2024年中考数学热点探究十四折叠问题

试卷更新日期：2024-04-27 类型：二轮复习

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，若AB＝6，BC＝10，则tan∠EAF的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{9}{20}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{3}$

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2. 如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F.若DG＝GE，AF＝3，BF＝2，△ADG的面积为2，则点F到BC的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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3. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $M$ 为 $A B$ 的中点，将 $△ A D M$ 沿 $D M$ 所在直线翻折压平，得到 $△ A^{^{'}} D M$ ，延长 $D A^{'}$ 与 $B C$ 交于点 $N$ ，若 $B N = 2 C N$ ， $A B = 2 \sqrt{6}$ ，则四边形 $A^{'} M B N$ 的面积为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{6}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{6}$

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4. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 一条弦，将劣弧沿弦 $A B$ 翻折，连结 $A O$ 并延长交翻折后的弧于点 $C$ ，连结 $B C$ ，若 $A B = 2 ， B C = 1$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、 $\frac{2}{3} \sqrt{5}$ B、 $\frac{3}{4} \sqrt{5}$ C、 $\frac{3}{5} \sqrt{5}$ D、 $\frac{5}{7} \sqrt{5}$

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5. 如图，矩形纸片 $A B C D ， A B = a ， B C = b$ ，满足 $\frac{1}{2} b < a < b$ ，将此矩形纸片按下面顺序折叠，则图4中 $M N$ 的长为（用含 $a ， b$ 的代数式表示）（）

A、 $2 b - a$ B、 $2 b - 2 a$ C、 $\frac{3}{2} b + a$ D、 $\frac{1}{2} b + a$

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6. 意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，图2是将图1沿直线 $F D$ 剪开，将右半部分上下翻转得到的图形，其中四边形 $A F E G$ ，四边形 $C D B G$ 与四边形 $A^{'} E^{'} B^{'} C^{'}$ 均为正方形，若图1中空白部分面积为37，线段 $A B$ 的长为7，则图2中两个直角三角形的面积和为（）

A、6 B、12 C、15 D、25

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7. 如图，将正方形纸片 $A B C D$ 的 $∠ B$ 和 $∠ D$ 进行折叠，使两个直角的顶点重合于对角线 $B D$ 上的点P处、 $E F ， G H$ 分别是折痕，若点P沿 $B D$ 从点B向点D移动，则阴影部分的周长（）

A、先变大，后变小 B、先变小，后变大 C、当占P在 $B D$ 中点处时，阴影部分周长最大 D、保持不变

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8. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，将 $\overset{⌢}{B C}$ 沿 $B C$ 翻折，翻折后的弧交 $A B$ 于D．若 $B C = 4 \sqrt{5}$ ， $s i n ∠ A B C = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{25}{6} π - 2$ B、 $\frac{25}{3} π - 2$ C、8 D、10

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9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $A B C D$ 的边 $A D = 5$ ． $O A : O D = 1 : 4$ ，将矩形 $A B C D$ 沿直线 $O E$ 折叠到如图所示的位置，线段 $O D_{1}$ 恰好经过点 $B$ ，点 $C$ 落在 $y$ 轴的点 $C_{1}$ 位置，点 $E$ 的坐标是 $($ 　　 $)$

A、 $(1, 2)$ B、 $(- 1, 2)$ C、 $(\sqrt{5} - 1$ ， $2)$ D、 $(1 - \sqrt{5}$ ， $2)$

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10. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为4，点 $E$ 是 $A B$ 边上的一点，将 $△ B C E$ 沿着 $C E$ 折叠至 $△ F C E$ ，若 $C F$ 、 $C E$ 恰好与正方形 $A B C D$ 的中心为圆心的 $⊙ O$ 相切，则折痕 $C E$ 的长为（）

A、 $5 \sqrt{3}$ B、5 C、 $\frac{8}{3} \sqrt{3}$ D、以上都不对

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二、填空题（每题3分，共15分）

11. 在△ABC中， $∠ A C B = 90 °, B C = 2 c m$ ， $A C = 2 \sqrt{3} c m$ ，点D是 $A B$ 边上一动点，将△ACD沿直线 $C D$ 翻折，使点A落在点E处，连接 $C E$ 交 $A B$ 于点F（所给图形仅仅是示意图）．当△DEF是直角三角形时， $A D =$ ．

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12. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 5$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别在 $D C$ 、 $B C$ 上，连接 $A E$ 、 $A F$ ，将矩形沿 $A E$ 折叠，使点 $D$ 落在 $B C$ 边上的点 $G$ 处，沿 $A F$ 折叠，使点 $B$ 落在 $A G$ 上的点 $H$ 处，延长 $F H$ 交 $A E$ 于点 $K$ ，连接 $K G$ ，则 $△ F K G$ 的面积为．

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13. 如图，在菱形ABCD中，点 $E$ 在BC上，将 $△ A B E$ 沿AE折叠得到 $△ A G E$ ，点 $G$ 在BC的延长线上，AG与CD相交于点 $F$ .若 $\frac{A F}{F G} = 3$ ，则 $t a n B$ 的值为.

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14. 如图，在 $R t △ A B C$ 中，D为斜边 $A C$ 的中点，点E在边 $A B$ 上，将 $△ B C E$ 沿 $C E$ 叠至 $△ F C E$ ．若 $E F$ 的延长线经过点D ， $C F$ 平分 $∠ A C B$ ， $B E = 1$ ，则 $\frac{D E}{A E}$ 的值为， $A B$ 的长为．

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15. 如图，在矩形ABCD中， AB=3， AD=4，点P 是边AD上的一个动点(点P不与点A， D重合)，将△BAP沿BP折叠，使点A落在点A'的位置，连接AA'， DA'，若AA' = DA'，则AP 的长为．

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三、解答题（共5题，共40分）

16. 我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果 $\frac{B C}{A B} = \frac{A B}{A C}$ ，那么称点B为线段AC的黄金分割点.它们的比值为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ .
图①图② 图③

(1)、在图①中，若 $A C = 20 c m$ ，则AB的长为cm；

(2)、如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF ，连接CE ，将CB折叠到CE上，点B的对应点H ，得折痕CG.试说明：G是AB的黄金分割点；

(3)、如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（ $A E > D E$ ），连接BE ，作 $C F ⊥ B E$ ，交AB于点F ，延长EF ， CB交于点P.他发现当PB与BC满足某种关系时，E ， F恰好分别是AD ， AB的黄金分割点.请猜想小明的发现，并说明理由.

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17. 如图， $C D$ 为 $△ A B C$ 的中线，以 $C D$ 为直角边在其右侧作直角 $△ C D E$ ， $C D 丄 D E$ ， $B C$ 与 $D E$ 交于点F ， $∠ C E D = 30 °$ ．

(1)、如图1，若 $C F = E F = 5$ ，求 $C D$ 的长；

(2)、如图2，若将 $B C$ 绕点C逆时针旋转 $120 °$ 得到 $C G$ ，连接 $A G$ 、 $A E$ ，探究 $A G$ 、 $A E$ 的数量关系，并说明理由；

(3)、如图3，若 $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ，直线 $C E$ 上有一点M ，连接 $M F$ ，将 $△ C F M$ 沿着 $M F$ 翻折到 $△ A B C$ 所在的平面内得到 $△ N F M$ ，取 $N F$ 的中点P ，连接 $A P$ ，当 $A P$ 最小时，请直接写出 $△ A P B$ 的面积．

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18. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $D$ 为平面内的一点．
图1 图2 图3

(1)、如图1，当点 $D$ 在边 $B C$ 上时， $B D = 2$ ，且 $∠ B A D = 30 °$ ，求 $A D$ 的长；

(2)、如图2，当点 $D$ 在 $△ A B C$ 的外部，且满足 $∠ B D C = 45 ° + ∠ A D C$ ，求证： $B D = \sqrt{2} A D$ ；

(3)、如图3， $A B = 6$ ，当 $D$ 、 $E$ 分别为 $A B$ 、 $A C$ 的中点时，把 $△ D A E$ 绕点 $A$ 顺时针旋转，设旋转角为 $α (0 < α < 180 °)$ ，直线 $B D$ 与 $C E$ 的交点为 $P$ ，连接 $P A$ ，直接写出旋转中 $△ P A B$ 面积的最大值．

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19. 定义：对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的四边形，则这样的四边形称为镶嵌四边形．

(1)、如图1，将 $△ A B C$ 纸片沿中位线 $E H$ 折叠，使点 $A$ 落在 $B C$ 边上的 $D$ 处，再将纸片分别沿 $E F$ ， $H G$ 折叠，使点 $B$ 和点 $C$ 都与点 $D$ 重合，得到双层四边形 $E F G H$ ，则双层四边形 $E F G H$ 为形．

(2)、 $▱ A B C D$ 纸片按图2的方式折叠，折成双层四边形 $E F G H$ 为矩形，若 $E F = 5$ ， $E H = 12$ ，求 $A D$ 的长．

(3)、如图3，四边形 $A B C D$ 纸片满足 $A D ∥ B C$ ， $A D < B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 8$ ， $C D = 10$ ．把该纸片折叠，得到双层四边形为正方形．请你画出一种折叠的示意图，并直接写出此时 $B C$ 的长．

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20. 在 $△ A B C$ 中，D为AB边上一点，过点D作 $D E ∥ B C$ 交AC于点E ，以DE为折线，将 $△ A D E$ 翻折，设所得的 $△ A' D E$ 与梯形DBCE重叠部分的面积为y.
图1图2 图3

(1)、如图1，若 $∠ C = 90 °$ ， $A B = 10$ ， $B C = 6$ ， $\frac{A D}{A B} = \frac{1}{3}$ ，则y的值为；

(2)、如图2，若 $A B = A C = 10$ ， $B C = 12$ ， D为AB中点，则y的值为；

(3)、若 $∠ B = 30 °$ ， $A B = 10$ ， $B C = 12$ ，设 $A D = x$ .
①求y与x的函数解析式；
②y是否有最大值，若有，求出y的最大值；若没有，请说明理由.

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四、实践探究题（共4题，共35分）

21. 综合与实践：
问题背景：数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为 $36 °$ 的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．
探究发现：如图1，在 $Δ A B C$ 中， $∠ A = 36 °$ ， $A B = A C = 2$ ．

(1)、操作发现：将 $Δ A B C$ 折叠，使边 $B C$ 落在边 $B A$ 上，点 $C$ 的对应点是点 $E$ ，折痕交 $A C$ 于点 $D$ ，连接 $D E$ ， $D B$ ，
① $∠ A B C =$ $°$ ；
②设 $B C = x$ ，则 $C D =$ （用含 $x$ 的式子表示）；

(2)、进一步探究发现： $\frac{底 B C}{腰 A C} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，这个比值被称为黄金比．请你在（1）的条件下，证明： $\frac{底 B C}{腰 A C} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ．

(3)、拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．
如图1中的 $Δ A B C$ 是黄金三角形．
如图2，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 72 °$ ， $A B = 2$ ，求菱形较长对角线的长.

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22. 折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．
【操作】如图1，在矩形 $A B C D$ 中，点M在边 $A D$ 上，将矩形纸片 $A B C D$ 沿 $M C$ 所在的直线折叠，使点D落在点 $D^{'}$ 处， $M D^{'}$ 与 $B C$ 交于点N ．
【猜想】 $】 M N = C N$

(1)、【验证】请将下列证明过程补充完整：
∵矩形纸片 $A B C D$ 沿 $M C$ 所在的直线折叠
∴ $∠ C M D =$
∵四边形 $A B C D$ 是矩形
∴ $A D ∥ B C$ （矩形的对边平行）
∴ $∠ C M D =$ （）
∴ $=$ （等量代换）
∴ $M N = C N$ （）

(2)、【应用】
如图2，继续将矩形纸片 $A B C D$ 折叠，使 $A M$ 恰好落在直线 $M D^{'}$ 上，点A落在点 $A^{'}$ 处，点B落在点 $B^{'}$ 处，折痕为 $M E$ ．
⑴猜想 $M N$ 与 $E C$ 的数量关系，并说明理由；
⑵若 $C D = 2$ ， $M D = 4$ ，求 $E C$ 的长．

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23.

(1)、【探究发现】如图①所示，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A D$ 边上一点，将 $△ A E B$ 沿 $B E$ 翻折到 $△ B E F$ 处，延长 $E F$ 交 $C D$ 边于 $G$ 点．求证： $△ B F G ≌ △ B C G$

(2)、【类比迁移】如图②，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A D$ 边上一点，且 $A D = 8 ， A B = 6 ，$ 将 $△ A E B$ 沿 $B E$ 翻折到 $△ B E F$ 处，延长 $E F$ 交 $B C$ 边于点 $G ，$ 延长 $B F$ 交 $C D$ 边于点 $H ，$ 且 $F H = C H ，$ 求 $A E$ 的长．

(3)、【拓展应用】如图③，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $E$ 为 $C D$ 边上的三等分点， $∠ D = 60 ° ，$ 将 $△ A D E$ 沿 $A E$ 翻折得到 $△ A F E$ ，直线 $E F$ 交 $B C$ 于点 $P ，$ 求 $C P$ 的长．

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24. 综合与实践

(1)、【操作发现】如图1，诸葛小组将正方形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，折痕为AE ，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF ，求∠EAF的正切值；

(2)、【拓展探究】如图2，孔明小组继续将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点恰好落在折痕AE上的点N处，连接NF交AM于点P ，若 $A B = \sqrt{3}$ ，求线段PM的长；

(3)、【迁移应用】如图3，在矩形ABCD中，点E ， F分别在边BC ， CD上，将矩形ABCD沿AE ， AF折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A ， M ， G恰好在同一直线上，若点F为CD的三等分点，AB＝3，AD＝5，请求出线段BE的长．

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2024年中考数学热点探究十四 折叠问题

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共15分）

三、解答题（共5题，共40分）

四、实践探究题（共4题，共35分）

2024年中考数学热点探究十四折叠问题