$\text{1}\text{c}\text{m}$的细绳，右端仍有$2^1-1=1$根长$\text{2}\text{c}\text{m}$的细绳，所以原绳长为$\mathrm{(}2+4\mathrm{)}\times 1+1\times 2=\text{8}\text{c}\text{m}$；以此类推，如果剪$m$刀，左端仍有2根长$\text{1}\text{c}\text{m}$的细绳，中间有$\mathrm{(}m-1\mathrm{)}\times 2^1=2\mathrm{(}m-1\mathrm{)}$根长$\text{1}\text{c}\text{m}$细绳，右端仍有$2^1-1=1$根长$\text{2}\text{c}\text{m}$的细绳，所以，原绳长为$\mathrm{[}2+\mathrm{(}m-1\mathrm{)}\times 2^1\mathrm{]}\times 1+\mathrm{(}{2}^1-1\mathrm{)}\times 2=\mathrm{(}2m+2\mathrm{)}=2\mathrm{(}m+1\mathrm{)}\text{c}\text{m}$ ．

探究二：

对折2次，可以看成有$2^2$根绳子重叠在一起，如果剪1刀（如图④），左端出现了2根长$\text{1}\text{c}\text{m}$的细绳，两端共出现了$2^2-1=3$根长$\text{2}\text{c}\text{m}$的细绳，所以原绳长为$2\times 1+3\times 2=\text{8}\text{c}\text{m}$；如果剪2刀（如图⑤），左端仍有2根长$\text{1}\text{c}\text{m}$的细绳，中间有$1\times 2^2=4$根长$\text{1}\text{c}\text{m}$的细绳，两端仍有$2^2-1=3$根长$\text{2}\text{c}\text{m}$的细绳，所以原绳长为$\mathrm{(}2+4\mathrm{)}\times 1+3\times 2=1\text{2}\text{c}\text{m}$；如果剪3刀（如图⑥），左端仍有2根长$\text{1}\text{c}\text{m}$的细绳，中间有$2\times 2^2=8$根长$\text{1}\text{c}\text{m}$的细绳，两端共有$2^2-1=3$根长$\text{2}\text{c}\text{m}$的细绳，所以原绳长为$\mathrm{(}2+8\mathrm{)}\times 1+3\times 2=16\text{c}\text{m}$；以此类推，如果剪$m$刀，左端仍有2根长$\text{1}\text{c}\text{m}$的细绳，中间有$\mathrm{(}m-1\mathrm{)}\times 2^2=\mathrm{(}4m-4\mathrm{)}=4\mathrm{(}m-1\mathrm{)}$根长$\text{1}\text{c}\text{m}$的细绳，两端仍有$2^2-1=3$根长$\text{2}\text{c}\text{m}$的细绳，所以原绳长为$\mathrm{[}2+\mathrm{(}m-1\mathrm{)}\times 2^2\mathrm{]}\times 1+3\times 2=\mathrm{(}4m+4\mathrm{)}=4\mathrm{(}m+1\text{)}\text{c}\text{m}$ ．

探究三：

对折3次（如图⑦），可以看成有$2^3$根绳子重叠在一起，如果剪$m$刀，左端有2根长$\text{1}\text{c}\text{m}$的细绳，中间有$\mathrm{(}m-1\mathrm{)}\times 2^3=\mathrm{(}8m-8\mathrm{)}=8\mathrm{(}m-1\mathrm{)}$根长$\text{1}\text{c}\text{m}$的细绳，两端有$2^3-1=7$根长$\text{2}\text{c}\text{m}$的细绳，所以原绳长为$\mathrm{[}2+\mathrm{(}m-1\mathrm{)}\times 2^3\mathrm{]}\times 1+7\times 2=\mathrm{(}8m+8\mathrm{)}=8\mathrm{(}m+1\mathrm{)}$cm．

在一次综合实践活动课上，王老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点.

【操作探究】

“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：

第1步：如图1所示，先将正方形纸片ABCD对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为EF；

第2步：将BC边沿CE翻折到GC的位置；

第3步：延长EG交AD于点H，则点H为AD边的三等分点.

“破浪”小组是这样操作的：

第1步：如图2所示，先将正方形纸片对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为EF；

第2步：再将正方形纸片对折，使点B与点D重合，再展开铺平，折痕为AC，沿DE翻折得折痕DE交AC于点G；

第3步：过点G折叠正方形纸片ABCD，使折痕MNIIAD.

【过程思考】

中国旅游研究院2024年1月5日发布的“2024年冰雪旅游十佳城市”中，哈尔滨位列榜首，火爆出圈，其中帽儿山的滑雪运动深受欢迎．滑雪爱好者小李为了得出滑行距离$y$（单位：m）与滑行时间$x$（单位：s）之间的关系，以便更好地享受此项运动所带来的乐趣，他在滑道A上设置了若干个观测点，收集一些数据，如下表所示：

【发现问题】“速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动，杯子的叠放方式如图1所示：每层都是杯口朝下排成一行，自下向上逐层递减一个杯子，直至顶层只有一个杯子，爱思考的小丽发现叠放所需杯子的总数随着第一层（最底层）杯子的个数变化而变化.

【提出问题】叠放所需杯子的总数y与第一层杯子的个数x之间有怎样的函数关系?

【分析问题】小丽结合实际操作和计算得到下表所示的数据：

然后在平面直角坐标系中，描出上面表格中各对数值所对应的点，得到图2、小丽根据图2中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分；为了验证自己的猜想，小丽从“形”的角度出发．将要计算总数的杯子用黑色圆表示（如图3)，再借助“补”的思想，补充相同数量的白色圆，使每层圆的数量相同，进而求出y与x的关系式.

折一折：将正方形纸片$ABCD$折叠，使边$AB$、$AD$都落在对角线$AC$上，展开得折痕$AM$、$AN$ ， 连接$MN$ ， 如图1．

转一转：将图1中的$\angle MAN$绕点$A$旋转，使它的两边分别交边$BC$、$CD$于点$E$、$F$ ， 连接$EF$ ， 如图2．

剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线$BD$剪开，如图4．