2024年中考数学热点探究八全等三角形中的常见模型及其证明思路

试卷更新日期：2024-04-27 类型：二轮复习

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一、选择题（每题2分，共20分）

1. 如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加一个条件是（）

A、AB＝DC B、∠A＝∠D C、∠B＝∠C D、AE＝BF

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2. 如图，△ABC和△DEF中， $A B ∥ D E$ ， $∠ A = ∠ D$ ，点B，E，C，F共线，添加一个条件，不能判断 $△ A B C ≌ △ D E F$ 的是（）

A、 $A B = D E$ B、 $∠ A C B = ∠ F$ C、 $B E = C F$ D、 $A C = D F$

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3. 如图， $A B = A D$ ， $A C$ 平分 $∠ B A D$ ．证明 $△ A B C ≌ △ A D C$ 的依据是（）

A、 $A A S$ B、 $S S S$ C、 $A S A$ D、 $S A S$

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4. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为4， $∠ E A F = 45 °$ ，将 $△ A B E$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转 $90 °$ 得到 $△ A D G$ ．若 $B E = 1$ ，则 $D F$ 的长为（）

A、3 B、 $\sqrt{7}$ C、 $\frac{12}{5}$ D、4

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5. 如图，在边长为 $6$ 的正方形 $A B C D$ 内作 $∠ E A F = 45 °$ ， $A E$ 交 $B C$ 于点 $E$ ， $A F$ 交 $C D$ 于点 $F$ ，连接 $E F$ ，将 $Δ A D F$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $Δ A B G$ .若 $D F = 3$ ，则 $B E$ 的长为（）

A、1 B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 120 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点C逆时针旋转得到 $△ D E C$ ，点A ， B的对应点分别为D ， E ，连接AD ．当点A ， D ， E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（）

A、 $C B = C D$ B、 $∠ A B C = ∠ A D C$ C、 $A B ∥ C D$ D、 $D E + D C = B C$

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7. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ， $∠ C = ∠ B A D = 90 °$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，点 $E$ 是 $A B$ 的中点，点 $F$ 是 $B D$ 上的动点，若 $C D = 4$ ，则 $A F + E F$ 的最小值为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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8. 如图，在等边 $△ A B C$ 中，D是边 $A C$ 上一点，连接 $B D$ ，将 $△ B C D$ 绕点B逆时针旋转 $60 °$ ，得到 $△ B A E$ ，连接 $E D$ ，若 $△ A E D$ 的周长是17， $B D = 8$ ，则等边 $△ A B C$ 的面积是（）

A、 $32 \sqrt{3}$ B、 $\frac{81 \sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{27}{2} \sqrt{3}$ D、 $\frac{81}{2} \sqrt{3}$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 65 ° ， B C > A C$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转得到 $△ A D E$ ，点 $B$ 的对应点 $D$ 恰好落在 $B C$ 边上， $C$ 的对应点为 $E$ ．则下列结论一定正确的是（）

A、 $∠ A B C = ∠ A E D$ B、 $A C = D E$ C、 $∠ C A E = 65 °$ D、 $A B = A D$

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10. 用两个全等且边长为 $4$ 的等边三角形 $A B C$ 和 $△ A C D$ 拼成菱形 $A B C D$ ，把一个 $60 °$ 角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的 $60 °$ 角的顶点与点 $A$ 重合，两边分别与 $A B$ ， $A C$ 重合，将三角尺绕点 $A$ 按逆时针方向旋转，在转动过程中，当 $△ A E C$ 的面积是 $2 \sqrt{3}$ 时， $C F$ 的长为（）

A、 $2$ 或 $4$ B、 $2$ 或 $6$ C、 $4$ 或 $6$ D、 $0$ 或 $8$

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二、填空题（每题2分，共10分）

11. 如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB ，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC ．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为5cm² ，则OC的长为cm．

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12. 如图，在▱ABCD中，BC的垂直平分线EO交AD于点E，交BC于点O，连结BE，CE，过点C作CF∥BE，交EO的延长线于点F，连结BF.若AD=8，CE=5，则四边形BFCE的面积为.

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13. 如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点F在边AB上，点E在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AF的长是

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14. 如图1，有一张矩形纸片 $A B C D$ ，已知 $A B = 10$ ， $A D = 12$ ，现将纸片进行如下操作：现将纸片沿折痕 $B F$ 进行折叠，使点 $A$ 落在 $B C$ 边上的点 $E$ 处，点 $F$ 在 $A D$ 上（如图2），则 $D F =$ ；然后将 $△ F B E$ 绕点 $F$ 旋转到 $△ F M N$ ，当 $M N$ 过点 $C$ 时旋转停止，则 $E N$ 的长度为．

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15. 综合实践课上，小聪把一张长方形纸片 $A B C D$ 沿着虚线 $E B$ 剪开，如图①所示，把得到的两张纸片如图②摆放，纸片 $R t △ C B^{'} E^{'}$ 较小锐角的顶点 $E^{'}$ 在 $D E$ 上，较长直角边与斜边分别交边 $A B$ 于点G，H．以点G与A重合，且 $B^{'} E^{'} ⊥ A B$ 为初始位置，把 $R t △ C B^{'} E^{'}$ 沿着 $D E$ 方向平移，当点 $E^{'}$ 到达点E后立刻绕点E逆时针旋转，如图③，直到点H与点B重合停止．为了探求 $B H$ 与 $A G$ 之间的变化关系，设 $A G = m$ ，请用含m的代数式表示 $B H$ ．

(1)、在平移过程中， $B H =$ ，

(2)、在旋转过程中， $B H =$ ．

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三、解答题（共7题，共53分)

16. 如图，点E、F分别是矩形ABCD的边 AB、CD上的一点，且DF＝BE.
求证：AF=CE.

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17. 如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A′C′D′．

(1)、证明△A′AD′≌△CC′B；

(2)、若∠ACB=30°，试问当点C′在线段AC上的什么位置时，四边形ABC′D′是菱形，并请说明理由．

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18. 如图， $▱ A B C D$ 中， $∠ D = 60 °$ ，分别以点B，C为圆心，以大于 $\frac{1}{2} B C$ 的长为半径画弧交于M，N两点，作直线MN交BC于点O，连接AO并延长，交DC的延长线于点E，连接AC，BE．

(1)、求证： $C D = C E$ ：

(2)、在 $▱ A B C D$ 中能否添加一个条件，使四边形ABEC为菱形？若能，请添加后予以证明；若不能，请什么理由．

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19. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， D是边 $A C$ 上一动点，E是 $△ A B C$ 外一点，连接 $B D ， B E$ ．

(1)、如图1， $C E ∥ A B$ ， $A D = C E$ ，若 $∠ A B D = \frac{1}{3} ∠ A = 20 °$ ，求 $∠ E$ 的度数；

(2)、如图2， $C E ∥ A B$ ， $B D = B E ， ∠ A = 2 ∠ A B D$ ，过点D作 $D F ⊥ A B$ 交于点F ，若 $D E = 2 D F ， ∠ D B C = 3 ∠ C B E$ ，求证： $A B = B D + C E$ ；

(3)、如图3， $A E = A B$ ，延长 $A E$ 交 $B C$ 的延长线于点F ， $B E$ 交 $A C$ 于点G ，点D是直线 $A C$ 上一动点，将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 翻折得 $△ H B D$ ，连接 $F H$ ，取 $F H$ 的中点M ，连接 $A M$ ，若 $E F = 2 G C ， A B = B C$ ，当线段 $A M$ 取得最大值时，请直接写出 $\frac{A M}{A B}$ 的值．

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20. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $∠ A D B = 30 °$ ， $A E ⊥ B D$ ，垂足为E ． F是点E关于 $A B$ 的对称点，连接 $A F ， B F$ ．

(1)、求证： $△ A B E$ $≌ △ A B F$ ；

(2)、求 $A E$ 和 $B E$ 的长；

(3)、将一个与 $△ A B F$ 完全重合的透明三角板 $A_{1} B_{1} F_{1}$ 沿射线 $B D$ 方向平移．
①设点 $B_{1}$ 在 $B D$ 上移动的距离是m ．当点 $F_{1}$ 分别落在线段 $A B ， A D$ 上时，求相应的m的值；
②当点 $F_{1}$ 落在 $A D$ 上时，立刻将 $△ A_{1} B_{1} F_{1}$ 绕点 $B_{1}$ 顺时针旋转，且旋转60°时停止．点H在 $A D$ 上，且 $D H = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ．若 $△ A_{1} B_{1} F_{1}$ 平移的速度为每秒1个单位长度， $△ A_{1} B_{1} F_{1}$ 绕点 $B_{1}$ 旋转的速度为每秒5°，在 $△ A_{1} B_{1} F_{1}$ 整个运动过程中，直接写出点H在 $△ A_{1} B_{1} F_{1}$ 区域（含边界）内的时长．

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21. 如图1， $O P$ 是 $∠ M O N$ 的平分线，请你利用该图形画一对以 $O P$ 所在直线为对称轴的全等三角形，并将添加的全等条件标注在图上．
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
①如图2，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B$ 是直角， $∠ B = 60 °$ ， $A D$ 、 $C E$ 分别是 $∠ B A C$ 和 $∠ B C A$ 的平分线， $A D$ 、 $C E$ 相交于点F，求 $∠ E F A$ 的度数；
②在①的条件下，请判断 $F E$ 与 $F D$ 之间的数量关系，并说明理由；
③如图3，在 $△ A B C$ 中，如果 $∠ A C B$ 不是直角，而①中的其他条件不变，试问在②中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

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22. 已知，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， B C = 6 ，$ 以 $B C$ 为直径的 $⊙ O$ 与 $A B$ 交于点 $H ，$ 将 $△ A B C$ 沿射线 $A C$ 平移得到 $△ D E F ，$ 连接 $B E .$

(1)、如图1， $D E$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $G$ .
①求证： $B E = E G$ ；
②则 $B E \cdot C D =$ ▲

(2)、如图2，延长 $H O$ 与 $⊙ O$ 交于点 $K ，$ 将 $△ D E F$ 沿 $D E$ 折叠，点
的对称点 $F^{'}$ 恰好落在射线 $B K$ 上.
①求证： $H K ∥ E F^{'}$ ；
②若 $K F^{'} = 3 ，$ 求 $A C$ 的长.

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四、实践探究题（共4题，共37分)

23. 如图，四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝BC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．

(1)、试猜想筝形的对角线有什么位置关系，然后用全等三角形的知识证明你的猜想；

(2)、已知筝形ABCD的对角线AC，BD的长度为整数值，且满足AC+BD＝6．设AC的长为x，四边形ABCD的面积为S，试求x为多少时，S有最大值，最大值是多少？

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24. 学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究，她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分.她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论.请根据她的思路完成以下作图与填空：

(1)、用直尺和圆规，作AC的垂直平分线，交DC于点E，交AB于点F，垂足为O(保留作图痕迹，不写作法).

(2)、已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，EF垂直平分AC，垂足为O.求证：OE=OF.请补全以下证明过程.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，∴∠ECO=        .
∵EF垂直平分AC，∴        .
又∵∠EOC=        ，
∴△COE≌△AOF(ASA)，
∴OE=OF.

(3)、小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线AC中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征.请你依照题意补全下面命题：过平行四边形对角线中点的直线.

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25. 如图①，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

(1)、【概念理解】如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD ， CB＝CD ，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；

(2)、【性质探究】如图①，四边形ABCD的对角线AC ， BD交于点O ， AC⊥BD ．试证明：AD²+BC²＝AB²+CD²；

(3)、【解决问题】如图③，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE ，连接CE ， BG ， GE ．已知AC＝8，AB＝10，求GE的长．

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26. 【方法提炼】
解答几何问题常常需要添辅助线，其中平移图形是重要的添辅助线策略.

【问题情境】

如图1，在正方形ABCD中，E，F，G分别是BC，AB，CD上的点，FG⊥AE于点Q.求证：AE＝FG.

小明在分析解题思路时想到了两种平移法：

方法1：平移线段FG使点F与点B重合，构造全等三角形；

方法2：平移线段BC使点B与点F重合，构造全等三角形；

【尝试应用】

(1)、请按照小明的思路，选择其中一种方法进行证明；

(2)、如图2，正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点O.求tan∠AOC的值；

(3)、如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连接DE分别交线段BC，PC于点M，N.
①求∠DMC的度数；

②连接AC交DE于点H，求 $\frac{D H}{B C}$ 值.

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2024年中考数学热点探究八 全等三角形中的常见模型及其证明思路

一、选择题（每题2分，共20分）

二、填空题（每题2分，共10分）

三、解答题（共7题，共53分)

四、实践探究题（共4题，共37分)

2024年中考数学热点探究八全等三角形中的常见模型及其证明思路