2024年中考数学热点探究五一次函数与反比例函数结合问题

试卷更新日期：2024-04-27 类型：二轮复习

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 反比例函数 $y_{1} = \frac{m}{x} (x > 0)$ 的图象与一次函数 $y_{2} = - x + b$ 的图象交于A、B两点，其中 $A (1, 2)$ ，当 $y_{1} > y_{2}$ 时，x的取值范围是（）

A、 $x < 1$ B、 $1 < x < 2$ C、 $x > 2$ D、 $x < 1$ 或 $x > 2$

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2. 如图，直线 $y = a x + b (a \neq 0)$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 交于点 $A (- 2, 4)$ 和点 $B (m, - 2)$ ，则不等式 $0 < a x + b < \frac{k}{x}$ 的解集是（）

A、 $- 2 < x < 4$ B、 $- 2 < x < 0$ C、 $x < - 2$ 或 $0 < x < 4$ D、 $- 2 < x < 0$ 或 $x > 4$

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3. 如图所示，反比例函数y= $\frac{k}{x}$ (x<0)与一次函数 y=x+4的图象交于A，B两点，A，B两点的横坐标分别为-3，-1.则关于x的不等式 $\frac{k}{x}$ <x+4(x<0)的解集为（）

A、x<-3 B、-3<x<-1 C、-1<x<0 D、x<-3或-1<x<0

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4. 如图，直线y=x+2与反比例函 $y = \frac{k}{x}$ 的图像在第一象限交于点P ．若 $O P = \sqrt{20}$ ，则k的值为（）

A、6 B、8 C、10 D、12

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5. 如图，直线 $y = - \frac{4}{3} x$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 交于 $A 、 B$ 两点，点 $C$ 在 $x$ 轴上，连接 $A C 、 B C$ ，且 $A C ⊥ B C$ ，已知 $△ A B C$ 的面积为 $30$ ，则 $k$ 的值为（）

A、 $- 18$ B、 $- 15$ C、 $- 12$ D、 $- 9$

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6. 如图，直线 $y = k_{1} x + b$ 与双曲线 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式 $k_{1} x < \frac{k_{2}}{x} + b$ 的解为（）

A、 $- 5 < x < - 1$ B、 $1 < x < 5$ 或 $x < 0$ C、 $- 5 < x < - 1$ 或 $x > 0$ D、 $x < 1$ 或 $x > 5$

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7. 正比例函数y＝x与反比例函数y＝ $\frac{1}{x}$ 的图象相交于A ， C两点，AB⊥x轴于点B ， CD⊥x轴于点D（如图），则四边形ABCD的面积为（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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8. 如图，直线 $y = k x (k > 0)$ 与双曲线 $y = \frac{1}{x}$ 交于 $A ， B$ 两点， $B C ⊥ x$ 轴于点 $C$ ，连接 $A C$ 交 $y$ 轴于点 $D$ 。下列结论：① $O A = O B$ ；② $△ A B C$ 的面积为定值；③ $D$ 是 $A C$ 的中点；④ $S_{△ A O D} = \frac{1}{2}$ ．其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9. 已知在平面直角坐标系中，正比例函数y＝k₁x（k₁＞0）的图象与反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x}$ （k₂＞0）的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点A（t ， p）和点B（t+2，q）在函数y＝k₁x的图象上（t≠0且t≠-2），点C（t ， m）和点D（t+2，n）在函数 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 的图象上．当p-m与q-n的积为负数时，t的取值范围是（　　）

A、 $- \frac{7}{2} < t < - 3$ 或 $\frac{1}{2} < t < 1$ B、 $- \frac{7}{2} < t < - 3$ 或 $1 < t < \frac{3}{2}$ C、-3＜t＜-2或-1＜t＜0 D、-3＜t＜-2或0＜t＜1

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10. 如图，在直角坐标系中，直线 $y_{1} = 2 x - 2$ 与坐标轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与双曲线 $y_{2} = \frac{k}{x} (x > 0)$ 交于点 $C$ ，过点 $C$ 作 $C D ⊥ x$ 轴，垂足为 $D$ ，且 $O A = A D$ ，则以下结论：
$① S_{△ A D B} = S_{△ A D C}$ ；
$②$ 当 $0 < x < 3$ 时， $y_{1} < y_{2}$ ；
$③$ 如图，当 $x = 3$ 时， $E F = \frac{8}{3}$ ；
$④$ 当 $x > 0$ 时， $y_{1}$ 随 $x$ 的增大而增大， $y_{2}$ 随 $x$ 的增大而减小．
其中正确结论的个数是 $()$

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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二、填空题（每题3分，共15分）

11. 如图，经过原点的直线交反比例函数的y= $\frac{k}{x}$ 图象于A ， B两点，过点A作AC⊥x轴于点C ，连接BC ，当S_△_ABC＝2时，k的值为．

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12. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线 $y = x$ 向下平移b个单位后与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 交第一象限于点A ，交x轴于B点， $∠ A O B = 30 °$ ， $A B = \sqrt{2}$ ，则 $k =$ ．

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13. 如图，正比例函数 $y_{1} = - 3 x$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x}$ 的图象交于 $A$ 、 $B$ 两点．点 $C$ 在 $x$ 轴负半轴上， $A C = A O$ ， $Δ A C O$ 的面积为12，则 $k =$ ．

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14. 如图所示，直线y=kx（k>0）与双曲线y= $\frac{4}{x}$ 交于A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂）两点，则2x₁y₂－7x₂y₁的值等于。

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15. 直线y＝－x＋2a（常数 $a > 0$ ）和双曲线 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象有且只有一个交点B，一次函数y＝－x＋2a与x轴交于点A，点P是线段OA上的动点，点Q在反比例函数图象上，且满足∠BPO＝∠QPA．设PQ与线段AB的交点为M，若OM⊥BP，则 $s i n ∠ A M P$ 的值为．

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三、解答题（共6题，共44分）

16. 如图，B，C是反比例函数y= $\frac{k}{x}$ （k≠0）在第一象限图象上的点，过点B的直线y=x-1与x轴交于点A，CD⊥x轴，垂足为D，CD与AB交于点E，OA=AD，CD=3.

(1)、求此反比例函数的表达式；

(2)、求△BCE的面积.

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17. 如图在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4）、B（2，0）交反比例函数 $y = \frac{m}{x} (x > 0)$ 的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q ，连接OP、OQ ．

(1)、求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)、求△OPQ面积的最大值．

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18. 如图，已知直线l：y＝x+4与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象交于点A（﹣1，n），直线l'经过点A ，且与l关于直线x＝﹣1对称．

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、求图中阴影部分的面积；

(3)、已知直线l：y＝x+4与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象交于点另一点B ， P在平面内，若以点A ， B ， P ， O为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件点P的坐标．

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19. 如图，一次函数 $y = k_{1} x + b$ 的图象与x轴交于点 $A (- 2, 0)$ ，与y轴交于点 $B (0, 2)$ ，与反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x} (x > 0)$ 的图象交于点C ， B是 $A C$ 的中点．

(1)、求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)、点D在一次函数的图象上且横坐标为3，过点D作 $D E ⊥ y$ 轴于点E ，交反比例函数的图象于点F ，连 $C F$ ，求四边形 $B C F E$ 的面积．

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20. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数 $y = k_{1} x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x} (k \neq 0)$ 的图象交于 $A$ 、 $B (m, - 2)$ 两点，与 $x$ 轴交于点 $C$ ，与 $y$ 轴交于点 $D$ ，连接 $A O$ ， $B O .$ 已知 $O C = 2$ ， $t a n ∠ O D C = \frac{1}{2}$ ．

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、直接写出 $k_{1} x + b < \frac{k_{2}}{x}$ 时对应自变量的取值范围；

(3)、若点 $Q$ 在线段 $A B$ 上，且 $\frac{S_{△ A O Q}}{S_{△ B O Q}} = \frac{2}{3}$ ，求点 $Q$ 的坐标．

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21. 在平面直角坐标系xOy 中，直线 $y = \frac{2}{3} x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{12}{x}$ 的图象交于A（3，m），B两点．

(1)、求直线AB的函数表达式及点B的坐标；

(2)、如图1，过点A的直线分别与x轴，反比例函数y= $\frac{12}{x}$ 的图象（x＜0）交于点M ， N ，且 $\frac{A M}{M N} = \frac{4}{3}$ ，连接BM ，求△ABM的面积；

(3)、如图2，点D在另一条反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象上，点C在x轴正半轴上，连接DC交该反比例函数图象于点E ，且DE＝2EC ，再连接AD ， BC ，若此时四边形ABCD恰好为平行四边形，求k的值．

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四、实践探究题（共3题，共31分）

22. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数 $y = x + | - 2 x + 6 | + m$ 性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
$x$
$\dots$
$- 2$
$- 1$
0
1
2
3
4
5
$\dots$
$y$
$\dots$
6
5
4
$a$
2
1
$b$
7
$\dots$

(1)、写出函数关系式中 $m$ 及表格中 $a$ ， $b$ 的值：
$m =$ ， $a =$ ， $b =$ ；

(2)、根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：；

(3)、已知函数 $y = \frac{16}{x}$ 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 $x + | - 2 x + 6 | + m > \frac{16}{x}$ 的解集．

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23. 模具厂计划生产面积为4，周长为 $m$ 的矩形模具，对于 $m$ 的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：

(1)、建立函数模型：
设矩形相邻两边的长分别为 $x ， y$ ，由矩形的面积为4，得 $x y = 4$ ，即 $y = \frac{4}{x}$ ；由周长为 $m$ ，得 $2 (x + y) = m$ ，即 $y = - x + \frac{m}{2}$ ．满足要求的 $(x ， y)$ 应是两个函数图象在第象限内的交点的坐标．

(2)、画出函数图象：
函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图像如图所示，而函数 $y = - x + \frac{m}{2}$ 的图像可由直线 $y = - x$ 平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线 $y = - x$ ．

(3)、平移直线 $y = - x$ ，观察函数图象：
当直线平移到与函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图像有唯一交点 $(2 ， 2)$ 时，写出周长 $m$ 的值；

(4)、得出结论：
若能生产出面积为4的矩形模具，求出周长 $m$ 的取值范围．（直接写出结论）

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24. 综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为 $8 m^{2}$ 的矩形地块 $A B C D$ 种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为 $a m^{2}$ ．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若 $a = 10$ ，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设 $A B$ 为 $x m$ ， $B C$ 为 $y m$ ．由矩形地块面积为 $8 m^{2}$ ，得到 $x y = 8$ ，满足条件的 $(x ， y)$ 可看成是反比例函数 $y = \frac{8}{x}$ 的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为 $10 m$ ，得到 $2 x + y = 10$ ，满足条件的 $(x ， y)$ 可看成一次函数 $y = - 2 x + 10$ 的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的 $(x ， y)$ 就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数 $y = \frac{8}{x} (x > 0)$ 的图象与直线 $l_{1}$ ： $y = - 2 x + 10$ 的交点坐标为 $(1 ， 8)$ 和 ▲ ，因此，木栏总长为 $10 m$ 时，能围出矩形地块，分别为： $A B = 1 m$ ， $B C = 8 m$ ；或 $A B =$ ▲ m ， $B C =$ ▲ m ．

(1)、根据小颖的分析思路，完成上面的填空．

(2)、【类比探究】
若 $a = 6$ ，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．

(3)、【问题延伸】
当木栏总长为 $a m$ 时，小颖建立了一次函数 $y = - 2 x + a$ ．发现直线 $y = - 2 x + a$ 可以看成是直线 $y = - 2 x$ 通过平移得到的，在平移过程中，当过点 $(2 ， 4)$ 时，直线 $y = - 2 x + a$ 与反比例函数 $y = \frac{8}{x} (x > 0)$ 的图象有唯一交点．
请在图2中画出直线 $y = - 2 x + a$ 过点 $(2 ， 4)$ 时的图象，并求出 $a$ 的值．

(4)、【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“ $y = - 2 x + a$ 与 $y = \frac{8}{x}$ 图象在第一象限内交点的存在问题”．
若要围出满足条件的矩形地块，且 $A B$ 和 $B C$ 的长均不小于 $1 m$ ，请直接写出 $a$ 的取值范围．

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$x$	$\dots$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	4	5	$\dots$
$y$	$\dots$	6	5	4	$a$	2	1	$b$	7	$\dots$

2024年中考数学热点探究五 一次函数与反比例函数结合问题

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共15分）

三、解答题（共6题，共44分）

四、实践探究题（共3题，共31分）

2024年中考数学热点探究五一次函数与反比例函数结合问题