2024年中考数学热点探究四列方程（组）或不等式解应用题

试卷更新日期：2024-04-27 类型：二轮复习

进入出卷网下载

一、选择题（每题2分，共20分）

1. 元朝朱世杰所著的 $《$ 算学启蒙 $》$ 中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行 $240$ 里，慢马每天行 $150$ 里，慢马先行 $12$ 天，快马几天可追上慢马？若设快马 $x$ 天可追上慢马，由题意得（）

A、 $\frac{x}{240} = \frac{x + 12}{150}$ B、 $\frac{x}{240} = \frac{x}{150} - 12$ C、 $240 (x - 12) = 150 x$ D、 $240 x = 150 (x + 12)$

查看试题解析
2. 程大位的《算法统宗》是我国古代数学名著，其中有一道这样的题目“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．问房客各几何？”题目大意是：一些客人到李三公的店中住宿，若每间房里住7人，就会有7人没地方住；若每间房住9人，则空出一间房．问有多少房间，多少客人？如果设房间有 $x$ 间，客人 $y$ 人，由题意可列方程组（）

A、 ${\begin{array}{l} y = 7 x - 7 \\ y = 9 (x + 1) \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} y = 7 x + 7 \\ y = 9 (x - 1) \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = 7 y - 7 \\ x = 9 (y - 1) \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} y = 7 x - 9 \\ y = 9 x - 7 \end{array}$

查看试题解析
3. “立身以立学为先，立学以读书为本．”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆200人次，前三个月累计进馆728人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为 $x$ ，依题意可列方程（）

A、 $200 (1 + x)^{2} = 728$ B、 $200 (1 + x) + 200 (1 + x)^{2} = 728$ C、 $200 (1 + x + x^{2}) = 728$ D、 $200 + 200 (1 + x) + 200 (1 + x)^{2} = 728$

查看试题解析
4. 新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．各种品牌相继投放市场．一汽贸公司经销某品牌新能源汽车．去年销售总额为5000万元，今年1～5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元．销售数量与去年一整年的相同．销售总额比去年一整年的少20%，今年1﹣5月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年1﹣5月份每辆车的销售价格为x万元．根据题意，列方程正确的是（）

A、 $\frac{5000}{x + 1}$ = $\frac{5000 (1 - 20 %)}{x}$ B、 $\frac{5000}{x + 1}$ = $\frac{5000 (1 + 20 %)}{x}$ C、 $\frac{5000}{x - 1}$ = $\frac{5000 (1 - 20 %)}{x}$ D、 $\frac{5000}{x - 1}$ = $\frac{5000 (1 + 20 %)}{x}$

查看试题解析
5. 《算法统宗》中有这样一道题：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？请君布算莫迟疑！其大意是说：用999文钱共买了1000个甜果和苦果，其中4分钱可以买苦果7个，11文钱可以买甜果9个．请问究竟甜果、苦果各有几个？设甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（）

A、 ${\begin{cases} \frac{11}{9} x + \frac{4}{7} y = 999 \\ x + y = 1000 \end{cases}$ B、 ${\begin{cases} \frac{11}{9} x + \frac{4}{7} y = 999 \\ y - 1000 = x \end{cases}$ C、 ${\begin{cases} \frac{9}{11} x + \frac{7}{4} y = 999 \\ x - 1000 = y \end{cases}$ D、 ${\begin{cases} \frac{9}{11} x + \frac{7}{4} y = 999 \\ x + y = 1000 \end{cases}$

查看试题解析
6. 某种型号插电混合动力汽车从甲地开往乙地时，纯用电行㑈，花充电费24元，沿相同路线返程时用纯燃油行驶，花燃油费34.7元．已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.1元．小民根据这一情境中的数量关系列出方程 $\frac{24}{x} = \frac{34.7}{x + 0.1}$ ，则未知数 $x$ 表示的意义为（）

A、每行驶1千米纯用电的费用 B、每行驶1千米纯燃油的费用 C、每1元电费可行驶的路程 D、每1元燃油费可行驶的路程

查看试题解析
7. 基学校课后兴趣小组仕开化5工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面.已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为（）

A、6 B、8 C、12 D、16

查看试题解析
8. 小明去商店购买A、B两种玩具，共用了10元钱，A种玩具每件1元，B种玩具每件2元.若每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量多于B种玩具的数量.则小明的购买方案有（）

A、5种 B、4种 C、3种 D、2种

查看试题解析
9. 某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过120分，他至少要答对的题的个数为（）

A、13 B、14 C、15 D、16.

查看试题解析
10. 某城市为增加绿植面积，改造部分室外停车位，如图①所示，6个车位拼成的矩形阴影部分全部为绿色草坪，当所有的车位分割线及停车方向线等标线粗细全部忽略不计时，可以看成图②，已知绿色草坪横条和竖条均为矩形，且宽度都为 $a m$ ， $A B = 12 m$ ， $B C = 7.2 m$ ，当草坪面积（图中阴影部分面积）等于 $40.2 m^{2}$ 时，则a的值是（）

A、 $0.75 m$ B、 $1 m$ C、 $1.2 m$ D、 $1.5 m$

查看试题解析

二、填空题（每空2分，共16分）

11. 我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人 $7$ 两，还剩 $4$ 两；若每人 $9$ 两，还差 $8$ 两；则 $①$ 人数为人； $②$ 银子共有两．

查看试题解析
12. 某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于10%，则最多可打折．

查看试题解析
13. 某种服装原价每件80元，经两次降价，现售价每件64.8元，这种服装平均每次降价的百分率是.

查看试题解析
14. 随着国家提倡节能减排，新能源车将成为时代“宠儿”．端午节，君君一家驾乘新购买的新能源车，去相距180km的古镇旅行，原计划以速度v km/h匀速前行，因急事以计划速度的1.2倍匀速行驶，结果就比原计划提前了0.5h到达，则原计划的速度v为 km/h．

查看试题解析
15. 火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱.重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3：5：2.随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的 $\frac{2}{5}$ ，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的 $\frac{7}{20}$ ，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是.

查看试题解析
16. 某学校带领 $150$ 名学生到农场参加植树劳动，学校同时租用 $A$ ， $B$ ， $C$ 三种型号客车去农场，其中 $A$ ， $B$ ， $C$ 三种型号客车载客量分别为 $40$ 人、 $30$ 人、 $10$ 人，租金分别为 $700$ 元、 $500$ 元、 $200$ 元 $.$ 为了节省资金，学校要求每辆车必须满载，并将学生一次性送到农场植树，请你写出一种满足要求的租车方案，满足要求的几种租车方案中，最低租车费用是元 $.$

查看试题解析

三、解答题（共7题，共44分）

17. 某班为了丰富学生的课外活动和体育健身，计划购买10个足球和20根跳绳，共花费980元，其中足球的价格是跳绳价格的3倍多8元．

(1)、求跳绳和足球的单价；

(2)、在实际课外活动中，发现如果全班同学根据自身的爱好总有部分学生无法玩足球或跳绳，若使用剩余班费233元，并要求至少购买一个足球，那么最多可购买多少根跳绳？

查看试题解析
18. 某大型物流公司急需将170吨物资运送到甲、乙两地，现有A、B两种车型可供选择，每辆车的运载能力和运费表示如下：（假设每辆车均达到最大满载量）
车型
A
B
汽车运载量（吨/辆）
5
8
汽车运费（元/辆）
600
800

(1)、若要将全部物资用A、B两种车型来运送，运费恰好是18000元，问需A、B两种车型各几辆？

(2)、因特殊情况安排，部分司机参与其他活动，该物流公司经理调拨一种载重量为10吨的C种车型加入运送，恰好一次性全部运送完成，已知车辆总数为22辆（三种车辆都有），试通过计算判断有几种运送方案．

查看试题解析
19. 某种流感病毒，若有一人患了这种流感，则在每轮传染中一人将平均传染x人．

(1)、现有一人患上这种流感，求第一轮传染后患病的人数（用含x的代数式表示）；

(2)、在进入第二轮传染前，有两位患者被及时隔高并治愈，问第二轮传染后患病的人数会有21人吗？

查看试题解析
20. 为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神．某校利用课后服务时间，在九年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共13个班级参加．

(1)、比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分．某班级在12场比赛中获得总积分为32分，问该班级胜负场数分别是多少？

(2)、投篮得分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分，某班级在其中一场比赛中，共投中22个球（只有2分球和3分球），所得总分不少于50分，问该班级这场比赛中至少投中了多少个3分球?

查看试题解析
21. 君子是我国古代对有德者的美称，梅兰竹菊俗称四君子，因为它们不畏风寒，像堂堂君子一样，所以称它们为四君子．梅花雪中来，箭兰幽谷藏，竹林风中立，明菊飘淡香．为装饰校园，某学校计划购入一批《梅》《兰》《竹》《菊》的国画，已知《梅》和《菊》的价格相同，《兰》和《竹》的价格相同，每幅《梅》比《兰》贵15元，并且用1200元购买《菊》和用900元购买《竹》的数量相同．

(1)、求每幅《梅》《兰》《竹》《菊》的价格分别为多少元；

(2)、该学校计划购买《梅》和《兰》共60幅，总费用不超过3120元，那么该学校最多能购买多少幅《梅》？

查看试题解析
22. 新能源汽车已逐渐成为买车一族的首先，某4S店销售每辆进价分别为5万元、9万元的A、B两种型号的新能源汽车，下表是近两周的销售情况：
销售时段
销售数量（单位：辆）
销售收入（单位：万元）
A
B
第一周
5
3
59
第二周
8
5
96.4
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入一进货成本）

(1)、求A、B两种型号的新能源汽车的销售单价；

(2)、若4S店准备用不超过200万元的金额采购这两种型号的新能源汽车共30辆，求B型号的新能源汽车最多能采购多少辆?

(3)、在(2)的条件下，4S销售完这230辆新能源汽车时45店的最大利润是多少?并写出利润最大时的采购方案。

查看试题解析
23. “人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了 $A$ 型和 $B$ 型两种玩具，已知用520元购进 $A$ 型玩具的数量比用175元购进 $B$ 型玩具的数量多30个，且 $A$ 型玩具单价是 $B$ 型玩具单价的 $1.6$ 倍．

(1)、求两种型号玩具的单价各是多少元？
根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：

甲： $\frac{520}{1.6 x} = \frac{175}{x} + 30$ ，解得 $x = 5$ ，经检验 $x = 5$ 是原方程的解．

乙： $\frac{520}{x} = 1.6 \times \frac{175}{x - 30}$ ，解得 $x = 65$ ，经检验 $x = 65$ 是原方程的解．

则甲所列方程中的 $x$ 表示，乙所列方程中的 $x$ 表示；

(2)、该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进 $A$ 型玩具多少个？

查看试题解析

四、实践探究题（共5题，共40分）

24. 阅读材料：
小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积．

小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积．

解决问题：

(1)、请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积；

(2)、某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是cm；

(3)、小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形ABCD中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程．

查看试题解析
25. 阅读下面方法，解答后面的问题：
【阅读理解】我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用。

例题：已知x可取任意实数，试求二次三项式 $2 x^{2} - 12 x + 14$ 的取值范围。

解：

$2 x^{2} - 12 x + 14$

$= 2 (x^{2} - 6 x) + 14$

$= 2 (x^{2} - 6 x + 3^{2} - 3^{2}) + 14$

$= 2 [{(x - 3)}^{2} - 9] + 14$

$= 2 {(x - 3)}^{2} - 18 + 14$

$= 2 {(x - 3)}^{2} - 4$

∵x取任何实数，总有 ${(x - 3)}^{2} \geq 0$ ，∴ $2 {(x - 3)}^{2} - 4 \geq - 4$ 。

因此，无论x取任何实数， $2 x^{2} - 12 x + 14$ 的值总是不小于-4的实数。

特别的，当x=3时， $2 x^{2} - 12 x + 14$ 有最小值-4

(1)、【应用1】：已知x可取任何实数，则二次三项式 $3 x^{2} + 6 x - 7$ 的最值情况是（    ）

A、有最大值-10 B、有最小值-10 C、有最大值-7 D、有最小值-7

(2)、【应用2】：某品牌服装进货价为每件50元，商家在销售中发现：当以每件90元销售时，平均每天可售出20件，为了扩大销售量，增加盈利，商家决定采取适当的降价措施。
①将市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天那就可多售出2件，要想平均每天销售这种服装盈利为1200元，我们设降价x元，根据题意列方程得（    ）

A. $(40 - x) (20 + 2 x) = 1200$     B. $(40 - x) (20 + x) = 1200$

C. $(50 - x) (20 + 2 x) = 1200$     D. $(90 - x) (20 + 2 x) = 1200$

②请利用上面【阅读理解】提供的方法解决下面问题：

这家服装专柜为了获得每天的最大盈利，每件服装需要降价多少元？每天的最大盈利又是多少元？

查看试题解析

26. 根据以下素材，探索完成任务．

如何确定木板分配方案？
素材1	我校开展爱心义卖活动，小艺和同学们打算推销自己的手工制品．他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别为80cm，40cm.
素材2	现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为3：1．其余木板按图2虚线裁剪出两块木板（阴影是余料），给部分盒子配上盖子．
素材3	义卖时的售价如标签所示：
问题解决
任务1	计算盒子高度	求出长方体收纳盒的高度．
任务2	确定分配方案1	若制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍，木板该如何分配？请给出分配方案．
任务3	确定分配方案2	为了提高利润，小艺打算把图2裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张矩形余料可以制成一把小木剑，并以5元/个的价格销售．请确定木板分配方案，使销售后获得最大利润．

查看试题解析

27. 下面是小亮学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务．

题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元．
方法	分析问题	列出方程
解法一	设…… 等量关系：甲商品数量＝乙商品数量	$\frac{2000}{x} = \frac{1200}{x - 20}$
解法二	设…… 等量关系：甲商品进价－乙商品进价＝20	$\frac{2000}{x} - \frac{1200}{x} = 20$

任务：

(1)、解法一所列方程中的x表示，解法二所列方程中的x表示．

A．甲种商品每件进价x元

B．乙种商品每件进价x元

C．甲种商品购进x件

(2)、根据以上解法可求出甲种商品的进价为元/件，乙种商品的进价为元/件．

(3)、若商店将甲种商品每件的售价定为80元，乙种商品每件的售价定为45元．商店计划用不超过1440元的资金购进甲、乙两种商品共40件，当购进的甲、乙两种商品全部售出后，请求出该商店获得最大的利润W ．（利润＝售价－进价）