2024年中考数学热点探究十一 与圆有关的辅助线

试卷更新日期：2024-04-27 类型：二轮复习

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一、选择题（每题3分，共30分）

  • 1. 如图，AB、BC为⊙O的两条弦，连接OA、OC，点D为AB的延长线上一点，若∠CBD=62° ， 则∠AOC的度数为（       ）

     

    A、100° B、118° C、124° D、130°

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  • 2. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°，若AD=2，则AB的长为（ ）

    A、3 B、2 C、2 3 D、4

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  • 3. 如图，AB为⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上，且AD⌢=CD⌢ ， ∠E＝70°，则∠ABC的度数为（  ）

    A、30° B、40° C、35° D、50°

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  • 4. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O ， P为AB⌢上的一点（点P不与点A ， B重合），则∠CPE的度数为（    ）

    A、45° B、55° C、60° D、65°

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  • 5. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，AB的延长线交直线CD于点E ， 连接AC ， BC.若∠ACD=60° ， AC=3 ， 则BE的长度是（ ）

    A、3 B、32 C、23−2 D、334

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  • 6. 如图，AB是⊙O的直径，DB ， DE分别切⊙O于点B、C ， 若∠ACE=18° ， 则∠D的度数是（ ）

    A、18° B、36° C、48° D、72°

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  • 7. 如图，⊙O半径长2cm ， 点A、B、C是⊙O三等分点，点D为圆上一点，连接AD ， 且AD=22cm ， CD交AB于点E ， 则∠BED=()

    A、75° B、65° C、60° D、55°

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  • 8. 如图，在△ABC中，AB+AC＝53BC，AD⊥BC于D，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则Rh的值为（ ）

    A、38 B、27 C、13 D、12

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  • 9. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，则CD的长度是（   ）

    A、9.6 B、4 5 C、5 3 D、10

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  • 10. 如图，点P1~P8是⊙O的八等分点．若△P1P3P7 ， 四边形P3P4P6P7的周长分别为a，b，则下列正确的是（ ）

    A、a<b B、a=b C、a>b D、a，b大小无法比较

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二、填空题（每题4分，共20分）

  • 11. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为 ．

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  • 12. 如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4．过点B作BE⊥AC于点E ， 点P为线段BE上一动点（点P不与B ， E重合），则CP+12BP的最小值为 ．

      

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  • 13. 如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD．若∠B=50°，则∠OCD的度数等于 ．

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  • 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A ， B ， C的坐标分别为(−1,0) ， (0,−1) ， (2,0) ， 点E是三角形ABC的外接圆P上一点，BE交线段AC于点D ， 若∠DBC=45° ， 则点D的坐标为.

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  • 15. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是边BC，CA上的点，且BD=CE，连结AD，BE交于点P．连接CP，若CP⊥AP时，则AE：CE= ；设△ABC的面积为S1 ， 四边形CDPE的面积为S2 ， 则 S2S1＝ ．

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三、解答题（共5题，共42分）

  • 16. 如图，C ， D是⊙O上的两点，AB是⊙O的直径，过点C的切线交DA的延长线于点E ， DE⊥CE ， 连接BC ， CD ， OC ．

    (1)、求证∶∠DAB=2∠ABC；
    (2)、若tan∠ADC=12 ， BC=4 ， 求⊙O的半径；
    (3)、在（2）的条件下，求出△BOC的面积．

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  • 17.  如图，AB是⊙O的直径，AC是上半圆的弦，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E ， 且AD⊥DE于D ， 与⊙O交于点F ．

    (1)、判断AC是否是∠DAE的平分线？并说明理由；
    (2)、连接OF与AC交于点G ， 当AG＝GC＝k时，求切线CE的长．

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  • 18. 如图，在⊙O中，AB是弦，过点O作OA⊥OC与AB交于点C ， 在OC的延长线取点D ， 使DC＝DB ．

    (1)、求证：BD是⊙O的切线；
    (2)、若BC＝4，sin∠OAC=14 ， 求⊙O的半径长．

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  • 19. 如图， ⊙O 与等边 △ABC 的边 AC ， AB 分别交于点 D ， E ， AE 是直径，过点 D 作 DF⊥BC 于点 F ．

    (1)、求证： DF 是 ⊙O 的切线；
    (2)、连接 EF ，当 EF 是 ⊙O 的切线时，求 ⊙O 的半径 r 与等边 △ABC 的边长 a 之间的数量关系．

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  • 20. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E ， 点F在AB上，连结DF并延长交⊙O与点G ， 连结BG ， CG ， CG=FG ．

    (1)、如图1，求证：△BCG≌△BFG；
    (2)、如图2，BG与CD交于点N ， 过点F作BG的平行线交CD于点M ， 若NE=a ， 求DM ． （用含a的代数式表示）
    (3)、如图3，在（2）的条件下，连结GE ， 若△EFG与△DFM的面积相等，求cos∠ABC的值．

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四、实践探究题（共3题，共28分）

  • 21. 【概念呈现】在钝角三角形中，钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90度的和，则称这个钝角三角形为和美三角形，这个锐角叫做和美角.

    (1)、【概念理解】当和美三角形是等腰三角形时，求和美角的度数. 
    (2)、【性质探究】如图1，△ABC是和美三角形，∠B是钝角，∠A是和美角，

    求证：tanA=BCAC.

    (3)、【拓展应用】如图2，AB是⊙O的直径，且AB=13，点C，D是圆上的两点，弦CD与AB交于点E，连接AD，BD，△ACE是和美三角形.

    ①当BC=5时，求AD的长.

    ②当△BCD是和美三角形时，直接写出CEED的值.

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  • 22. 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究。

    如图1，等腰△ABC中，AB=AC ， 以AC为直径的⊙O与AB所在直线、BC分别交于点D、E,EF⊥AB于点F ．

    (1)、【初步感知】求证：EF为⊙O的切线；
    (2)、【深入研究】当∠BAC<90°时，若BF=2,EF=4 ， 求AD的长。
    (3)、【拓展延伸】如图2，当∠BAC>90°时，若AF=2,EF=4 ， 求AD的长。

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  • 23.  定义：当点P在射线OA上时，把OPOA的值叫做点P在射线OA上的射影值；当点P不在射线OA上时，把射线OA上与点P最近点的射影值，叫做点P在射线OA上的射影值．

    例如：如图1，△OAB三个顶点均在格点上，BP是OA边上的高，则点P和点B在射线OA上的射影值均为OPOA=13 ．

    (1)、在△OAB中，

    ①点B在射线OA上的射影值小于1时，则△OAB是锐角三角形；

    ②点B在射线OA上的射影值等于1时，则△OAB是直角三角形；

    ③点B在射线OA上的射影值大于1时，则△OAB是钝角三角形．

    其中真命题有     ▲     ．

    A ． ①②B ． ①③C ． ②③D ． ①②③

    (2)、已知：点C是射线OA上一点，CA＝OA＝1，以〇为圆心，OA为半径画圆，点B是⊙O上任意点．

    ①如图2，若点B在射线OA上的射影值为12 ． 求证：直线BC是⊙O的切线；

    ②如图3，已知D为线段BC的中点，设点D在射线OA上的射影值为x ， 点D在射线OB上的射影值为y ， 直接写出y与x之间的函数关系式为                  ．

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