2024年中考数学热点探究十一与三角形、四边形有关的辅助线

试卷更新日期：2024-04-27 类型：二轮复习

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一、选择题（每题3分，共24分）

1. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，点P是边 $C D$ 上的动点，点Q是边 $B C$ 上的定点，连接 $A P ， P Q$ ， $E ， F$ 分别是 $A P ， P Q$ 的中点，连接 $E F$ .点P在由C到D运动过程中，线段EF的长度（）

A、保持不变 B、逐渐变小 C、先变大，再变小 D、逐渐变大

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2. 如图， $⊙ O$ 半径长 $2 c m$ ，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 是 $⊙ O$ 三等分点，点 $D$ 为圆上一点，连接 $A D$ ，且 $A D = 2 \sqrt{2} c m$ ， $C D$ 交 $A B$ 于点 $E$ ，则 $∠ B E D = ($ $)$

A、 $75 °$ B、 $65 °$ C、 $60 °$ D、 $55 °$

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3. 如图，矩形 $A B C D$ 是由4块矩形拼接而成，矩形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 是由4个直角三角形和一个平行四边形拼接而成.则（）

A、 $a c + b d = a d + b c$ B、 $a^{2} + d^{2} = b^{2} + c^{2}$ C、 ${(a c + b d)}^{2} ⩾ (a^{2} + d^{2}) (b^{2} + c^{2})$ D、 ${(a c + b d)}^{2} ⩽ (a^{2} + d^{2}) (b^{2} + c^{2})$

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4. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在 $A D$ ， $B C$ 上，且保持 $A E = C F$ ，在 $C D$ 上取一点 $G$ ，连结 $G F$ ，使 $E F$ 恰好平分 $∠ B F G$ ，连结 $E G$ ．若要求正方形 $A B C D$ 的面积，则只需要知道 $($ $)$

A、 $Δ E F G$ 的面积 B、 $Δ E D G$ 的面积 C、 $Δ C F G$ 的周长 D、 $Δ E D G$ 的周长

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5. 如图，在矩形ABCD中， $A D = 3 A B = 3 \sqrt{10}$ ，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN 是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN的值为（）

A、6或2 B、3或 $\frac{15}{8}$ C、2或3 D、6或 $\frac{15}{8}$

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6. 将四个全等的三角形按如图所示的方式围成一个正方形 $A B C D$ ，记 $△ A E D$ 的面积为 $S_{1}$ ，四边形 $E F C G$ 的面积为 $S_{2}$ .若 $E G ∥ C F$ ， $E G = 3$ ， $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{1}{6}$ ，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{9}{2}$

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7. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $Δ B P C$ 是等边三角形， $B P$ ， $C P$ 的延长线分别交 $A D$ 于点 $E$ ， $F$ ，连接 $B D$ ， $D P$ ； $B D$ 与 $C F$ 相交于点 $H$ ．给出下列结论：① $A E = \frac{1}{2} F C$ ；② $∠ P D E = 15 °$ ；③ $\frac{S_{Δ P B C}}{S_{Δ P C D}} = \sqrt{3}$ ；④ $\frac{S_{Δ D H C}}{S_{Δ B H C}} = \frac{1}{2}$ ；⑤ $D E^{2} = P F \cdot F C$ ．其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E ，在BC上取点F ，使得CF＝CE ，连结AF交CD于点G ，连结AD ．若CG＝GF ，则 $\frac{B C^{2}}{A D^{2}}$ 的值等于（）

A、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} + 3}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

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二、填空题（每题4分，共20分）

9. 如图， $⊙ O$ 是等边三角形 $A B C$ 的外接圆，其半径为4．过点B作 $B E ⊥ A C$ 于点E ，点P为线段 $B E$ 上一动点（点P不与B ， E重合），则 $C P + \frac{1}{2} B P$ 的最小值为．

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10. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 135 °$ ， $A D = 4 \sqrt{2}$ ， $A B = 8$ ，作对角线 $A C$ 的垂直平分线 $E F$ ，分别交对边 $A B$ 、 $C D$ 于点 $E$ 和点 $F$ ，则 $A E$ 的长为．

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11. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $A B = 12$ ， $A D$ 平分 $∠ C A B$ ，点F是 $A C$ 的中点，点E是 $A D$ 上的动点，则 $C E + E F$ 的最小值为．

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12. 如图，点E是边长为8的正方形ABCD的边AD上一动点(端点A ， D除外)，以CE为边作正方形CEFG ， EF与AB交于点H ，连接BE ， BF ， BG ．下列四个结论：①BG＝DE；②∠FAB＝∠FEB；③当点E为AD中点时，H也是EF的中点；④当点E在AD边上运动时，AH有最大值为2．其中正确的结论是(填序号)．

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13. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是边BC，CA上的点，且BD=CE，连结AD，BE交于点P．连接CP，若CP⊥AP时，则AE：CE= ；设△ABC的面积为S₁ ，四边形CDPE的面积为S₂ ，则 $\frac{S_{2}}{S_{1}}$ ＝．

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三、解答题（共4题，共36分）

14. 如图，在平行四边形ABCD中， E为DC边的中点，连接AE，若AE的延长线和BC的延长线相交于 F．

(1)、求证： AD=FC；

(2)、连接BE，若△AEB的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．

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15. 如图1，已知四边形 $A B C D$ 四条边上的中点分别为 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 、依次连接 $E F$ 、 $F G$ 、 $G H$ 、 $H E$ 、得到四边形 $E F G H$ ．

(1)、求证：四边形 $E F G H$ 为平行四边形；

(2)、连接 $A C$ 与 $B D$ ，当 $A C$ 与 $B D$ 满足什么条件时，四边形 $E F G H$ 是矩形？

(3)、如图2，若四边形 $A B C D$ 是菱形，则四边形 $E F G H$ 是什么图形，请说明理由．

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16. 如图，在一个正六边形 $A B C D E F$ 中，点 $O$ 是该正六边形的中心，将该六边形的每条边延长，延长线的交点分别为 $G$ 、 $H$ 、 $I$ 、 $J$ 、 $K$ 、 $L$ ．

(1)、证明四边形 $O B G A$ 是菱形；

(2)、若 $A B$ 的长为6，请计算正六边形 $A B C D E F$ 的面积．

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17. 如图，在 $Δ A B D$ 中， $A B = A D$ ， $∠ B A D = α$ ．点 $C$ 是 $B D$ 延长线上一动点，连接 $A C$ ，将 $A C$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $α$ 得到 $A E$ ，连接 $D E$ 交 $A C$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $∠ C = ∠ E$ ；

(2)、如图1，若 $D E / / A B$ ， $D F = 2$ ， $F E = 7$ ，求 $B D$ 的大小；

(3)、如图2，若点 $F$ 为 $A C$ 中点， $\frac{S_{Δ A D F}}{S_{Δ A B C}} = \frac{1}{n + 2}$ ， $C D = 4$ ，求 $A B$ 的长（用含 $n$ 的代数式表示）．

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四、实践探究题（共4题，共40分）

18. 如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3 $\sqrt{2}$ ，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．

(1)、求证：矩形DEFG是正方形；

(2)、探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

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19. “转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图形全等或者相似建立数量关系是处理问题的重要手段.

(1)、【问题情景】：如图（1），正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是线段 $B C$ 上一点（不与点 $B$ 、 $C$ 重合），连接 $E A$ .将 $E A$ 绕点 $E$ 顺时针旋转90°得到 $E F$ ，连接 $C F$ ，求 $∠ F C D$ 的度数.
以下是两名同学通过不同的方法构造全等三角形来解决问题的思路，
①小聪：过点 $F$ 作 $B C$ 的延长线的垂线；
②小明：在 $A B$ 上截取 $B M$ ，使得 $B M = B E$ ；
请你选择其中一名同学的解题思路，写出完整的解答过程.

(2)、【类比探究】：如图（2）点 $E$ 是菱形 $A B C D$ 边 $B C$ 上一点（不与点 $B$ 、 $C$ 重合）， $∠ A B C = α$ ，将 $E A$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $α$ 得到 $E F$ ，使得 $∠ A E F = ∠ A B C = α$ （ $a \geq 90 °$ ），则 $∠ F C D$ 的度数为（用含 $α$ 的代数式表示）

(3)、【学以致用】：如图（3），在（2）的条件下，连结 $A F$ ，与 $C D$ 相交于点 $G$ ，当 $α = 120 °$ 时，若 $\frac{D G}{C G} = \frac{1}{2}$ ，求 $\frac{B E}{C E}$ 的值.

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20. 综合与实践
在△ABC中，AB=AC，D为边BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B.

(1)、如图1，当射线DN经过点A时，DM交边AC于点E，不添加辅助线，则图①中与△ADE相似的三角形有.(填序号)
①△ABD ②△ADC ③△ABC④△DCE

(2)、如图2，将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于点E，F(点E与点A不重合)，求证：△BDF∽△DEF

(3)、在图2中，若AB=AC=5，BC=6，当△DEF的面积等于△ABC的面积 $\frac{1}{4}$ 时，求线段EF的长.

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21. 我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形.

(1)、如图1， $△ A B C$ 是等边三角形，在 $B C$ 上任取一点D（B、C除外），连接 $A D$ ，我们把 $△ A B D$ 绕点A逆时针旋转60°，则 $A B$ 与 $A C$ 重合，点D的对应点E.请根据给出的定义判断，四边形 $A D C E$ （选择是或不是）等补四边形.

(2)、如图2，等补四边形 $A B C D$ 中， $A B = B C$ ， $∠ A B C = ∠ A D C = 90 °$ ，若 ${S_{四边形}}_{A B C D} = 8$ ，求 $B D$ 的长.

(3)、如图3，四边形 $A B C D$ 中， $A B = B C$ ， $∠ A + ∠ C = 180 °$ ， $B D = 4$ ，求四边形 $A B C D$ 面积的最大值.

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2024年中考数学热点探究十一 与三角形、四边形有关的辅助线

一、选择题（每题3分，共24分）

二、填空题（每题4分，共20分）

三、解答题（共4题，共36分）

四、实践探究题（共4题，共40分）

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