2024年中考数学热点探究九特殊三角形中的分类讨论、存在性问题

试卷更新日期：2024-04-27 类型：二轮复习

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一、选择题（每题2分，共18分）

1. 若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（）

A、2cm B、4cm C、6cm D、8cm

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2. 在△ABC和 $△ A^{^{'}} B^{^{'}} C^{^{'}}$ 中， $∠ B$ $= ∠ B^{^{'}} = 3 0^{°}, A B = A^{^{'}} B^{^{'}} = 6, A C = A^{^{'}} C^{^{'}} = 4$ .已知 $∠ C = n^{°}$ ，则 $∠ C^{^{'}} =$ （）

A、 $3 0^{°}$ B、 $n^{°}$ C、 $n^{°}$ 或 $18 0^{°} - n^{°}$ D、 $3 0^{°}$ 或 $15 0^{°}$

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3. 已知m，n，4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m，n是关于x的一元二次方程. $x^{2} - 6 x + k + 2 = 0$ 的两个根，则k的值为（）

A、7 B、7或6 C、6或-7 D、6

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4. 如图，在平面直角坐标系中，等边 $△ O A B$ 的顶点 $O (0, 0)$ ， $B (1, 0)$ ，已知 $△ O A^{'} B^{'}$ 与 $△ O A B$ 位似，位似中心是原点O，且 $△ O A^{'} B^{'}$ 的面积是 $△ O A B$ 面积的16倍，则点A对应点 $A^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ B、 $(2 \sqrt{3}, 2)$ 或 $(- 2 \sqrt{3}, - 2)$ C、 $(4, 4 \sqrt{3})$ D、 $(2, 2 \sqrt{3})$ 或 $(- 2, - 2 \sqrt{3})$

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5. 已知直线y=-x+1与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是第一象限内的点.若△PAB为等腰直角三角形，则点P的坐标为（）

A、（1，1） B、（1，1）或（1，2） C、（1，1）或（1，2）或（2，1） D、（0，0）或（1，1）或（1，2）或（2，1）

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6. 已知等腰△ABC ， AD为BC边上的高，且 $A D = \frac{1}{2} B C .$ 则等腰△ABC的底角的度数为（　　）

A、45° B、75°或60° C、45°或75° D、以上都不对

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7. 如图，BD是 $▱ A B C D$ 的对角线，BD⊥AD，AB=2AD=6，点E是CD的中点，点F、P分别是线段AB、BD上的动点，若△ABD∽△PBF，且△PDE是等腰三角形，则PF的长为（　　）

A、 $\frac{3 \sqrt{3} - 3}{2}$ 或 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3} - 1$ 或 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ 或 $\frac{3 \sqrt{3} - 3}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 或 $\sqrt{3} - 1$

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8. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4 ， B C = 6 ，$ 点 $E$ 是 $A D$ 的中点，点 $F$ 在 $D C$ 上，且 $C F = 1 ，$ 若在此矩形上存在一点 $P$ ，使得 $△ P E F$ 是等腰三角形，则点 $P$ 的个数是（）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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9. 如图，在矩形ABCD中， $A D = 3 A B = 3 \sqrt{10}$ ，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN 是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN的值为（）

A、6或2 B、3或 $\frac{15}{8}$ C、2或3 D、6或 $\frac{15}{8}$

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二、填空题（每题2分，共18分）

10. 一个等腰三角形的顶角为140°，则它一腰上的高与另一腰的夹角为 $°$ ．

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11. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， ∠ C B A = 30 ° ， A C = 1$ ，D是 $A B$ 上一点（点D与点A不重合）.若在 $R t △ A B C$ 的直角边上存在4个不同的点分别和点A、D成为直角三角形的三个顶点，则 $A D$ 长的取值范围是.

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12. 在△ABC中， $∠ A C B = 90 °, B C = 2 c m$ ， $A C = 2 \sqrt{3} c m$ ，点D是 $A B$ 边上一动点，将△ACD沿直线 $C D$ 翻折，使点A落在点E处，连接 $C E$ 交 $A B$ 于点F（所给图形仅仅是示意图）．当△DEF是直角三角形时， $A D =$ ．

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13. 如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A．D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为

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14. 定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P ，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为：．

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15. 平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = \frac{1}{2} (x + 3)$ 分别与函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象交于 $A$ 、 $B$ ，若 $y$ 轴负半轴上存在点 $C$ 使得 $△ A B C$ 是以 $C$ 为直角顶点的等腰直角三角形，则 $k$ 为．

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16. 已知，一次函数 $y = - x + 1$ 与反比例函数 $y = - \frac{2}{x}$ 的图象交于点A、B，在x轴上存在点P（n，0），使△ABP为直角三角形，则P点的坐标是．

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17. 如图，在等边三角形ABC中，D是AC的中点，P是边AB上的一个动点，过点P作PE⊥AB，交BC于点E，连接DP，DE.若AB＝8，△PDE是等腰三角形，则BP的长是.

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18. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，记x＝AC，y＝BC-AC，在平面直角坐标系xOy中，定义（x，y）为这个直角三角形的坐标，Rt△ABC为点（x，y）对应的直角三角形．有下列结论：①在x轴正半轴上的任意点（x，y）对应的直角三角形均满足AB＝ $\sqrt{2}$ BC；②在函数y＝ $\frac{2019}{x}$ （x＞0）的图象上存在两点P，Q，使得它们对应的直角三角形相似；③对于函数y＝（x-2020）²-1（x＞0）的图象上的任意一点P，都存在该函数图象上的另一点Q，使得这两个点对应的直角三角形相似；④在函数y＝-2x+2020（x＞0）的图象上存在无数对点P，Q（P与Q不重合），使得它们对应的直角三角形全等．所有正确结论的序号是．

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三、解答题（共8题，共84分）

19. 对于平面直角坐标系 $x O y$ 中的线段 $P Q$ ，给出如下定义：若存在 $△ P Q R$ 使得 $S_{△ P Q R} = P Q^{2}$ ，则称 $△ P Q R$ 为线段 $P Q$ 的“等幂三角形”，点R称为线段 $P Q$ 的“等幂点”．

(1)、已知 $A (2 ， 0)$ ，若存在等腰 $△ O A B$ 是线段 $O A$ 的“等幂三角形”，求点B的坐标；

(2)、已知点C的坐标为 $C (2 ， - 1)$ ，点D在直线 $y = x - 3$ 上，记图形M为以点 $T (1 ， 0)$ 为圆心，2为半径的 $⊙ T$ 位于x轴上方的部分．若图形M上存在点E，使得线段 $C D$ 的“等幂三角形” $△ C D E$ 为锐角三角形，直接写出点D的横坐标 $x_{D}$ 的取值范围．

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A C = 5$ ， $A B = 4 .$ 动点 $P$ 从点 $C$ 出发，沿 $C A$ 以每秒 $3$ 个单位长度的速度向终点 $A$ 匀速运动．过点 $P$ 作 $C A$ 的垂线交射线 $C B$ 于点 $M$ ，当点 $M$ 不和点 $B$ 重合时，作点 $M$ 关于 $A B$ 的对称点 $N .$ 设点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒 $(t > 0)$ ．

(1)、BC=；

(2)、求 $M N$ 的长． $($ 用含 $t$ 的代数式表示 $)$

(3)、取 $P C$ 的中点 $Q$ ．
$①$ 连结 $M Q$ 、 $P N$ ，当点 $M$ 在边 $B C$ 上，且 $M Q / / P N$ 时，求 $M N$ 的长．
$②$ 连结 $N Q$ ，当 $∠ C N Q = ∠ A$ 时，直接写出 $t$ 的值．

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21. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 9 0^{∘}$ ， $A B = 3$ ， $B C = 4$ .点 $Q$ 在线段 $A C$ 上运动，过点 $Q$ 作 $A C$ 的垂线交线段 $A B$ （如图1）或线段 $A B$ 的延长线（如图2）于点 $P$ ．

图1 图2 备用图

(1)、当点 $P$ 在线段 $A B$ 上时，求证： $△ A Q P ∽ △ A B C$ ；

(2)、当点 $P$ 与点 $B$ 重合时，求 $A Q$ 的长；

(3)、若点 $Q$ 从点 $A$ 以每秒2个单位长的速度向点 $C$ 运动，求点 $P$ 与点 $B$ 的距离不大于1的时长；

(4)、当 $△ B P Q$ 为等腰三角形时，直接写出 $A P$ 的长．

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22. 如图，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ C B$ ， $∠ C = 90 ° ， B C = 16 ， D C = 12 ， A D = 21$ ，动点P从点D出发，沿射线 $D A$ 的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段 $C B$ 上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P ， Q分别从点D ， C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．

(1)、设 $△ B P Q$ 的面积为S ，求S与t之间的函数关系式；

(2)、当t为何值时，四边形 $A B Q P$ 是平行四边形；

(3)、当t为何值时，以B ， P ， Q三点为顶点的三角形是等腰三角形?

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23. 对于平面直角坐标系 $x O y$ 中的点C及图形G，有如下定义：若图形G上存在A，B两点，使得 $△ A B C$ 为等腰直角三角形，且 $∠ A B C = 90 °$ ，则称点C为图形G的“友好点”．

(1)、已知点 $O (0 ， 0)$ ， $M (4 ， 0)$ ，在点 $C_{1} (0 ， 4)$ ， $C_{2} (1 ， 4)$ ， $C_{3} (2 ， - 1)$ 中，线段OM的“友好点”是；

(2)、直线 $y = - x + b$ 分别交x轴、y轴于P，Q两点，若点 $C (2 ， 1)$ 为线段PQ的“友好点”，求b的取值范围；

(3)、已知直线 $y = x + d (d > 0)$ 分别交x轴、y轴于E，F两点，若线段EF上的所有点都是半径为2的 $⊙ O$ 的“友好点”，直接写出d的取值范围．

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24. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (t ， 0) ， B (t + 2 ， 0) ， C (n ， 1)$ ，若射线 $O C$ 上存在点P，使得 $△ A B P$ 是以 $A B$ 为腰的等腰三角形，就称点P为线段 $A B$ 关于射线 $O C$ 的等腰点.

(1)、如图， $t = 0$ ，
①若 $n = 0$ ，则线段 $A B$ 关于射线 $O C$ 的等腰点的坐标是 ▲ ；

②若 $n < 0$ ，且线段 $A B$ 关于射线 $O C$ 的等腰点的纵坐标小于1，求n的取值范围；

(2)、若 $n = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，且射线 $O C$ 上只存在一个线段 $A B$ 关于射线 $O C$ 的等腰点，求t的取值范围.

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25. 如图甲，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，动点P从点B出发，沿BA方向向点A匀速运动，同时动点Q从点A出发，沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1个单位/s，连接PQ ．设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：

(1)、设△APQ的面积为S ，则S＝；（用含t的代数式表示）

(2)、如图乙，连接PC ，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP’C ，当四边形PQP’C为菱形时，求t的值；

(3)、当△APQ是等腰三角形时，求t的值？

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26. 如图1， $C$ ， $D$ 是半圆 $A C B$ 上的两点，若直径 $A B$ 上存在一点 $P$ ，满足 $∠ A P C = ∠ B P D$ ，则称 $∠ C P D$ 是 $\overset{⌢}{C D}$ 的“幸运角”.

(1)、如图2， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C E ⊥ A B$ ， $D$ 是 $B C$ 上一点，连结 $E D$ 交 $A B$ 于点 $P$ ，连结 $C P$ ， $∠ C P D$ 是 $\overset{⌢}{C D}$ 的“幸运角”吗？请说明理由；

(2)、设 $\overset{⌢}{C D}$ 的度数为 $n$ ，请用含 $n$ 的式子表示 $\overset{⌢}{C D}$ 的“幸运角”度数；

(3)、在（1）的条件下，直径 $A B = 10$ ， $\overset{⌢}{C D}$ 的“幸运角”为 $90 °$ .
①如图3，连结 $C D$ ，求弦 $C D$ 的长；
②当 $D E = 7 \sqrt{2}$ 时，求 $C E$ 的长.

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一、选择题（每题2分，共18分）

二、填空题（每题2分，共18分）

三、解答题（共8题，共84分）

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