2024年中考数学热点探究十四边形综合性问题

试卷更新日期：2024-04-27 类型：二轮复习

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（9，0），点C的坐标为（0，3），以OA ，OC为边作矩形0ABC.动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA，BC向终点A，C移动.当移动时间为4秒时，AC·EF的值为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $9 \sqrt{10}$ C、15 D、30

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2. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $2 c m$ ，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按 $A \to D \to C$ ， $A \to B \to C$ 的方向，都以 $1 c m / s$ 的速度运动，到达点C运动终止，连接 $P Q$ ，设运动时间为xs， $Δ A P Q$ 的面积为 $y c m^{2}$ ，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图1，在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 120 °$ ，已知点 $P$ 在边 $A B$ 上，以1m/s的速度从点 $A$ 向点 $B$ 运动，点 $Q$ 在边 $B C$ 上，以 $\sqrt{3} m / s$ 的速度从点 $B$ 向点 $C$ 运动．若点 $P$ ， $Q$ 同时出发，当点 $P$ 到达点 $B$ 时，点 $Q$ 恰好到达点 $C$ 处，此时两点都停止运动．图2是 $△ B P Q$ 的面积 $y (m^{2})$ 与点 $P$ 的运动时间 $t (s)$ 之间的函数关系图象（点 $M$ 为图象的最高点），则平行四边形 $A B C D$ 的面积为（）

A、 $12 m^{2}$ B、 $12 \sqrt{3} m^{2}$ C、 $24 m^{2}$ D、 $24 \sqrt{3} m^{2}$

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4. 如图，直角三角形 $B E F$ 顶点 $F$ 在矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 上运动，连接 $A E$ ． $∠ E B F = ∠ A C D$ ， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，则 $A E$ 的最小值为（）．

A、 $\frac{54}{25}$ B、 $\frac{12}{5}$ C、 $\frac{14}{5}$ D、 $\frac{72}{25}$

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5. 如图，正方形 $A B C D$ ，点 $F$ 在边 $A B$ 上，且 $A F : F B = 1 : 2$ ， $C E ⊥ D F$ ，垂足为 $M$ ，且交 $A D$ 于点 $E$ ， $A C$ 与 $D F$ 交于点 $N$ ，延长 $C B$ 至 $G$ ，使 $B G = \frac{1}{2} B C$ ，连接 $G M$ ，有如下结论： $①$ $D E = A F$ ； $②$ $A N = \frac{\sqrt{2}}{4} A B$ ； $③$ $∠ A D F = ∠ G M F$ ； $④$ $S_{△ A N F} : S_{四边形 C N F B} = 1 : 8$ ．上述结论中，正确的个数是（）

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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6. 如图，已知：在直角坐标系中，有菱形 $O A B C$ ， $A$ 点的坐标为 $(10 ， 0)$ ，对角线 $O B$ 、 $A C$ 相交于 $D$ 点，双曲线 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 经过 $D$ 点，交 $B C$ 的延长线于 $E$ 点，且 $O B \cdot A C = 160$ ，有下列四个结论：
①双曲线的解析式为 $y = \frac{40}{x} (x > 0)$ ；② $E$ 点的坐标是 $(5 ， 8)$ ；③ $s i n ∠ C O A = \frac{4}{5}$ ；④ $A C + O B = 12 \sqrt{5}$ ．其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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7. 如图，点O为正方形ABCD对角线BD的中点，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC＝EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下五个结论中①OH＝ $\frac{1}{2}$ BF；②∠CHF＝60°；③BC＝（2+ $\sqrt{2}$ ）GH；④HF²＝HE•HB，正确结论有（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，连接DF，分别交AE，AC于点G，M．P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM．有下列四个结论：
①AE垂直平分DM；②PM＋PN的最小值为3 $\sqrt{2}$ ；③CF²＝GE•AE；④S_△_ADM＝6 $\sqrt{2}$ ．
其中正确的是（　　）

A、①② B、②③④ C、①③④ D、①③

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9. 如图，在正方形ABCD中，AD＝4，E为CD中点，F为BC上的一点，且∠EAF＝45°，∠ABG＝∠DAE，连接EF，延长BG交AE于点M，交AD于点N，则以下结论；
①DE+BF＝EF②BN⊥AE③BF＝ $\frac{8}{3}$ ④S_△_BGF＝ $\frac{16}{15}$ 中正确的是（　　）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. 如图，点P是边长为 $\sqrt{2}$ 的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF=MC；②AH⊥EF；③AP²=PM•PH；④EF的最小值是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．其中正确结论是（）

A、①③ B、②③ C、②③④ D、②④

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二、填空题（每题3分，共15分）

11. 如图，已知平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，3），点D的坐标是（6，0），点B是x轴上一动点，过点A作AC⊥AB，垂足为A，且AC•AB＝6．当点B从坐标原点O起沿x轴向右运动到终点D时，点C运动的路径的长度是．

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12. 如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB ，点M ， N为直线AD上的两个动点，且∠MBN＝30°，将线段BM关于BN翻折得线段BM^' ，连接CM^' ．当线段CM^'的长度最小时，∠MM'C的度数为度．

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13. 如图，点E是边长为8的正方形ABCD的边AD上一动点(端点A ， D除外)，以CE为边作正方形CEFG ， EF与AB交于点H ，连接BE ， BF ， BG ．下列四个结论：①BG＝DE；②∠FAB＝∠FEB；③当点E为AD中点时，H也是EF的中点；④当点E在AD边上运动时，AH有最大值为2．其中正确的结论是(填序号)．

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14. 如图，面积为6的平行四边形纸片ABCD中， $A B = 3$ ， $∠ B A D = 45 °$ ，按下列步骤进行裁剪和拼图：第一步，如图①，将平行四边形纸片沿对角线BD剪开，得到 $△ A B D$ 和 $△ B C D$ 纸片，再将 $△ A B D$ 纸片沿AE剪开（其中 $A E ⊥ B D$ ），得到 $△ A B E$ 和 $△ A D E$ 纸片；第二步，如图②，将 $△ A B E$ 纸片置于 $△ C D F$ 处（边AB与CD重合），将 $△ A D E$ 纸片置于 $△ C G B$ 处（边AD与CB重合）．则由纸片拼成的五边形CFDBG中，对角线FG的长为．

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15. 在矩形 $A B C D$ 中，点 $E ， F$ 分别在边 $A D ， B C$ 上，将矩形 $A B C D$ 沿直线 $E F$ 折叠，使点 $B$ 恰好与点 $D$ 重合，点 $A$ 落在点 $A^{'}$ 处，点 $G$ 为线段 $E F$ 上一动点，过点 $G$ 作 $G M ⊥ A D ， G N ⊥ F D$ ，垂足分别为点 $M ， N$ ，以 $G M ， G N$ 为邻边构造平行四边形 $G M H N$ ，若平行四边形 $G M H N$ 的周长为 $4 \sqrt{10} ， A E = 3$ ，则 $E F =$ ．

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三、综合题（共4题，共28分）

16. 如图1，菱形 $A B C D$ 中， $∠ B = α$ ， $B C = 2$ ， $E$ 是边 $B C$ 上一动点（不与点 $B, C$ 重合），连接 $D E$ ，点 $C$ 关于直线 $D E$ 的对称点为 $C^{'}$ ，连接 $A C^{'}$ 并延长交直线 $D E$ 于点 $P, F$ 是 $A C^{'}$ 的中点，连接 $D C^{'}, D F$ ．

(1)、填空： $D C^{^{'}} =$ ， $∠ A P D =$ （用含 $α$ 的代数式表示）；

(2)、如图2，当 $α = 90 °$ ，题干中其余条件均不变，连接 $B P$ ．求证： $B P = \sqrt{2} A F$ ．

(3)、（2）的条件下，连接 $A C$ ．
①若动点 $E$ 运动到边 $B C$ 的中点处时， $△ A C C^{'}$ 的面积为．
②在动点 $E$ 的整个运动过程中， $△ A C C^{'}$ 面积的最大值为．

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17. 在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是射线 $B C$ 上一动点，连接 $A E$ ，过点 $B$ 作 $B F ⊥ A E$ 于点 $G$ ，交直线 $C D$ 于点 $F$ ．

(1)、当矩形 $A B C D$ 是正方形时，以点 $F$ 为直角顶点在正方形 $A B C D$ 的外部作等腰直角三角形 $C F H$ ，连接 $E H$ ．
①如图1，若点 $E$ 在线段 $B C$ 上，则线段 $A E$ 与 $E H$ 之间的数量关系是 ▲ ，位置关系是 ▲ ；
②如图2，若点 $E$ 在线段 $B C$ 的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；

(2)、如图3，若点 $E$ 在线段 $B C$ 上，以 $B E$ 和 $B F$ 为邻边作平行四边形 $B E H F$ ， $M$ 是 $B H$ 中点，连接 $G M$ ， $A B = 3$ ， $B C = 2$ ，求 $G M$ 的最小值．

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18. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $∠ A D C = 90 °$ ， $A C ⊥ B C$ ．

(1)、求证： $△ A C B ∽ △ C D A$ ．

(2)、若 $D C = 6 c m$ ， $A D = 8 c m$ ，点P从A点出发，以 $2 c m / s$ 的速度沿 $A B$ 向终点B匀速运动，同时点Q从B点出发，以 $1 c m / s$ 的速度沿 $B C$ 向终点C匀速运动.当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为 $t (s)$ ．
①当t为何值时，四边形 $A P Q C$ 的面积等于 $\frac{170}{3} c m^{2}$ ？
②当t的值为时，以B ， P ， Q三点为顶点的三角形与 $△ A D C$ 相似．

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19. 如图，在平面直角坐标系中， $A$ 点的坐标为 $(a ， 8)$ ， $A B ⊥ x$ 轴于点 $B$ ， $\frac{A B}{O B} = \frac{4}{3}$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象的一支分别交 $A O$ ， $A B$ 于点 $C$ ， $D$ ，延长 $A O$ 交反比例函数的图象的另一支于点 $E$ ，已知点 $D$ 的纵坐标为 $2$ ．

(1)、求反比例函数的表达式及点 $E$ 的坐标；

(2)、连接 $C D$ ， $O D$ ，求 $S_{△ O C D}$ ；

(3)、在 $x$ 轴上是否存在两点 $M$ ， $N (M$ 在 $N$ 的左侧 $)$ ，使以 $E$ ， $M$ ， $C$ ， $N$ 为顶点的四边形为矩形？若存在，求出矩形的周长；若不存在，说明理由．

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四、实践探究题（共5题，共47分）

20. 我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”．

(1)、在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是（填序号）；

(2)、如图1，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE ，过点B作BG⊥AE于点H ，交CD于点G ，连AG、EG ．
①求证：四边形ABEG是“神奇四边形”；
②如图2，点M、N、P、Q分别是AB、AG、GE、EB的中点．试判断四边形MNPQ是不是“神奇四边形”；

(3)、如图3，点F、R分别在正方形ABCD的边AB、CD上，把正方形沿直线FR翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A ，过点A作AO⊥FR于点O ，若AB'＝2，正方形的边长为6，求线段OF的长．

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21. 【问题情境】
在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30°的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作△ADB和△A^'D^'C，∠ADB＝∠A^'D^'C＝90°，∠B＝∠C＝30°，设AB＝2．
【操作探究】
如图1，先将△ADB和△A^'D^'C的边AD、A^'D^'重合，再将△A^'D^'C绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°），旋转过程中△ADB保持不动，连接BC．

(1)、当α＝60°时，BC＝；当BC＝2 $\sqrt{2}$ 时，α＝°；

(2)、当α＝90°时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；

(3)、如图2，取BC的中点F，将△A^'D^'C^'绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为．

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22. 综合与探究．

(1)、【特例感知】
如图（a），E是正方形ABCD外一点，将线段AE绕点A顺时针旋转 $90 °$ 得到AF ，连接DE ， BF ．求证： $D E = B F$ ；

(2)、【类比迁移】
如图（b），在菱形ABCD中， $A B = 4, ∠ B = 60 °$ ， P是AB的中点，将线段PA ， PD分别绕点P顺时针旋转 $90 °$ 得到PE ， PF ， PF交BC于点G ，连接CE ， CF ，求四边形CEGF的面积：

(3)、【拓展提升】
如图（c），在平行四边形ABCD中， $A B = 12, A D = 10, ∠ B$ 为锐角且满足 $s i n B = \frac{4}{5}$ ． P是射线BA上一动点，点C ， D同时绕点P顺时针旋转 $90 °$ 得到点 $C^{'}$ ， $D^{'}$ ，当 $△ B C^{'} D^{'}$ 为直角三角形时，直接写出BP的长．

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23. “转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图形全等或者相似建立数量关系是处理问题的重要手段．

(1)、【问题情景】：如图 $(1)$ ，正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是线段 $B C$ 上一点 $($ 不与点 $B$ 、 $C$ 重合 $)$ ，连接 $E A .$ 将 $E A$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $E F$ ，连接 $C F$ ，求 $∠ F C D$ 的度数．
以下是两名同学通过不同的方法构造全等三角形来解决问题的思路，
①小聪：过点 $F$ 作 $B C$ 的延长线的垂线；
②小明：在 $A B$ 上截取 $B M$ ，使得 $B M = B E$ ；
请你选择其中一名同学的解题思路，写出完整的解答过程．

(2)、【类比探究】：如图 $(2)$ 点 $E$ 是菱形 $A B C D$ 边 $B C$ 上一点 $($ 不与点 $B$ 、 $C$ 重合 $)$ ， $∠ A B C = α$ ，将 $E A$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $α$ 得到 $E F$ ，使得 $∠ A E F = ∠ A B C = α (α \geq 90 °)$ ，则 $∠ F C D$ 的度数为 $($ 用含 $α$ 的代数式表示 $)$ ．

(3)、【学以致用】：如图 $(3)$ ，在 $(2)$ 的条件下，连结 $A F$ ，与 $C D$ 相交于点 $G$ ，当 $α = 120 °$ 时，若 $\frac{D G}{C G} = \frac{1}{2}$ ，求 $\frac{B E}{C E}$ 的值．

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