2024年中考数学热点探究七以函数为背景的几何综合性问题

试卷更新日期：2024-04-27 类型：二轮复习

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一、选择题（每题2分，共20分）

1. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 $O A B C$ 的边 $O A$ 在 $x$ 轴的正半轴上， $A$ ， $C$ 两点的坐标分别为 $(2, 0)$ ， $(1, 2)$ ，点 $B$ 在第一象限，将直线 $y = - 2 x$ 沿 $x$ 轴向右平移 $m (m > 0)$ 个单位.若平移后的直线与边 $A B$ 有交点，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $4 \leq m \leq 8$ B、 $0 < m < 4$ C、 $2 < m < 8$ D、 $2 \leq m \leq 4$

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2. 如图， $A C$ 为矩形 $A B C D$ 的对角线，已知 $A D = 3$ ， $C D = 4$ .点P沿折线 $C - A - D$ 以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作 $P E ⊥ B C$ 于点E，则 $△ C P E$ 的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图， $⊙ O$ 的半径是 $1$ ，点 $P$ 是直线 $y = - x + 2$ 上一动点，过点 $P$ 作 $⊙ O$ 的切线，切点为 $A$ ，连接 $O A$ ， $O P$ ，则 $A P$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $1$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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4. 已知如图，反比例函数 $y = - \frac{4}{x}$ ， $y = \frac{6}{x}$ 的图象分别经过正方形 $D E O F$ 、正方形 $A C O B$ 的顶点D、A ，连接 $E F 、 A E 、 A F$ ，则 $△ A E F$ 的面积等于（）

A、2 B、3 C、1 D、5

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5. 如图 $1$ ，点 $A$ 、 $B$ 在反比例函数 $y = \frac{k_{1}}{x} (k_{1} \neq 0)$ 的图象上，过点 $A$ 、 $B$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足分别为 $M$ ， $N$ ，延长线段 $A B$ 交 $x$ 轴于点 $C$ ，当 $O M = M N = N C$ 时，阴影部分的面积 $S_{阴} = 1$ ；如图 $2$ ，点 $A$ 、 $B$ 在反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x} (k_{2} \neq 0)$ 的图象上，过点 $A$ 、 $B$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足分别为 $M$ ， $N$ ，连接 $O B$ ，交 $A$ 于 $A M$ 于点 $C$ ，当 $A C = 2 C M$ 时，阴影部分的面积 $S_{阴} = 2$ ，则 $k_{1} - k_{2}$ 的值为（）

A、 $2$ B、 $- 2$ C、 $10$ D、 $- 10$

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6. 如图，等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=8，点D、点E分别是BC、AC边上的点，DE//AB则S_△BDE的最大值是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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7. 如图，正方形OABC有三个顶点在抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 上，点 $O$ 是原点，顶点 $B$ 在 $y$ 轴上则顶点 $A$ 的坐标是（）

A、 $(2 ， 2)$ B、 $(\sqrt{2} ， \sqrt{2})$ C、 $(4 ， 4)$ D、 $(2 \sqrt{2} ， 2 \sqrt{2})$

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8. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=-3x+3交x轴于点A，交y轴于点B，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，其中顶点D恰好落在双曲线y=k/x上，现将正方形ABCD沿y轴向下平移a个单位长度，可以使得顶点C落在双曲线上，则a的值为（）

A、 $\frac{8}{3}$ B、 $\frac{7}{3}$ C、2 D、 $\frac{4}{3}$

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9. 如图，正方形ABCD边长为8，M，N分别是边BC，CD上的两个动点，且AM⊥MN，则AN的最小值是（）

A、8 B、4 $\sqrt{5}$ C、10 D、8 $\sqrt{2}$

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10. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + 2 a x - 3 a$ （a＞0）与x轴交于A，B，顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D′，点A对应点C，连接DD′，CD′，DC，当△CDD′是直角三角形时，a的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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二、填空题（每题2分，共10分）

11. 若直线 $A B$ ： $y = \frac{2}{3} x + 4$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于点 $B$ 和点 $A$ ，直线 $C D$ ： $y = - \frac{1}{2} x + 2$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于点 $D$ 和点 $C$ ，线段 $A B$ 与 $C D$ 的中点分别是 $M$ ， $N$ ，点 $P$ 为 $x$ 轴上一动点．
$(1)$ 点 $M$ 的坐标为；
$(2)$ 当 $P M + P N$ 的值最小时，点 $P$ 的坐标为．

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12. 如图，矩形ABCD中，AB=2cm，AD=5cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s）．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，则△DEF面积最小值为．

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13. 如图，一次函数 $y = - 2 x + 3$ 的图象交 $x$ 轴于点 $A$ ，交 $y$ 轴于点 $B$ ，点 $P$ 在射线 $B A$ 上 $($ 不与 $A$ 、 $B$ 重合 $)$ ，过点 $P$ 分别作 $x$ 轴和 $y$ 轴的垂线，垂足为 $C$ 、 $D .$ 当矩形 $O C P D$ 的面积为 $1$ 时，点 $P$ 的坐标为．

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14. 如图，点A ， B在反比例函数 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 的图象上，点C ， D在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0, x > 0)$ 的图象上， $A C ∥ B D ∥ y$ 轴，已知点A ， B的横坐标分别为2，4， $△ O A C$ 与 $△ A B D$ 的面积之差为1，则k的值为．

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15. 如图，点E是边长为8的正方形ABCD的边AD上一动点(端点A ， D除外)，以CE为边作正方形CEFG ， EF与AB交于点H ，连接BE ， BF ， BG ．下列四个结论：①BG＝DE；②∠FAB＝∠FEB；③当点E为AD中点时，H也是EF的中点；④当点E在AD边上运动时，AH有最大值为2．其中正确的结论是(填序号)．

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三、综合题（共4题，共33分）

16. 如图①，在矩形ABCD中，AB=6， AD=10，点E在边BC上，且BE=4，动点P从点E出发，沿折线EB-BA-AD以每秒2个单位长度的速度运动．作∠PEQ=90°，EQ交边AD或边DC于点Q，连接PQ．当点Q与点C重合时，点P停止运动、设点P的运动时间为t秒．(t>0)

(1)、当点P和点B重合时，线段PQ的长为

(2)、当点Q和点D重合时，求sin∠PQE；

(3)、当点P在边AD上运动时， △PQE的形状始终是等腰直角三角形，如图②，请说明理由；

(4)、作点E关于直线PQ的对称点F ，连接PF、QF ，当四边形EPFQ和矩形ABCD重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出t的取值范围．

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17. 如图①，一次函数 $y = \frac{1}{2} x + 2$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $A$ ，点 $B$ 是反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 的图象与一次函数 $y = \frac{1}{2} x + 2$ 的图象在第一象限的交点．

(1)、求点B的坐标；

(2)、点 $C$ 是反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 在第一象限内的图象上有别于 $B$ 的另外一点，过点 $C$ 作 $C D$ $∥ A B$ 交 $x$ 轴于点 $D$ ．在 $x$ 轴正半轴上是否存在一点 $D$ ，使四边形 $A B C D$ 是平行四边形，如果存在，请确定 $A D$ 的长度，如果不存在，请说明理由．

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18. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点（点E不与端点A，C重合），且AE=CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO=OD，连接DE，DF，GE，GF．

(1)、求证：四边形EDFG是正方形；

(2)、当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值．

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19. 如图，已知 $∠ M O N = 90 °$ ， $O T$ 是 $∠ M O N$ 的平分线， $A$ 是射线 $O M$ 上一点， $O A = 8 c m$ ．动点 $P$ 从点 $A$ 出发，以 $1 c m / s$ 的速度沿 $A O$ 水平向左作匀速运动，与此同时，动点 $Q$ 从点 $O$ 出发，也以 $1 c m / s$ 的速度沿 $O N$ 竖直向上作匀速运动．连接 $P Q$ ，交 $O T$ 于点 $B$ ．经过 $O$ 、 $P$ 、 $Q$ 三点作圆，交 $O T$ 于点 $C$ ，连接 $P C$ 、 $Q C$ ．设运动时间为 $t (s)$ ，其中 $0 < t < 8$ ．

(1)、求 $O P + O Q$ 的值；

(2)、是否存在实数t ，使得线段 $O B$ 的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

(3)、在点P ，点Q运动过程中，四边形 $O P C Q$ 的面积是否发生改变，如果变，请说明理由；如果不变，请求出四边形 $O P C Q$ 的面积．

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四、实践探究题（共6题，共57分）

20. 综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为 $8 m^{2}$ 的矩形地块 $A B C D$ 种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为 $a m^{2}$ ．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若 $a = 10$ ，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设 $A B$ 为 $x m$ ， $B C$ 为 $y m$ ．由矩形地块面积为 $8 m^{2}$ ，得到 $x y = 8$ ，满足条件的 $(x ， y)$ 可看成是反比例函数 $y = \frac{8}{x}$ 的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为 $10 m$ ，得到 $2 x + y = 10$ ，满足条件的 $(x ， y)$ 可看成一次函数 $y = - 2 x + 10$ 的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的 $(x ， y)$ 就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数 $y = \frac{8}{x} (x > 0)$ 的图象与直线 $l_{1}$ ： $y = - 2 x + 10$ 的交点坐标为 $(1 ， 8)$ 和 ▲ ，因此，木栏总长为 $10 m$ 时，能围出矩形地块，分别为： $A B = 1 m$ ， $B C = 8 m$ ；或 $A B =$ ▲ m ， $B C =$ ▲ m ．

(1)、根据小颖的分析思路，完成上面的填空．

(2)、【类比探究】
若 $a = 6$ ，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．

(3)、【问题延伸】
当木栏总长为 $a m$ 时，小颖建立了一次函数 $y = - 2 x + a$ ．发现直线 $y = - 2 x + a$ 可以看成是直线 $y = - 2 x$ 通过平移得到的，在平移过程中，当过点 $(2 ， 4)$ 时，直线 $y = - 2 x + a$ 与反比例函数 $y = \frac{8}{x} (x > 0)$ 的图象有唯一交点．
请在图2中画出直线 $y = - 2 x + a$ 过点 $(2 ， 4)$ 时的图象，并求出 $a$ 的值．

(4)、【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“ $y = - 2 x + a$ 与 $y = \frac{8}{x}$ 图象在第一象限内交点的存在问题”．
若要围出满足条件的矩形地块，且 $A B$ 和 $B C$ 的长均不小于 $1 m$ ，请直接写出 $a$ 的取值范围．

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21.

(1)、【探究·发现】正方形的对角线长与它的周长及面积之间存在一定的数量关系．已知正方形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 长为a，则正方形 $A B C D$ 的周长为，面积为（都用含a的代数式表示）．

(2)、【拓展·综合】如图1，若点M、N是某个正方形的两个对角顶点，则称M、N互为“正方形关联点”，这个正方形被称为M、N的“关联正方形”．
①在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点P是原点O的“正方形关联点”．若 $P (3 ， 2)$ ，则O、P的“关联正方形”的周长是 ▲ ；若点P在直线 $y = - x + 3$ 上，则O、P的“关联正方形”面积的最小值是 ▲ ．

②如图2，已知点 $A (- \frac{3}{2} ， \frac{3}{2})$ ，点B在直线 $l ： y = - \frac{3}{4} x + 6$ 上，正方形 $A P B Q$ 是A、B的“关联正方形”，顶点P、Q到直线l的距离分别记为a和b，求 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值．

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22. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A (- 2 ， 2)$ ， $B (- 6 ， 6)$ 为 $R t △ A B C$ 的顶点， $∠ B A C = 90 °$ ，点C在x轴上．将 $△ A B C$ 沿x轴水平向右平移a个单位得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ， A ， B两点的对应点 $A^{'}$ ， $B^{'}$ 恰好落在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上．

(1)、求a和k的值；

(2)、作直线l平行于 $A^{'} C^{'}$ 且与 $A^{'} B^{'}$ ， $B^{'} C^{'}$ 分别交于M ， N ，若 $△ B^{'} M N$ 与四边形 $M A^{'} C^{'} N$ 的面积比为 $4 ： 21$ ，求直线l的函数表达式；

(3)、在（2）问的条件下，是否存在x轴上的点P和直线l上的点Q ，使得以P ， Q ， $A^{'}$ ， $B^{'}$ 四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点P ， Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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23. 综合与实践
【问题提出】
某兴趣小组开展综合实践活动：在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $D$ 为 $A C$ 上一点， $C D = \sqrt{2}$ ，动点 $P$ 以每秒1个单位的速度从 $C$ 点出发，在三角形边上沿 $C \to B \to A$ 匀速运动，到达点 $A$ 时停止，以 $D P$ 为边作正方形 $D P E F$ .设点 $P$ 的运动时间为 $t s$ ，正方形 $D P E F$ 的面积为 $S$ ，探究 $S$ 与 $t$ 的关系.

(1)、【初步感知】如图1，当点 $P$ 由点 $C$ 运动到点 $B$ 时，
①当 $t = 1$ 时， $S =$ ；
② $S$ 关于 $t$ 的函数解析式为.

(2)、当点 $P$ 由点 $B$ 运动到点 $A$ 时，经探究发现 $S$ 是关于 $t$ 的二次函数，并绘制成如图2所示的图象.请根据图象信息，求 $S$ 关于 $t$ 的函数解析式及线段 $A B$ 的长.

(3)、【延伸探究】若存在3个时刻 $t_{1}$ ， $t_{2}$ ， $t_{3} (t_{1} < t_{2} < t_{3})$ 对应的正方形 $D P E F$ 的面积均相等.
① $t_{1} + t_{2} =$ ▲；
②当 $t_{3} = 4 t_{1}$ 时，求正方形 $D P E F$ 的面积.

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24. 定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．

(1)、理解应用：如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是垂等四边形，点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3），则点B的坐标为．

(2)、综合探究：如图，已知抛物线y＝﹣x²+2x+3与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，C，D两点在该抛物线上．若以A，B，C，D为顶点的四边形是垂等四边形．设点C的横坐标为m，点D的横坐标为n，且m＞n，求m的值．

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25. 用一条直线截三角形的两边，若所截得的四边形对角互补，则称该直线为三角形第三条边上的逆平行线．如图1，DE为△ABC的截线，截得四边形BCED ，若∠BDE+∠C＝180°，则称DE为△ABC边BC的逆平行线．
如图2，已知△ABC中，AB＝AC ，过边AB上的点D作DE∥BC交AC于点E ，过点E作边AB的逆平行线EF ，交边BC于点F ．

(1)、求证：DE是边BC的逆平行线．

(2)、点O是△ABC的外心，连接CO ．求证：CO⊥FE ．

(3)、已知AB＝5，BC＝6，过点F作边AC的逆平行线FG ，交边AB于点G ．
①试探索AD为何值时，四边形AGFE的面积最大，并求出最大值；
②在①的条件下，比较AD+BG ▲ AB大小关系．（“＜、＞或＝”）

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2024年中考数学热点探究七 以函数为背景的几何综合性问题

一、选择题（每题2分，共20分）

二、填空题（每题2分，共10分）

三、综合题（共4题，共33分）

四、实践探究题（共6题，共57分）

2024年中考数学热点探究七以函数为背景的几何综合性问题