2024年中考数学热点探究十七利用解直角三角形测量物体的高度、宽度或距离

试卷更新日期：2024-04-27 类型：二轮复习

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 松华坝水库地处昆明北郊，是昆明市的重要水源，被称为“昆明头上的一碗水”，水库周边遍布森林与湿地，呈现出一幅纯净自然的和谐生态画卷．如图，大坝某段横截面迎水坡 $A B$ 的坡度 $i = 1 ： 2$ （ $坡度 i = \frac{铅直高度 B C}{水平宽度 A C}$ ），若坝高 $B C = 30 m$ ，则坡面 $A B$ 的水平宽度长度约为（）（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ， $\sqrt{5} \approx 2.24$ ）

A、 $52 m$ B、 $60 m$ C、 $67 m$ D、 $90 m$

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2. 某村计划挖一条引水渠，渠道的横断面ABCD是一个轴对称图形（如图所示）.若渠底宽BC为2m，渠道深BH为3m，渠壁CD的倾角为 $α$ ，则渠口宽AD为（）

A、（ $2 + 3 \cdot \tan α$ ）m B、（ $2 + 6 \cdot \tan α$ ）m C、（ $2 + \frac{3}{\tan α}$ ）m D、（ $2 + \frac{6}{\tan α}$ ）m

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3. 如图，在点O处的船只准备沿垂直河岸l₁的路线OA驶向对岸12，但受水流的影响，实际路线比计划路线偏离a度，测得河宽为20米，则实际比原计划多行驶了（）．

A、（ $\frac{20}{\sin α}$ -20）米 B、（ $\frac{20}{\cos α}$ -20）米 C、（20sinα-20）米 D、（20cosα-20）米

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4. 如图，先锋村准备在坡角为 $α$ 的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）

A、 $5 cos α$ m B、 $\frac{5}{cos α}$ m C、 $5 sin α$ m D、 $\frac{5}{sin α}$ m

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5. 南沙群岛是我国固有领土，我南海渔民要在南沙某海岛A附近进行捕鱼作业，从位于海岛A的南偏东 $30 °$ 方向、距离海岛50海里的B处出发，沿正北方向航行一段时间后，到达位于海岛A的东北方向上的C处，则渔船航行的距离为（）．

A、 $25 \sqrt{2}$ 海里 B、 $25 \sqrt{3}$ 海里 C、 $25 (\sqrt{2} + 1)$ 海里 D、 $25 (\sqrt{3} + 1)$ 海里

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6. 如图，一只正方体箱子沿着斜面CG向上运动， $∠ C = α$ ，箱高 $A B = 1$ 米，当 $B C = 2$ 米时，点 $A$ 离地面CE的距离是（）

A、 $(\frac{1}{c o s α} + \frac{2}{s i n α})$ 米 B、 $(\frac{1}{c o s α} + \frac{1}{2 s i n α})$ 米 C、 $(c o s α + 2 s i n α)$ 米 D、 $(2 c o s α + s i n α)$ 米

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7. 如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸凉亭B之间的距离，在学校附近选一点C ，利用测量仪器测得 $∠ A = α$ ， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 4 km$ ，则学校与凉亭之间的距离 $A B$ 等于（）

A、 $4 \sin α km$ B、 $\frac{4}{\sin α} km$ C、 $\frac{4}{\cos α} km$ D、 $4 \tan α km$

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8. 如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，则点A到BC的距离为（）

A、60sin50° B、 $\frac{60}{s i n 50 °}$ C、60cos50° D、60tan50°

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9. 如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30°，底部C的俯角为60°，无人机与旗杆的水平距离AD为6m ，则旗杆BC的高为（）

A、 $(3 + 6 \sqrt{3}) π$ B、12m C、 $8 \sqrt{3} π$ D、 $(6 + 2 \sqrt{3}) π$

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10. 如图1是装满液体的高脚杯示意图，测量发现点 $A$ 到地面 $D D^{^{'}}$ 的距离为 $29, C D = 14, A B = 10$ ，若用去一部分液体后，液面下降的高度恰好等于此时的液面EF，则 $E F =$ （）

A、9 B、8 C、6. D、5

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二、填空题（每题3分，共15分）

11. 如图，一段铁路路基的横断面为等腰梯形，路基的上底宽AD为3米，路基高为1米，斜坡AB的坡度 $= 1 ： 1.5$ ，那么路基的下底宽BC是米．

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12. 如图，同学们利用所学知识去测量三江源某河段某处的宽度，小童同学在A处观测对岸点C，测得 $∠ C A D = 45 °$ ，小郑同学在距点A处 $60$ 米远的B点测得 $∠ C B D = 30 °$ ，请计算：河宽米.（精确到 $0.01$ 米， $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

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13. 为解决停车问题，某小区在如图所示的一段道路边开辟一段斜列式停车位，每个车位长6m，宽2.4m，矩形停车位与道路成60°角，则在这一路段边上最多可以划出个车位．（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.7$ ）

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14. 如图，某飞机在离地面垂直距离 $1000$ 米的上空 $A$ 处，测得地面控制点 $B$ 的俯角为 $60 °$ ，那么飞机与该地面控制点之间的距离 $A B$ 等于米 $($ 结果保留根号 $)$ ．

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15. 已知一个液压升降机如图1所示，图2和图3是该液压升降机的平面示意图，菱形CODP的边长及等腰三角形OAB、PEF的腰长都是定值且相等．如图2，载物台EF到水平底座AB的距离h₁为60cm，此时∠AOB＝120°；如图3，当∠AOB＝90°时，载物台EF到水平底座AB的距离h₂为 cm（结果保留根号）．

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三、解答题（共8题，共55分）

16. 如图，小茗家车库的宽 $A B$ 长为3米，小茗妈妈将一辆宽为 $1.8$ 米（即 $M N = 1.8$ 米）的汽车正直停入车库，此时 $M N ∥ A B$ ，车门 $C D$ 长为 $1.2$ 米，当左侧车门 $C D$ 接触到墙壁时，车门与车身的夹角 $∠ C D E$ 为 $45 °$ ，此时 $F G$ 为右侧车门开至最大的宽度（也是物体进出的最大宽度），小茗妈妈能否将车内一个边长为40厘米的正方体包裹从右侧车门取出？（结果精确到 $0.01$ 米；参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ）

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17. 如图，某育苗基地为了能够最大限度地遮挡夏季炎热的阳光和充分利用冬天的光照，计划在苗圃正上方搭建一个平行于地面的遮阳蓬．已知苗圃的（南北）宽 $A B = 6.5$ 米，该地区一年中正午时刻太阳光与地平面的最大夹角是 $∠ D A E = 76.5 °$ ，最小夹角是 $∠ D B E = 29.5 °$ ．求遮阳蓬的宽 $C D$ 和到地面的距离 $C B$ ．
参考数据： $s i n 29.5 ° \approx \frac{49}{100}$ ， $c o s 29.5 ° \approx \frac{87}{100}$ ， $t a n 29.5 ° \approx \frac{14}{25}$ ， $s i n 76.5 ° \approx \frac{97}{100}$ ， $c o s 76.5 ° \approx \frac{23}{100}$ ， $t a n 76.5 ° \approx \frac{21}{5}$ ．

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18. 如图，小明在研究性学习活动中，对自己家所在的小区进行调查后发现，小区汽车入口宽 $A B$ 为3.2米，在入口的一侧安装了停止杆 $C D$ ，其中 $A E$ 为支架，支架 $A E = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 米，当停止杆仰起，端点C恰好与地面接触时，停止杆与地面成60°角.在此状态下，一辆货车高2.4米，宽2.5米，那么这辆货车在不碰杆的情况下，能从入口内通过吗？请你通过估算说明.

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19. 为了保护学生视力，要求学生写字时应保持眼睛与书本最佳距离约为 $35 c m$ ．如图， $B D$ 为桌面，嘉琪同学眼睛 $P$ 看作业本 $A$ 的俯角为 $53 °$ ，身体离书桌距离 $B C = 9 c m$ ，眼睛到桌面的距离 $P C = 24 c m$ ．

(1)、通过计算，请判断嘉琪的眼睛与作业本的距离是否符合最佳要求；

(2)、为确保眼睛与作业本的距离符合最佳要求，在身体离书桌的距离 $B C$ 和眼睛到桌面的距离 $P C$ 保持不变的情况下，需将作业本沿 $B A$ 方向移动到点 $E$ 处，求作业本移动的距离 $A E$ ．（结果精确到 $0.1 c m$ ）（参考数据： $c o s 37 ° \approx 0.8$ ， $c o s 47 ° \approx \frac{24}{35}$ ， $t a n 47 ° \approx 1.07$ ．）

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20. 如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离方案如下：

课题	检测新生物到皮肤的距离
工具	医疗仪器等
示意图
说明	如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠DBN；再在皮肤上选择距离B处9cm的C处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠ECN．
测量数据	∠DBN＝35°，∠ECN＝22°，BC＝9cm

请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离．（结果精确到0.1cm）

（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）

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21.
长泰大桥是长春市最高的双塔斜拉式高架桥，大桥属于双塔双索面混凝土特大斜拉桥桥型，图 $①$ 是大桥的实物图，图 $②$ 是大桥的示意图 $.$ 假设你站在桥上点 $A$ 处测得拉索 $A B$ 与水平桥面的夹角是 $39 °$ ，点 $A$ 处距离大桥立柱 $C D$ 底端 $D$ 的距离 $A D$ 为 $96$ 米，已知大桥立柱上 $B$ 点距立柱顶端 $C$ 点的距离 $B C$ 为 $5$ 米，求大桥立柱 $C D$ 的高 $. ($ 结果精确到 $1$ 米 $) [$ 参考数据： $s i n 39 ° \approx 0.63$ ， $c o s 39 ° ～ 0.78$ ， $t a n 39 ° \approx 0.81]$

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22. 每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．

(1)、若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长．

(2)、如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）

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23. 如图1是可调节高度和桌面角度的电脑桌，它的左视图可以抽象成如图2所示的图形，底座AB长为60cm，支架CD垂直平分AB，桌面EF的中点D固定在支架CD处，EF宽为60cm．身高为160cm的使用者MN站立处点M与点A，B在同一条直线上，MA＝20cm．点N到点F的距离是视线距离．

(1)、如图2，当EF∥AB，CD＝100cm时，求视线距离NF的长；

(2)、如图3，使用者坐下时，高度MN下降50cm，当桌面EF与CD的夹角∠CDE为35°时，恰有视线NF∥AB，问需要将支架CD调整到多少cm？
（参考数据：sin35°≈0.43，cos35°≈0.90，tan35°≈0.47）

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四、实践探究题（共2题，共20分）

24. 某综合实践小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．为了减小测量误差.小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．

课题	测量旗杆的高度
成员	组长××× 组员：×××，×××，×××
测量工具	测量角度的仪器、皮尺等
测量示意图		说明：左图为测量示意图，线段 $G H$ 表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度 $A C = B D = 1.5 m$ ，测点 $A$ ， $B$ 与 $H$ 在同一条水平直线上， $A$ ， $B$ 之间的距离可以直接测得，且点 $G$ ， $H$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 都在同一竖直平面内.点 $C$ ， $D$ ， $E$ 在同一条直线上，点 $E$ 在 $G H$ 上．
测量数据	测量项目	第一次	第二次	平均值
	$∠ G C E$ 的度数	$25.6 °$	$25.8 °$	$25.7 °$
	$∠ G D E$ 的度数	$31.2 °$	$30.8 °$	$31 °$
	$A$ ， $B$ 之间的距离	$5.4 m$	$5.6 m$

(1)、任务一：两次测量，

A

，

B

之间距离的平均值是

m

；

(2)、任务二：根据以上测量结果，请你帮助该综合实践小组求出学校旗杆

G H

的高度．

（参考数据： $s i n 25.7 ° \approx 0.43$ ， $c o s 25.7 ° \approx 0.90$ ， $t a n 25.7 ° \approx 0.48$ ， $s i n 31 ° ≈ 0.52$ ， $c o s 31 ° ≈ 0.86$ ， $t a n 31 ° \approx 0.60$ ）

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25. 问题：如何设计“倍力桥”的结构?

图①是搭成的“倍力桥”，纵梁a，c夹住横梁 $b$ ，使得横梁不能移动，结构稳固.

图②是长为 $l (c m)$ ，宽为 $3 c m$ 的横梁侧面示意图，三个凹槽都是半径为 $1 c m$ 的半圆.圆心分别为 $O_{1} ， O_{2} ， O_{3} ， O_{1} M = O_{1} N ， O_{2} Q = O_{3} P = 2 c m$ ，纵梁是底面半径为 $1 c m$ 的圆柱体.用相同规格的横梁、纵梁搭“桥”，间隙忽略不计.

(1)、探究1：图③是“桥”侧面示意图，A，B为横梁与地面的交点，C，E为圆心，

D ， H_{1} ， H_{2}

是横梁侧面两边的交点.测得

A B = 32 c m

，点

C

到AB的距离为

12 c m

.试判断四边形

C D E H_{1}

的形状，并求

l

的值.

(2)、探究2：若搭成的“桥”刚好能绕成环，其侧面示意图的内部形成一个多边形.

①若有12根横梁绕成环，图④是其侧面示意图，内部形成十二边形 $H_{1} H_{2} H_{3} ⋯ H_{12}$ ，求 $l$ 的值；

②若有 $n$ 根横梁绕成的环( $n$ 为偶数，且 $n ⩾ 6$ )，试用关于 $n$ 的代数式表示内部形成的多边形 $H_{1} H_{2} H_{3} ⋯ H_{n}$ 的周长.

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2024年中考数学热点探究十七 利用解直角三角形测量物体的高度、宽度或距离

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共15分）

三、解答题（共8题，共55分）

四、实践探究题（共2题，共20分）

2024年中考数学热点探究十七利用解直角三角形测量物体的高度、宽度或距离