2024年中考数学热点探究十八几何最值问题

试卷更新日期：2024-04-27 类型：二轮复习

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一、选择题（每题2分，共20分）

1. 如图，若正六边形 $A B C D E F$ 绕着中心 $O$ 旋转角 $α$ 得到的图形与原来的图形重合，则 $α$ 最小值为（）

A、 $180 °$ B、 $120 °$ C、 $90 °$ D、 $60 °$

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2. 如图，▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，AC⊥AB ， E、F为线段BD上两动点（不与端点重合）且EF＝ $\frac{1}{2}$ BD ，连接AE ， CF ，当点EF运动时，对AE+CF的描述正确的是（）

A、等于定值5- $\sqrt{2}$ B、有最大值 $\frac{12 \sqrt{13}}{13}$ C、有最小值 $\frac{12 \sqrt{13}}{13}$ D、有最小值 $\sqrt{13}$

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3. 如图，AB为⊙O的直径，AB＝8，点C为半圆AB上一动点，以BC为边向⊙O外作正ΔBCD（点D在直线AB的上方），连接OD，则线段OD的（）

A、随点C的运动而变化，最小值为 $4 \sqrt{3}$ B、随点C的运动而变化，最大值为8 C、随点C的运动而变化，最大值为 $8 \sqrt{3}$ D、随点C的运动而变化，但无最值

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4. 如图，点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，已知AB=3，BC=4，设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积分别为S₁、S₂、S₃、S₄ ，以下判断，其中不正确的是（）

A、PA+PB+PC+PD的最小值为10 B、若△PAB≌△PCD，则△PAD≌△PBC C、若△PAB∼△PDA，则PA=2 D、若S₁=S₂ ，则S₃=S₄

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5. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点E是对角线 $A C$ 上一点，有 $A E = A B = \sqrt{3} B C$ 且 $B C = a$ ，点P是 $B E$ 上一动点，则点P到边 $A B$ ， $A C$ 的距离之和 $P M + P N$ 的值（）

A、有最大值a B、有最小值 $\frac{\sqrt{3}}{2} a$ C、是定值 $\frac{1}{2} a$ D、是定值 $\frac{\sqrt{3}}{2} a$

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6. 如图，AB为⊙O的直径，AB=10，点C是AB上方半圆上的一点，点D是AB下方半圆上的点．连接AC，BC，AD，过点D作DE∥AB交CB的延长线于点E．若AD＝ $5 \sqrt{2}$ ，则当下列哪种情况时，AC•CE取得最大值. （）

A、CD取最大值时 B、AC⊥AD时 C、CD⊥DE时 D、OC⊥AB时

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7. 如图， $∠ M O N = 45 °$ ，点A、B分别在射线 $O M$ 、射线 $O N$ 上运动，四边形 $A B C D$ 是矩形，且 $A B = 2$ ， $A D = 1$ ，则 $O D$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{2} + 1$ C、 $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ D、无最大值

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8. 如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，点C是圆上不与A ， B重合的点，CD平分∠ACB ，交⊙O于D ， AE平分∠CAB ，交CD于E ．有以下说法：
①点D是定点；
②AC•BC的最大值为50；
③D为△ABE的外心；
④CA+CB的最大值为 $10 \sqrt{2}$ ．
其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9. 如图， $E$ 是线段 $A B$ 上一点， $△ A D E$ 和 $△ B C E$ 是位于直线 $A B$ 同侧的两个等边三角形，点 $P ， F$ 分别是 $C D ， A B$ 的中点．若 $A B = 4$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $P A + P B$ 的最小值为 $3 \sqrt{3}$ B、 $P E + P F$ 的最小值为 $2 \sqrt{3}$ C、 $△ C D E$ 周长的最小值为6 D、四边形 $A B C D$ 面积的最小值为 $3 \sqrt{3}$

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10. 如图，已知点C在以 $A B$ 为直径，O为圆心的半圆上， $A B = 4$ ，以 $B C$ 为边作等边 $△ B C D$ ，则 $A D$ 的最大值是（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $4 + 2 \sqrt{3}$ C、 $2 + 2 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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二、填空题（每题2分，共12分）

11. 如图， $E$ ， $F$ 是正方形 $A B C D$ 的边 $A B$ 的三等分点， $P$ 是对角线 $A C$ 上的动点，当 $P E + P F$ 取得最小值时， $\frac{A P}{P C}$ 的值是．

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12. 如图，在边长为2的正方形 $A B C D$ 中，E，F分别是 $B C ， C D$ 上的动点，M，N分别是 $E F ， A F$ 的中点，则 $M N$ 的最大值为．

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13. $△ A B C$ 中， $A B = 8$ ， $A C = 4$ ，以 $B C$ 为边在 $△ A B C$ 外作正方形 $B C D E$ ， $B D$ 、 $C E$ 交于点O ，则线段 $A O$ 的最大值为．

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14. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $A B = 12$ ， $A D$ 平分 $∠ C A B$ ，点F是 $A C$ 的中点，点E是 $A D$ 上的动点，则 $C E + E F$ 的最小值为．

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15. 如图，在直角坐标系中，已知点 $A (4, 0)$ ，点 $B$ 为 $y$ 轴正半轴上一动点，连接 $A B$ ，以 $A B$ 为一边向下作等边 $Δ A B C$ ，连接 $O C$ ，则 $O C$ 的最小值为．

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16. 如图，平面内三点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ， $A B = 4$ ， $A C = 3$ ，以 $B C$ 为对角线作正方形 $B D C E$ ，连接 $A D$ ，则 $A D$ 的最大值是．

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三、解答题（共4题，共26分）

17. 如图所示，在△ABC中， $∠ A C B = 9 0^{°} ， D$ 是斜边AB上一点， $B D = 2 A D$ ， $C D = 4$ ，求 $S_{△ A C D}$ 的最大值.

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18. 如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝ $\frac{1}{4}$ AB ，点P在BC上运动（不与B ， C重合），过点P作PQ⊥EP ，交CD于点Q ，求在点P运动的过程中，BP多长时，CQ有最大值，并求出最大值．

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19. 如图所示，AB，CD是半径为5的 $⊙ O$ 的两条弦， $A B = 8 ， C D = 6 ， M N$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A B ⊥ M N$ 于点 $E ， C D ⊥ M N$ 于点 $F$ ，且点E，F位于点 $O$ 的两侧.若 $P$ 为EF上任意一点，求 $P A + P C$ 的最小值.

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20. 材料：对于一个关于 $x$ 的二次三项式 $a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ ，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小宁同学还想到了利用根的判别式的方法，例：求 $x^{2} + 2 x + 5$ 的最小值；
解：令 $x^{2} + 2 x + 5 = y$ ， $∴ x^{2} + 2 x + (5 - y) = 0$ ，
$∴ Δ = 4 - 4 \times (5 - y) \geq 0$ ， $∴ y \geq 4$ ， $∴ x^{2} + 2 x + 5$ 的最小值为 $4$ ．
请利用上述方法解决下列问题：如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = 10$ ，高 $A D = 8$ ，矩形 $E F P Q$ 的一边 $Q P$ 在边上， $E$ 、 $F$ 两点分别在 $A B$ 、 $A C$ 上， $A D$ 交 $E F$ 于点 $H$ ．

(1)、若 $E F = 2 E Q$ ，求矩形 $E F P Q$ 的面积；

(2)、设 $E Q = x$ 求矩形 $E F P Q$ 的面积最大值．

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四、实践探究题（共7题，共62分）

21. 根据以下素材，探索完成任务．

如何确定拍照打卡板
素材一	设计师小聪为某商场设计拍照打卡板（如图1），图2为其平面设计图．该打卡板是轴对称图形，由长方形DEFG和等腰三角形ABC组成，且点B ， F ， G ， C四点共线．其中，点A到BC的距离为1.2米， $F G = 0.8$ 米， $D G = 1.5$ 米．
素材二	因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种材料分别制作长方形DEFG与等腰三角形ABC（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为85元/平方米，乙材料的单价为100元/平方米．
问题解决
任务一	推理最大高度	小聪说：“如果我设计的方案中CB长与C ， D两点间的距离相等，那么最高点B到地面的距离就是线段DG长”，他的说法对吗？请判断并说明理由．
任务二	探究等腰三角形ABC面积	假设CG长度为x米，等腰三角形ABC的面积为S ，求S关于x的函数表达式．
任务三	确定拍照打卡板	小聪发现他设计的方案中，制作拍照打卡板的总费用不超过180元，请你确定CG长度的最大值．

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22. 阅读下列材料，解决问题：
配方法是数学中一种很重要的恒等变形方法，我们已经学习了用配方法解一元二次方程，并在此基础上得出了一元二次方程的求根公式．其实配方法还有很多重要的应用．例如我们可以用配方法求代数式的最值及取得最值的条件，如下面的例子：
例：求多项式 $2 x^{2} - 8 x + 1$ 的最小值
解： $2 x^{2} - 8 x + 1 = 2 (x^{2} - 4 x) + 1$
$\begin{array}{l} = 2 (x^{2} - 4 x + 4 - 4) + 1 \end{array}$
$= 2 (x - 2)^{2} - 7$
$\begin{array}{l} ∵ (x - 2)^{2} \geq 0 \end{array}$ ，
$∴ 2 (x - 2)^{2} - 7 \geq - 7$
$∴$ 多项式的最小值为−7，此时， $x = 2$ ．
仿照上面的方法，解决下面的问题：

(1)、当 $x =$ 时，多项式 $- x^{2} - 4 x + 3$ 有最值是；

(2)、若代数式 $M = 2 x^{2} - 3 y^{2} - x - 1 ， N = x^{2} - 3 y^{2} + x - 4$ ，试比较 $M$ 与 $N$ 的大小关系；

(3)、如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = a$ ，高 $A D = b$ ，矩形 $E F G H$ 的四个顶点分别在三角形的三边上，设 $H E = x$ ，矩形 $E F G H$ 的面积为 $S$ ．用含有 $x ， a ， b$ 的代数式表示 $S$ ，并求出当 $x$ 的值为多少时， $S$ 的值最大？并判断此时 $S$ 与 $△ A B C$ 面积的关系．

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23. 请根据素材，完成任务.

素材一	如图，在Rt $△ A B C$ 中， $C D ⊥ A B$ ，垂足为点 $D$ ，若保证 $∠ A C B$ 始终为直角，则点A、B、C在以AB为直径的圆上.
素材二	如图，在Rt△ABC中， $∠ A C B = 9 0^{°} ， C D ⊥ A B$ ，垂足为点 $D$ ，取AB的中点 $O$ ，连接OC，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知 $O C = \frac{1}{2} A B$ ，可得OC≥CD.
素材三	如图，矩形ABCD是某实验室侧截面示意图，现需要在室内安装一块长1米的遮光板EF，且EF//AB，点 $E$ 到墙AB的距离为4米，到地面BC的距离为5米.点O为室内光源，OM、ON为光线， $∠ M O N = 4 0^{°}$ ，通过调节光源的位置，可以改变背光工作区的大小.若背光工作区BM+BN的和最大时，该实验室“可利用比”最高.
任务一	若素材一中的AB=4，求CD的最大值.
任务二	若素材二中的CD=6，求AB的最小值.
任务三	若任务二中的∠ACB=90°改成∠ACB=60°，其余条件不变，请直接写出AB的最小值.
任务四	若任务二中的∠ACB=90°，CD=6改成∠ACB=α，CD=m，请直接出AB的最小值.
任务五	当素材三中的实验室“可利用比”最高，求此时BM+BN的值

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24. （实际问题）小明家住 $15$ 楼．一天，他要把一根 $3$ 米长的竹竿放入电梯带回家中，如果竹竿恰好刚能放入电梯中（如图①示）那么，电梯的长、宽、高和的最大值是多少米？

（类比探究）为了解决这个实际问题，我们首先探究下面的数学问题．

探究：如图②，在 $△ A B C$ 中， $A C ⊥ B C$ ．若 $B C = a$ ， $A C = b$ ， $A B = c$ ，则 $b$ 与 $c$ 之有什么数量关系？

解：在 $△ A B C$ 中，

$∵$ $A C ⊥ B C$ ，

$∴$ $B C^{2} + A C^{2} = A B^{2}$ ，即 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ．

$∵$ ${(a - b)}^{2} \geq 0$ ，

$∴$ $a^{2} + b^{2} - 2 a b \geq 0$ ，

$∴$ $a^{2} + b^{2} \geq 2 a b$ ，

$∴$ $c^{2} \geq 2 a b$ ，

$∴$ $c^{2} + a^{2} + b^{2} \geq 2 a b + a^{2} + b^{2}$ ．

$∴$ $2 c^{2} \geq {(a + b)}^{2}$ ．

$∵$ $a$ ， $b$ ， $c$ 均大于 $0$ ，

$∴$ $a + b$ 与 $c$ 之间的数量关系是 $a + b \leq \sqrt{2} c$ ．

(1)、探究2：如图③，在四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 是对角线， $A B ⊥ B C$ ， $A C ⊥ C D$ ．若 $A B = a$ ， $B C = b$ ， $C D = c$ ， $A D = d$ ，则 $a + b + c$ 与 $d$ 之间有什么数量关系？

解： $∵$ $A B ⊥ B C$ ， $A C ⊥ C D$ ，

$∴$ $B C^{2} + A B^{2} = A C^{2}$ ， $A C^{2} + C D^{2} = A D^{2}$ ．

$∴$ $a^{2} + b^{2} + c^{2} = d^{2}$

$∵$ ${(a - b)}^{2} \geq 0$ ， ${(a - c)}^{2} \geq 0$ ， ${(b - c)}^{2} \geq 0$ ，

$∴$ $a^{2} + b^{2} \geq 2 a b$ ， $a^{2} + c^{2} \geq 2 a c$ ， $b^{2} + c^{2} \geq 2 b c$ ．

将上面三式相加得， $2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2} \geq 2 a b + 2 a c + 2 b c$ ，

$∴$ $2 d^{2} \geq 2 a b + 2 a c + 2 b c$ ．

$∴$ $2 d^{2} + a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 2 a b + 2 a c + 2 b c + a^{2} + b^{2} + c^{2}$ ．

$∴$ $d^{2} \geq {(a + b + c)}^{2}$ ．

$∵$ $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 均大于 $0$ ，

$∴$ $a + b + c$ 与 $d$ 之间有这样的数量关系： $a + b + c \leq$ $d$ ．

(2)、探究3：如图④，仿照上面的方法探究，在五边形 $A B C D E$ 中， $A C$ ， $A D$ 是对角线， $A B ⊥ B C$ ， $A C ⊥ C D$ ， $A D ⊥ D E$ ．若 $A B = a$ ， $B C = b$ ， $C D = c$ ， $D E = d$ ， $A E = e$ ，则 $a + b + c + d$ 与 $e$ 之间的数量关系是．

(3)、当 $a_{1} > 0$ ， $a_{2} > 0$ ，…， $a_{n} > 0$ ， $m > 0$ 时，若 $a_{1}^{2} a_{2}^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n}^{2} = m^{2}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n}$ 与 $m$ 之间的数量关系是．

(4)、小明家住 $15$ 楼一天，他要把一根 $3$ 米长的竹竿放入电梯带回家中，如果竹竿恰好刚能放入电梯中（如图①示），那么，电梯的长、宽、高和的最大值是米．

(5)、公园准备修建一个四边形水池，边长分别为 $a$ 米， $b$ 米， $c$ 米， $d$ 米，分别以水池四边为边向外建四个正方形花园，若花园面积和为 $900$ 平方米，则水池的最大周长为米．

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25.

【问题呈现】如图1，∠AOB=90°， OA=4，OB=5，点P在半径为2的⊙O上，求 $\frac{1}{2} A P + B P$ 的最小值.

【问题解决】小明是这样做的：如图2，在OA上取一点C使得OC=1，这样可得 $\frac{O C}{O P} = \frac{1}{2} = \frac{O P}{O A}$ ，又因为∠COP=∠POA，所以可得△COP ∽△POA，所以 $\frac{C P}{A P} = \frac{O P}{O A} = \frac{1}{2}$ ，得 $C P = \frac{1}{2} A P$ 所以 $\frac{1}{2} A P + B P = C P + B P$ .

又因为 $C P + B P \geq C B = \sqrt{O C^{2} + O B^{2}}$ ，所以 $\frac{1}{2} A P + B P$ 最小值为 ▲ .

【思路点拨】小明通过构造相似形（图3），将 $\frac{1}{2} A P$ 转化成CP，再利用“两点之间线段”最短”求出CP+ BP的最小值.

【尝试应用】如图4，∠AOB=60°， OA=10，OB=9，点P是半径为6的⊙O上一动点，求 $A P + \frac{2}{3} B P$ 的最小值.

【能力提升】如图5，∠ABC=120°， BA= BC=8，点D为平面内一点且BD= 3CD，连接AD，则△ABD面积的最大值为 ▲ .

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