2024年中考数学热点探究十九数学古文化题

试卷更新日期：2024-04-27 类型：二轮复习

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．下图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式，反映了我国悠久的历史文化，体现了我国古代劳动人民的智慧，下列甲骨文中，不是轴对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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3. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘微割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（）．

A、 B、 C、 D、

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4. “斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式．如图，在某燕尾榫中，榫槽的横截面 $A B C D$ 是梯形，其中 $A D ∥ B C$ ， $A B = D C$ ，燕尾角 $∠ B = α$ ，外口宽 $A D = a$ ，榫槽深度是 $b$ ，则它的里口宽 $B C$ 为（）

A、 $\frac{b}{t a n α} + a$ B、 $\frac{2 b}{t a n α} + a$ C、 $b t a n α + a$ D、 $2 b t a n α + a$

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6. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（）

A、1米 B、2米 C、3米 D、4米

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7. 如图，等边三角形ABC内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边三角形ABC的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是（）

A、 $\frac{\sqrt{3} π}{18}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{18}$ C、 $\frac{\sqrt{3} π}{9}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{9}$

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8. 我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形(如图)，则阴影部分的面积是（）

A、1 B、 $8 - 4 \sqrt{3}$ C、 $16 - 8 \sqrt{3}$ D、 $20 - 10 \sqrt{3}$

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9. 如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形ABCD.连结EG并延长交BC于点M.若AB＝ $\sqrt{13}$ ，EF=1，则GM的长为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2}}{5}$

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10. 我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为（）

A、20 B、24 C、 D、

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二、填空题（每题3分，共15分）

11. 如图，日晷是我国古代利用日影测定时刻的仪器，晷针在晷面上所形成的投影属于投影．

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12. 如图，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧.点 $M$ 表示筒车的一个盛水桶.当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心 $O$ （ $O$ 在水面上方）为圆心的圆，且圆 $O$ 的半径为5米．若筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2米，则这个圆被水面截得的弦 $A B$ 长为米．

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13. 古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，千之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？“意思是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12两(古代中国1斤等于16两)．今有干丝12斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为斤．

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14. 我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，它具有一定的规律性，从图中取一列数：1，3，6，10，…，分别记为 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 3$ ， $a_{3} = 6$ ， $a_{4} = 10$ ，…，那么 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{10}}$ 的值是.

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15. 如图1是将正方形分割成七个几何图形得到的七巧板，它是中国古代劳动人民发明的一种智力玩具．图2是由七巧板拼成“熊”的几何图形．四边形ABCD是菱形，且CIJ的面积为2，则AE= ．记点K到直线LG的距离为d，则 $\frac{d}{A B}$ =

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三、解答题（共9题，共59分）

16. 中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》(孙子算经》等都是我国古代数学的重要文献．

(1)、某班准备从这4部数学名著中随机选择2部作为数学文化课程学习内容，用适当的方法列举出所有可能的结果．

(2)、求恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率．

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17. $《$ 九章算术 $》$ 是中国古代 $《$ 算经十书 $》$ 最重要的一部，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系，其中有一道阐述“盈不足数”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四 $.$ 其意思可以理解为现在有一些人共同买一个物品，如果每人出 $8$ 钱，还多出 $3$ 钱；如果每人出 $7$ 钱，则还差 $4$ 钱．

(1)、若共同买这一物品的人数为 $x$ 人，则根据每人出 $8$ 钱，还多出 $3$ 钱，表示该物品的价格为钱 $($ 用含 $x$ 的式子表示 $)$ ；

(2)、计算购买 $3$ 个该物品所需的钱数．

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18. 中国古代在公元前⒉世纪就制成了世界上最早的潜望镜，西汉初年成书的《淮南万毕术》中有这样的记载：“取大镜高悬，恳水盆于其下，则见四邻矣”.如图1所示，其工作方法主要利用了光的反射原理.

(1)、在图2中，AB呈水平状态，若入射角∠BCD=41°，∠CAE=37°（入射角等于反射角，CD，AE为法线），求∠ABC的度数.

(2)、在（1）的条件下，若AB=11.2米.求点C到AB的距离（精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）.

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19. 图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡 $O A$ 的底部点 $O$ 处，石块从投石机竖直方向上的点 $C$ 处被投出，已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是 $(50 ， 25) ， O C = 5$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、在斜坡上的点 $A$ 处建有垂直于水平线 $O D$ 的城墙 $A B$ ，且 $O D = 75 ， A D = 12 ， A B = 9$ ，点 $D 、 A 、 B$ 在一条直线上．通过计算说明石块能否飞越城墙 $A B$ ．

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20. 桑梯是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图①是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图②所示，已知 $A B = A C = 1.6$ 米， $A D = 1.2$ 米．在安全使用的前提下，当 $∠ B A C = 30 °$ 时，桑梯顶端 $D$ 达到最大高度，求此时 $D$ 到地面 $B C$ 的距离．（参考数据： $s i n 75 ° \approx 0.97$ ， $c o s 75 ° \approx 0.26$ ， $t a n 75 ° \approx 3.73$ ，精确到0.1米）

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21. 桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于 $《$ 墨子 $\cdot$ 备城门 $》$ ，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2所示的是桔槔示意图， $O M$ 是垂直于水平地面的支撑杆， $O M = 3$ 米， $A B$ 是杠杆，且 $A B = 6$ 米， $O A ： O B = 2 ： 1$ ．当点A位于最高点时， $∠ A O M = 127 °$ ．

(1)、求点A位于最高点时到地面的距离；

(2)、当点A从最高点逆时针旋转54.5°到达最低点A₁时，求此时水桶B上升的高度．
（考数据： $\sin 37 ° \approx 0.6 ， \sin 17.5 ° \approx 0.3 ， \tan 37 ° \approx 0.8$ ）

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22. 在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“杠杆”，推动“杠杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎．如图， $A B$ 为圆 $O$ 的直径， $A C$ 是 $⊙ O$ 的一条弦， $D$ 为弧 $B C$ 的中点，作 $D E ⊥ A C$ 于点 $E$ ，交 $A B$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $D A$ ．

(1)、若 $A B = 90 c m$ ，则圆心 $O$ 到“杠杆 $E F$ ”的距离是多少？说明你的理由；

(2)、若 $D A = D F = 6 \sqrt{3}$ ，求阴影部分的面积． $($ 结果保留 $π)$

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23. “九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3表格，每行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，如图．

(1)、求x；

(2)、在剩下的5个格子里，请你再求出一个格子里的数．（指出某号格子，直接写出对应的数即可）

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24. 如图①，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计（相对当时的生产力），包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人拜服，如图②是马车的侧面示意图， $A B$ 为车轮 $⊙ O$ 的直径，过圆心 $O$ 的车架 $A C$ 一端点 $C$ 着地时，地面 $C D$ 与车轮 $⊙ O$ 相切于点 $D$ ，连接 $A D ， B D$ ．

(1)、徽徽猜想 $∠ C + 2 ∠ B D C = 90 °$ ，徽徽的猜想正确吗？请说明理由；

(2)、若 $\frac{B D}{A D} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ， $B C = 2$ 米，求车轮的直径 $A B$ 的长．

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四、实践探究题（共16分）

25. 【问题背景】
“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具.综合实践小组准备用甲、乙两个透明的坚直放置的容器和一根带节流阀(控制水的流速大小)的软管制作简易计时装置.
【实验操作】
综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为 $30 c m$ ，开始放水后每隔 $10 m i n$ 观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：
流水时间 $t / m i n$
0
10
20
30
40
水面高度 $h / c m$ (观察值)
30
29
28.1
27
25.8

(1)、任务1：分别计算表中每隔 $10 m i n$ 水面高度观察值的变化量；

(2)、【建立模型】
小组讨论发现：“ $t = 0 ， h = 30$ ”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度 $h$ 与流水时间 $t$ 的关系.
任务2：利用 $t = 0$ 时， $h = 30 ； t = 10$ 时， $h = 29$ 这两组数据求水面高度 $h$ 与流水时间 $t$ 的函数解析式；

(3)、【反思优化】
经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差.小组决定优化函数解析式，减少偏差.通过查阅资料后知道： $t$ 为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应 $h$ 的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小.
任务3：①计算任务2得到的函数解析式的w值；
②请确定经过(0，30)的一次函数解析式，使得w的值最小；

(4)、【设计刻度】
得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间.
任务4：请你简要写出时间刻度的设计方案.

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流水时间 $t / m i n$	0	10	20	30	40
水面高度 $h / c m$ (观察值)	30	29	28.1	27	25.8

2024年中考数学热点探究十九 数学古文化题

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共15分）

三、解答题（共9题，共59分）

四、实践探究题（共16分）

2024年中考数学热点探究十九数学古文化题