2024年中考数学热点探究十六相似图形中的分类讨论

试卷更新日期：2024-04-27 类型：二轮复习

进入出卷网下载

一、选择题（每题3分，共27分）

1. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，BC＝4cm，D为AC的中点，若动点E以1cm/s的速度从点B出发，沿B→C方向运动，设点E的运动时间为t秒（0≤t＜4），连接DE，当以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为（）

A、0.5或2 B、0.5或3.5 C、2或2.5 D、2或3.5

查看试题解析
2. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 ° ， ∠ A = 30 ° ， B C = 2 ， D$ 为 $A B$ 的中点．若点 $E$ 在边 $A C$ 上，且 $\frac{A D}{A B} = \frac{D E}{B C}$ ，则 $A E$ 的长为（）

A、1 B、2 C、1或 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1或2

查看试题解析
3. 将一张三角形彩纸 $A B C$ 按如图所示的方式折叠，使点B落在边 $A C$ 上，记为点F，折痕为 $D E$ ．已知 $A B = A C = 6$ ， $B C = 8$ ，若以点C，D，F为顶点的三角形与 $△ A B C$ 相似，则 $B D$ 的长是（　　）

A、 $\frac{12}{7}$ B、 $\frac{24}{7}$ C、 $\frac{12}{7}$ 或4 D、 $\frac{24}{7}$ 或4

查看试题解析
4. 一个钢筋三脚架三边长分别为 $30 c m ， 60 c m ， 80 c m$ ，现在要做一个和它相似的钢筋三脚架，而只有长为 $40 c m$ 和 $90 c m$ 的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截两段（允许有余料）作为另两边，则不同的截法有（　　）

A、一种 B、两种 C、三种 D、四种或四种以上

查看试题解析
5. 如图，在矩形ABCD中， $A D = 3 A B = 3 \sqrt{10}$ ，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN 是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN的值为（）

A、6或2 B、3或 $\frac{15}{8}$ C、2或3 D、6或 $\frac{15}{8}$

查看试题解析
6. 如图①，在△ABC中，∠B＝108°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C→A匀速运动一周．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为v（cm），v与t的函数图象如图②所示．当BP恰好是∠ABC的一条三等分线时，t的值为（　　）

A、 $\sqrt{5}$ +2或5 B、 $\sqrt{5}$ +3或6 C、 $\sqrt{5}$ +3或5 D、 $\sqrt{5}$ +2或6

查看试题解析
7. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 3$ ，将 $△ B C D$ 沿射线 $B D$ 平移a个单位长度（ $a > 0$ ）得到 $△ B^{'} C^{'} D^{'}$ ，连接 $A B^{'}$ ， $A D^{'}$ ，则当 $△ A B^{'} D^{'}$ 是直角三角形时，a的值为（）

A、 $\frac{7}{5}$ 或 $\frac{16}{5}$ B、2或 $\frac{16}{5}$ C、 $\frac{8}{5}$ 或 $\frac{16}{5}$ D、 $\frac{7}{5}$ 或3

查看试题解析
8. 如图所示，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点分别在CD，AD上滑动.若要△ABE与以点D，点M，点N为顶点的三角形相似，则DM的长为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ 或 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 或 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$

查看试题解析
9. 将一张 $▱ A B C D$ （ $A D < A B < 2 A D$ ）纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，将余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形，若剪去两个菱形后所剩下的平行四边形与原来 $▱ A B C D$ 相似，则 $▱ A B C D$ 的相邻两边 $A D$ 与 $A B$ 的比值是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 或 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、 $\sqrt{2} - 1$ 或 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 或 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

查看试题解析

二、填空题（每空3分，共18分）

10. 如图，已知∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD= $\sqrt{2}$ ，当AB的长为时，△ACB与△ADC相似．

查看试题解析
11. 如图， $A B ⊥ B D$ ， $C D ⊥ B D$ ， $A B = 6 c m$ ， $C D = 4 c m$ ， $B D = 14 c m$ ，点P在BD上，由点B向点D方向移动，当 $△ A P B$ 与 $△ C P D$ 相似时，BP的长为.

查看试题解析
12. 如图是一张菱形纸片， $∠ D A B = 60 °$ ， $A B = 5$ ，点 $E$ 在边 $A D$ 上，且 $D E = 2$ ，点 $F$ 在 $A B$ 边上，把 $△ A E F$ 沿直线 $E F$ 对折，点 $A$ 的对应点为点 $A ′$ ，当点 $A ′$ 落在菱形对角线上时，则 $A F =$ 。

查看试题解析
13. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 8$ ， $B C = 6$ ， CE是斜边AB上的中线，在直线AB上方作 $△ D E F ∼ △ A B C$ ， DE，FE分别与AC边交于点M，N，当 $△ E M N$ 与 $△ B E C$ 相似时，线段CN长度为．

查看试题解析
14. ㉿已知半径为 $r$ 的 $⊙ O$ 是矩形 $A B C D$ 的外接圆，点 $E$ 是弧 $A B$ 上的一点，分别延长 $B E$ ， $D A$ 交于点 $F$ ，其中 $A D = 3$ ．如图甲，当点 $E$ 是弧 $A B$ 的中点时， $A F =$ （用 $r$ 的代数式表示）；如图乙，当点 $E$ 是弧 $A C$ 的中点时，且 $S_{△ A E F} = 10$ ， $r$ 的值为．

查看试题解析

三、解答题（共6题，共75分）

15. 如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=20 cm，BC=15 cm，现有动点P从点A出发，沿线段AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动.如果点P的速度是4 cm/s，点Q的速度是 2 cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，两点都停止运动.设运动时间为t.

(1)、当t=3 s时，P，Q两点之间的距离是多少?

(2)、若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数解析式.

(3)、当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似?

查看试题解析
16. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 12 c m$ ， $B C = 8 c m$ .点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为 $2 c m / s$ ，点F的速度为 $4 c m / s$ ，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动.设移动开始后第1秒时， $△ E F G$ 的面积为 $S (c m^{2})$

(1)、当 $t = 1$ 秒时，S的值是多少？

(2)、写出S和t之间的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；

(3)、若点F在矩形的边 $B C$ 上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由.

查看试题解析
17. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，点Q在AB上，且AQ=2，过Q作QR⊥AB ，垂足为Q ， QR交折线AC﹣CB于R（如图1），当点Q以每秒2个单位向终点B移动时，点P同时从A出发，以每秒6个单位的速度沿AB﹣BC﹣CA移动，设移动时间为t秒（如图2）．

(1)、求△BCQ的面积S与t的函数关系式．

(2)、t为何值时，QP∥AC？

(3)、t为何值时，直线QR经过点P？

(4)、当点P在AB上运动时，以PQ为边在AB上方所作的正方形PQMN在Rt△ABC内部，求此时t的取值范围．

查看试题解析
18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 8$ ， $B C = 6$ ，点 $D$ 为边 $A B$ 的中点．动点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿折线 $A C - C B$ 以每秒2个单位长度的速度向点 $B$ 运动，当点 $P$ 不与点 $A$ 、 $B$ 重合时，连结 $P D$ ．作点 $A$ 关于直线 $P D$ 的对称点 $A^{'}$ ；连结 $A^{'} D$ 、 $A^{'} P$ 、 $A^{^{'}} A$ ，设点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒．

(1)、线段 $A D$ 的长为；

(2)、用含t的代数式表示线段 $C P$ 的长；

(3)、当点P在边 $A C$ 上运动时，求 $A^{'} D$ 与 $△ A B C$ 的一条直角边平行时 $t$ 的值；

(4)、当 $△ A D A^{'}$ 为锐角三角形时，直接写出t的取值范围．

查看试题解析
19. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 8$ ， $B C = 6 .$ 动点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $A B$ 以每秒 $5$ 个单位长度的速度向终点 $B$ 运动，当点 $P$ 不与点 $A$ 重合时，过点 $P$ 作 $P D ⊥ A C$ 于点 $D$ 、 $P E / / A C$ ，过点 $D$ 作 $D E / / A B$ ， $D E$ 与 $P E$ 交于点 $E .$ 设点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒．

(1)、线段 $A D$ 的长为； $($ 用含 $t$ 的代数式表示 $)$

(2)、当点 $E$ 落在 $B C$ 边上时，求 $t$ 的值；

(3)、当直线 $P E$ 将 $△ A B C$ 的面积分成 $1$ ： $3$ 的两部分时，求 $t$ 的值；

(4)、当点 $E$ 落在 $△ A B C$ 的角平分线上时，直接写出 $t$ 的值．

查看试题解析
20. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $A D = 2$ .点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿 $A B - B A$ 运动，到点A停止.在点P运动的同时，点Q从点A出发以每秒1个单位的速度沿 $A D - D C$ 运动.当点P回到点A停止时，点Q也随之停止运动.设点P的运动时间为t秒 $(t > 0)$ .

(1)、用含t的代数式表示线段 $A P$ 的长.

(2)、以 $P Q$ 为边作矩形 $P Q M N$ ，使点M与点A在 $P Q$ 所在直线的两侧，且 $P Q = 2 M Q$ .
①当点Q在边 $A D$ 上，且点M落在 $C D$ 上时，求t的值.
②当点M在矩形 $A B C D$ 内部时，直接写出t的取值范围.

(3)、点E在边 $A B$ 上，且 $A E = 2$ .在线段 $P Q$ 上只存在一点F，使 $∠ A F E = 90 °$ ，直接写出t的取值范围.

查看试题解析

2024年中考数学热点探究十六 相似图形中的分类讨论

一、选择题（每题3分，共27分）

二、填空题（每空3分，共18分）

三、解答题（共6题，共75分）

2024年中考数学热点探究十六相似图形中的分类讨论