2024年中考数学热点探究三含字母参数的方程（组）、不等式（组）

试卷更新日期：2024-04-27 类型：二轮复习

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一、选择题（每题3分，共24分）

1. 已知 $x = 4$ ， $y = - 2$ 与 $x = - 2$ ， $y = - 5$ 都是方程 $y = k x + b$ 的解，则k与b的值分别是（）

A、 $\frac{1}{2}$ ， 4 B、 $- \frac{1}{2}$ ， 4 C、 $\frac{1}{2}$ ， $- 4$ D、 $- \frac{1}{2}$ ， $- 4$

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2. 若关于x的方程 $\frac{x}{x - 3} - 2 = \frac{m}{x - 3}$ 有正数解，则（）．

A、m＞0且m≠3 B、m＜6且m≠3 C、m＜0 D、m＞6

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3. 关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} 6 - 3 x < 0 \\ 2 x ⩽ a \end{array}$ 恰好有3个整数解，则a满足（　　）

A、a＝10 B、10≤a＜12 C、10＜a≤12 D、10≤a≤12

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4. 已知关于x的方程 $a {(x + m)}^{2} + b = 0$ （a ， b ， m均为常数，且 $a \neq 0$ ）的两个解是 $x_{1} = 3, x_{2} = 6$ ，则方程 $9 a {(x + \frac{1}{3} m)}^{2} + b = 0$ 的解是（）

A、 $x_{1} = 3, x_{2} = 6$ B、 $x_{1} = 3, x_{2} = 2$ C、 $x_{1} = 9, x_{2} = 18$ D、 $x_{1} = 1, x_{2} = 2$

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5. 已知关于 $x$ ， $y$ 的方程组 ${\begin{matrix} x + m y = 7 ① \\ m x - y = 2 + m ② \end{matrix}$ ，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当 $m$ 每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解是（）

A、 ${\begin{array}{l} x = 4 \\ y = - 1 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = - 4 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = 5 \\ y = - 4 \end{array}$ D、 ${\begin{matrix} x = - 5 \\ y = 4 \end{matrix}$

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6. 在关于 $x ､ y$ 的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} x - 2 y = a + 6 \\ 3 x + y = 2 a \end{array}$ 的下列说法中，正确的是（）
①当 $a = 3$ 时，方程的两根互为相反数：
②当且仅当 $a = - 4$ 时，解得 $x$ 与 $y$ 相等；
③ $x ､ y$ 满足关系式 $x + 5 y = - 12$ ；
④若 $9^{x} \cdot 2 7^{y} = 81$ ，则 $a = 10$ ．

A、①③ B、①② C、①②③ D、①②③④

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7. 对实数x ， y定义一种新的运算F ，规定 $F (x, y) = {\begin{array}{l} x - y (x \geq y) \\ y - x (x < y) \end{array}$ 若关于正数x的不等式组 ${\begin{array}{l} F (x, 1) > 4 \\ F (- 1, x) < m \end{array}$ 恰好有 3 个整数解，则m的取值范围是（）

A、 $8 < m \leq 9$ B、 $8 \leq m \leq 9$ C、 $9 < m \leq 10$ D、 $9 \leq m \leq 10$

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8. 已知多项式 $M ═ x^{2} - 3 x - 2$ ， $N = x^{2} - a x + 3$ 下列说法正确的个数为（）
$①$ 若 $M = 0$ ，则代数式 $\frac{13 x}{x^{2} - 3 x - 1}$ 的值为 $\frac{26}{3}$ ； $②$ 当 $a = - 3$ 时，代数式 $M - N$ 的最小值为 $- 14$ ； $③$ 当 $a = 3$ 时，若 $| M - 2 N + 2 | + | M - 2 N + 15 | = 13$ ，则 $x$ 的取值范围是 $- \frac{7}{3} < x < 2$ ．

A、 $0$ 个 B、 $1$ 个 C、 $2$ 个 D、 $3$ 个

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二、填空题（每题3分，共15分）

9. 若关于 $x$ 的方程 $\frac{a x}{x - 2} = \frac{3}{x - 2} + 1$ 无解，求 $a$ 的值．

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10. 若关于x ， y的方程组 ${\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}$ 的解是 ${\begin{cases} x = 2 \\ y = - 3 \end{cases}$ ，则关于m ， n的方程组 ${\begin{cases} 2 a_{1} (m - n) - 3 b_{1} (m + n) = - 5 c_{1} \\ 2 a_{2} (m - n) - 3 b_{2} (m + n) = - 5 c_{2} \end{cases}$ 的解是．

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11. 若关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x - 1 \leq \frac{x + 7}{3} \\ 5 x + 1 - a \geq 0 \end{array}$ 有且只有四个整数解，且关于y的分式方程 $\frac{a + 1}{y + 1} = \frac{4 y - 1}{y + 1} - 2$ 的解为非正数，则符合条件的所有整数a的和为．

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12. 已知关于x的分式方程 $\frac{m}{1 - x} - \frac{3}{x - 1} = 2$ 的解为整数，且关于y的不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{5 y - m}{2} ＞ 1 ， \\ 4 y - 2 \leq 2 (y + 1) \end{array}$ 有且仅有3个整数解，则所有满足条件的整数m的值之和是．

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13. 对于实数m，n，先定义一种运算“⊗”如下： $m \otimes n = {\begin{array}{l} m^{2} + m + n, & 当 m ⩾ n 时 \\ n^{2} + m + n, & 当 m < n 时 \end{array}$ ，若x⊗（﹣2）＝10，则实数x的值为．

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三、解答题（共5题，共43分）

14. 已知关于x、y的二元一次方程组 ${\begin{matrix} 2 x + 3 y = 3 m + 7 \\ x - y = 4 m - 1 \end{matrix}$ ，它的解是正数．

(1)、求m的取值范围；

(2)、化简： $| m - 2 | - {(\sqrt{m + 1})}^{2} - \sqrt{{(m - 1)}^{2}}$ ．

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15. 下图是一个运算程序：

(1)、若 $x = - 4$ ， $y = 5$ ，求 $m$ 的值；

(2)、若 $x = - 3$ ，输出结果 $m$ 的值是输入 $y$ 的值的两倍，求 $y$ 的值.

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16. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (m + 3) x + 3 m = 0$ ．

(1)、求证：无论 $m$ 取任何实数，方程总有实数根；

(2)、若一元二次方程的两根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且满足 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} = 19$ ，求 $m$ 的值．

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17. 若 $a^{2} + b^{2} + c^{2} - 6 a - 8 b - 10 c + 50 = 0$ .

(1)、若以a、b、c为边的三角形，判断这个三角形的形状：

(2)、解方程 ${\begin{array}{l} a x + b y = 30 \\ c x + a y = 28 \end{array}$ ；

(3)、若一元二次方程 $a x^{2} + b x + m = 0$ 有实数根，求m的取值范围.

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18. 已知反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图像经过点 $(- 1 ， 4)$ ．

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、完成下面的解答过程．
解不等式组 ${\begin{array}{l} x + 3 > 1 ① \\ \frac{k}{x} > 1 ② \end{array}$

解：解不等式①，得；

在方格中画出反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的大致图像，根据图像写出不等式②的解集是；

把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

从图中可以找出这两个不等式解集的公共部分，得到原不等式组的解集是．

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四、实践探究题（共4题，共38分）

19. 定义：若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个整数根，且满足 $| x_{1} - x_{2} | = 1$ ，则称此类方程为“差1方程”．例如： $(x - 2) (x - 3) = 0$ 是“差 $1$ 方程”．

(1)、下列方程是“差 $1$ 方程”的是；（填序号）
① $\frac{1}{4} - x^{2} = 0$ ② $x^{2} + 7 x + 12 = 0$ ③ $x^{2} - x = 1$ ；

(2)、若方程 $x^{2} - (m + 1) x + m = 0$ 是“差 $1$ 方程”，求 $m$ 的值．

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20. 定义：如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c，那么我们称这个方程为“完美方程”．

(1)、下面方程是“完美方程”的是．（填序号）①x²-4x+3＝0；②2x²+x+3＝0；③2x²-x-3＝0．

(2)、已知3x²+mx+n＝0是关于x的“完美方程”，若m是此“完美方程”的一个根，求m的值．

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21. 如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x²-6x+8＝0的两个根是x₁＝2和x₂＝4，则方程x²-6x+8＝0是“倍根方程”．

(1)、根据上述定义，一元二次方程2x²+x-1＝0（填“是”或“不是”）“倍根方程”．

(2)、若一元二次方程x²-3x+c＝0是“倍根方程”，则c＝．

(3)、若关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）是“倍根方程”，则a、b、c之间的关系为．

(4)、若（x-2）（mx-n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式4m²-5mn+n2的值．

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22. 定义新运算“ $\oplus$ ”：对于实数 $m$ ， $n$ ， $p$ ， $q$ ，有 $[m ， p] \oplus [q ， n] = m n + p q$ ，其中等式的右边是通常的加法和乘法运算．例如： $[2 ， 3] \oplus [4 ， 5] = 2 \times 5 + 3 \times 4 = 22$ ．

(1)、求关于 $x$ 的方程 $[x^{2} ， x - 1] \oplus [3 ， 1] = 0$ 的根；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $[x^{2} + 1 ， x] \oplus [1 - 2 k ， k] = 0$ 有两个实数根，求 $k$ 的取值范围．

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2024年中考数学热点探究三 含字母参数的方程（组）、不等式（组）

一、选择题（每题3分，共24分）

二、填空题（每题3分，共15分）

三、解答题（共5题，共43分）

四、实践探究题（共4题，共38分）

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