2024年中考数学热点探究十五学具操作问题

试卷更新日期：2024-04-27 类型：二轮复习

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一、选择题（每题2分，共20分）

1. 一块三角板和一根直尺的位置如图所示，若 $∠ 1 = 110 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $20 °$ C、 $60 °$ D、 $70 °$

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2. 把量角器和含 $30 °$ 角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度 $2$ 处，短直角边过量角器外沿刻度 $120$ 处（即 $O C = 2 c m$ ， $∠ B O F = 120 °$ ）．则阴影部分的面积为（）

A、 $(2 \sqrt{3} - \frac{2}{3} π) c m^{2}$ B、 $(8 \sqrt{3} - \frac{2}{3} π) c m^{2}$ C、 $(8 \sqrt{3} - \frac{8}{3} π) c m^{2}$ D、 $(16 \sqrt{3} - \frac{8}{3} π) c m^{2}$

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3. 如图，在Rt $△$ ABC中，∠CAB＝36°，斜边AC与量角器的直径重合（A点的刻度为0），将射线BF绕着点B转动，与量角器的外圆弧交于点D，与AC交于点E，若 $△$ ABE是等腰三角形，则点D在量角器上对应的刻度为（）

A、72° B、144° C、36°或72° D、72°或144°

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4. 如图，将直尺、含 $60 °$ 的直角三角尺和量角器按如图摆放， $60 °$ 角的顶点A在直尺上读数为4，量角器与直尺的接触点B在直尺上的读数为7，量角器与直角三角尺的接触点为点C，则该量角器的直径是（）．

A、3 B、 $3 \sqrt{3}$ C、6 D、 $6 \sqrt{3}$

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5. 小明制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法如下：将刻度重新设计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的 $90 °$ 刻度线与三角板的底边平行 $.$ 将用细线和铅锤做成的重锤线顶端固定在量角器中心点 $O$ 处，现将三角板底边紧贴被测物体表面，如图所示，此时重锤线在量角器上对应的刻度为 $27 °$ ，那么被测物体表面的倾斜角 $α$ 为（）

A、 $63 °$ B、 $36 °$ C、 $27 °$ D、 $18 °$

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6. 如图，一个零刻度落在点A的量角器（半圆O），其直径为AB ，一等腰直角三角板MNB绕点B旋转，斜边BN交半圆O于点C ， BM交半圆O于点D ，点C在量角器上的读数为 $α$ .关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（）
结论Ⅰ： $\overset{⌢}{A C} + \overset{⌢}{B D} = \frac{1}{2} \overset{⌢}{A B}$ ；
结论Ⅱ：当边MN与半圆O相切于点E（点E在量角器上的读数为 $β$ ）时， $β - \frac{1}{2} α = 45$

A、只有结论Ⅰ对 B、只有结论Ⅱ对 C、结论Ⅰ、Ⅱ都对 D、结论Ⅰ、Ⅱ都不对

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7. 如图，是利用一把直尺和一块三角尺ABC摆放并移动后得到的图形，其中 $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ A_{1} C_{1} B_{1} = 30 °$ ， $A C = 8$ ，点A对应直尺的刻度为12，将该三角尺沿直尺边缘平移，使 $△ A B C$ 移动到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，点 $A_{1}$ 对应直尺的刻度为0，则点C到 $A_{1} C_{1}$ 的距离是（）

A、 $6 \sqrt{3}$ B、 $5 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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8. 将一副直角三角板和一把宽度为2的直尺按如图方式摆放：先把60°和45°角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上.这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则AB的长是（）

A、 $2 - \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3} - 2$ C、2 D、 $2 \sqrt{3}$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，直尺的一边与 $B C$ 重合，另一边分别交 $A B$ ， $A C$ 于点 $D$ ， $E .$ 点 $B$ ， $C$ ， $D$ 、 $E$ 处的读数分别为 $15$ ， $12$ ， $0$ ， $1$ ，若直尺宽 $B D = 1 c m$ ，则 $A D$ 的长为（）

A、 $\frac{1}{3} c m$ B、 $\frac{1}{2} c m$ C、 $1 c m$ D、 $\frac{3}{2} c m$

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10. 用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题（每题2分，共12分）

11. 如图，两个大小不同的量角器，小量角器由于长时间使用，某些刻度已经模糊不请，现将两个量角器的零刻度线放在同一直线上，使 $O_{2}$ 与C重合，如果弧 $A C$ 与弧 $B D$ 的公共点E在大量角器上对应的度数为 $130 °$ ，那么在小量角器上对应的度数为.

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12. 如图，量角器的零度刻度线为AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A，D，量得AD=10cm，点D在量角器上的读数为120°，则该直尺的宽度为cm．

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13. 如图，某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图，若 $P Q ∥ M N$ ，点Q ，点M在直尺上，且分别与直尺上的刻度1和3对齐，在数轴上点N表示的数是10，则点P表示的数是．

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14. 如图，将透明直尺叠放在正五边形之上，若正五边形有两个顶点在直尺的边上，且有一边与直尺的边垂直．则 $∠ α =$ °．

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15. 如图，将一把矩形直尺 $A B C D$ 和一块含 $30 °$ 角的三角板 $E F G$ 摆放在平面直角坐标系中， $A B$ 在 $x$ 轴上，点 $G$ 与点 $A$ 重合，点 $F$ 在 $A D$ 上，三角板的直角边 $E F$ 交 $B C$ 于点 $M$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象恰好经过点 $F$ ， $M .$ 若直尺的宽 $C D = 2$ ，三角板的斜边 $F G = 6 \sqrt{3}$ ，则 $k =$ ．

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16. 图1是某个零件横截面的示意图，已知AB＝CD，∠B＝∠C，为了求出BC的长度，小艺将一根直尺按图2，图3，图4的三种方式摆放，所测得的具体数据（单位：cm）如图所示，则直尺宽为 cm，BC为 cm．

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三、实践探究题（共10题，共88分）

17. 某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：

填写人：王朵综合实践活动报告时间：2023年4月20日

活动任务：测量古树高度

活动过程

【步骤一】设计测量方案

小组成员讨论后，画出如图(1)的测量草图，确定需测的几何量.

【步骤二】准备测量工具

自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示.准备皮尺.

【步骤三】实地测量并记录数据

如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点.

如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角 $α$ . $α =$ ▲ .

测出眼睛到地面的距离AB. $A B = 1.54 m .$

测出所站地方到古树底部的距离BD. $B D = 10 m .$

【步骤四】计算古树高度CD.(结果精确到0.1m)

(参考数据：sin40°=0.643，cos40°=0.766，tan40°=0.839)

请结合图①、图④和相关数据写出α的度数并完成【步骤四】.

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18. 【问题背景】
在一次数学实践活动中，张老师将班级学生分成“扶摇”、“惊鸿”、“骐骥”三个小组，运用直角三角尺测量三个不同直尺的宽度 $. ($ 直尺的每两个长刻度之间的长度是 $1 c m)$
【实践探究】

(1)、扶摇组同学用含 $45 °$ 的三角尺，提出按照图 $1$ 的方案，直尺与直角三角尺 $A B C$ 的边 $A C$ 重合，另一边分别交 $A B$ ， $B C$ 于点 $E$ ， $F .$ 点 $A$ ， $C$ ， $E$ ， $F$ 的读数分别为 $13$ ， $20$ ， $4.2$ ， $0$ ，则该直尺的宽度 $F C$ 的长为 $c m$ ；

(2)、惊鸿组同学用含 $45 °$ 的三角尺，提出按照图 $2$ 的方案，直尺与直角三角尺 $A B C$ 的斜边 $A B$ 重合，另一边分别交 $A C$ ， $B C$ 于点 $M$ ， $N .$ 点 $A$ ， $B$ ， $M$ ， $N$ 的读数分别为 $20$ ， $10$ ， $3$ ， $7$ ，求该直尺的宽度；

(3)、骐骥组同学用含 $30 °$ 的三角尺，提出按照图 $3$ 的方案，直尺与直角三角尺 $A B C$ 斜 $A B$ 平行，直分别交 $A C$ ， $B C$ 于点 $S$ ， $P$ ， $T$ ， $Q .$ 点 $S$ ， $T$ ， $P$ ， $Q$ 的读数分别为 $20$ ， $10$ ， $1.8$ ， $4.6$ ， $∠ B = 30 °$ ，直接写出该直尺的宽度 $. ($ 结果精确到 $0.1 c m) . � ($ 参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73)$

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19. 数学实验
生活中，常常遇到需要测量物体长度、角度的情况，小聪同学思考：是否有既能测量长度，又能测量角度的多功能直尺？
小聪想自己做这样一把尺子：如图1，小聪准备了两条宽度为3cm的矩形纸带，并在点C处用可以转动的纽扣固定．小聪借助直角三角板的特殊度数，比较容易的找到表示 90°，60°，45°，30°角的刻度位置．那么另外的度数怎样标出呢？小聪开始思考原理：

(1)、如图2，小聪将两条纸条叠合形成的四边形ABCD画出来，并分别作边DA ， BA的延长线AF ， AH ．小聪发现：①四边形ABCD是菱形；②∠FAH＝2∠ACD ．请证明这两个结论．

(2)、小聪发现，在（1）的基础上，表示 90°，60°，45°，30°角的刻度位置可以用三角形的边角关系表示出来，当∠FAH＝90°时，∠ACD＝45°，则有CE＝AE＝3cm ，因此表示 90°角的位置就可以通过计算找到．请利用小聪的思路，算出表示 60°角的位置与点C的距离（精确到0.01）．（参考数据： $\sqrt{2}$ ≈1.414， $\sqrt{3}$ ≈1.732， $\sqrt{5} \approx 2.236$ ）．

(3)、在以上思路启发下，小聪发现，在（1），（2）的基础上，对于任意位置的刻度的表示，只要完成三步任务：第一步，测量出直角△ACE 的直角边CE的长度m；第二步，计算出 $\frac{3}{m}$ 的值，这个值恰好是∠α 的正切值，即tanα＝ $\frac{3}{m}$ ；第三步，利用计算器算出α的值，并在尺子上标出刻度即可．做出的尺子如图3所示．
请根据以上思路，计算出图2中CE的长度分别为4，2，1时，表示的角的刻度是多少（精确到分）．
（参考数据：tan4°12'≈0.34，tan4°18'≈0.752，tan56°18'≈1.4994，tan56°24'≈1.5051，tan71°30'≈2.989，tan71°36'≈3.006）．

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20. 问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．直角三角板EDF中∠EDF＝90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE ， DF分别与边AB ， AC交于点M ， N ．

(1)、猜想证明：
如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；

(2)、问题解决：
如图②，在三角板旋转过程中，当∠B＝∠MDB时，求线段CN的长．

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21. 某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：

填写人：王朵综合实践活动报告时间：2023年4月20日

活动任务：测量古树高度

活动过程

【步骤一】设计测量方案

小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量．

【步骤二】准备测量工具

自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示准备皮尺．

【步骤三】实地测量并记录数据如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点．

如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角 $α$ ．

测出眼睛到地面的距离 $A B$ ．

测出所站地方到古树底部的距离 $B D$ ．

$α =$ ．

$A B = 1.54 m$ ．

$B D = 10 m$ ．

【步骤四】计算古树高度 $C D$ ．（结果精确到 $0.1 m$ ）

（参考数据： $s i n 40 ° = 0.643 ， c o s 40 ° = 0.766 ， t a n 40 ° = 0.839$ ）

请结合图①、图④和相关数据写出 $α$ 的度数并完成【步骤四】．

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22. 有一根长方形直尺宽为4cm，长为10cm，还有一块锐角为45°的直角三角板，它的斜边长为16cm，如图，将直尺的宽DE与直角三角板的斜边AB重合，且点D与点A重合，将直尺沿射线AB方向平移，设平移的长度为xcm，且直尺和三角板重叠部分的面积为Scm² ，

(1)、当直角顶点C落在直尺的长上时，x=cm；

(2)、当0＜x＜12时，求S与x之间的函数关系式；

(3)、是否存在一个位置，使重叠部分面积为28cm²？若存在直接写出x的值，若不存在，请说明理由。

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23. 某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．

(1)、如图2，在 $P$ 点观察所测物体最高点 $C$ ，当量角器零刻度线上 $A ， B$ 两点均在视线 $P C$ 上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为 $α$ ，设仰角为 $β$ ，请直接用含 $α$ 的代数式示 $β$ ．

(2)、如图3，为了测量广场上空气球 $A$ 离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点 $B ， C$ 分别测得气球 $A$ 的仰角 $∠ A B D$ 为 $37 °$ ， $∠ A C D$ 为 $45 °$ ，地面上点 $B ， C ， D$ 在同一水平直线上， $B C = 20 m$ ，求气球 $A$ 离地面的高度 $A D$ ．（参考数据： $s i n 37 ° \approx 0.60 ， c o s 37 ° \approx 0.80$ ， $t a n 37 ° \approx 0.75$ ）

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24. 如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上，AB=BC=6cm，OD=3cm，开始的时候BD=1cm，现在三角板以2cm/s的速度向右移动．

(1)、当B与O重合的时候，求三角板运动的时间；

(2)、如图2，当AC与半圆相切时，求AD；

(3)、如图3，当AB和DE重合时，求证： $C F^{2}$ =CG·CE．

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25. 应用与探究
【情境呈现】
在一次数学兴趣小组活动中，小明同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放，其中 $∠ A C B = ∠ D E B = 90 °$ ， $∠ A B C = ∠ D B E = 30 °$ ， $B D = A C = 4$ ．他把三角板 $A B C$ 固定好后，将三角板 $D E B$ 从图1所示的位置开始绕点 $B$ 按顺时针方向旋转，每秒转动 $5 °$ ，设转动时间为 $t$ 秒 $(0 < 1 \leq 30)$ ．

(1)、【问题应用】请直接写出图1中线段 $A D$ 的值；

(2)、如图2，在三角板 $D E B$ 旋转的过程中，连接 $A D$ ，当四边形 $A C B D$ 是矩形时，求 $t$ 值；

(3)、【问题探究】如图3，在三角板 $D E B$ 旋转的过程中，取 $A D$ 的中点 $G$ ，连接 $C G$ ， $C G$ 是否存在最大值？若存在，请求出 $C G$ 的最大值，并直接写出此时的 $t$ 值：若不存在，请说明理由．

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26. 综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动．

(1)、操作判断
操作一：将一副等腰直角三角板两斜边重合，按图1放置；
操作二：将三角板 $A C D$ 沿 $C A$ 方向平移（两三角板始终接触）至图2位置．
根据以上操作，填空：
①图1中四边形 $A B C D$ 的形状是；
②图2中 $A A^{'}$ 与 $C C^{'}$ 的数量关系是；四边形 $A B C^{'} D^{'}$ 的形状是．

(2)、迁移探究
小航将一副等腰直角三角板换成一副含 $30 °$ 角的直角三角板，继续探究，已知三角板 $A B$ 边长为 $6 c m$ ，过程如下：
将三角板 $A C D$ 按（1）中的方式操作，如图3，在平移过程中，四边形 $A B C^{'} D^{'}$ 的形状能否是菱形，若不能，请说明理由，若能，请求出 $C C^{'}$ 的长．

(3)、拓展应用
在（2）的探究过程中：

①当 $△ B C C^{'}$ 为等腰三角形时，请直接写出 $C C^{'}$ 的长；

②直接写出 $B C^{'} + B D^{'}$ 的最小值．

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2024年中考数学热点探究十五 学具操作问题

一、选择题（每题2分，共20分）

二、填空题（每题2分，共12分）

三、实践探究题（共10题，共88分）

2024年中考数学热点探究十五学具操作问题