【北师大版·数学】2024年中考二轮复习之三角形的证明

试卷更新日期：2024-04-27 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图，四边形 $ABCD$ 内有一点 $E$ ， $AE = BE = DE = BC = DC$ ， $AB = AD$ ，若 $∠ C = 100^{\circ}$ ，则 $∠ BAD$ 的大小是（）

A、 $25^{\circ}$ B、 $50^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ D、 $80^{\circ}$

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2. 如果将长为6cm，宽为5cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是（　　）

A、8cm B、5 $\sqrt{2}$ cm C、5.5cm D、1cm

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3. 如图，直线l： $y = - \frac{1}{2} x + 4$ 分别与x轴、y轴交于点A、B ．点P为直线l在第一象限的点．作△POB的外接圆 $⊙ C$ ，延长OC交 $⊙ C$ 于点D ，当△POD的面积最小时，则 $⊙ C$ 的半径长为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、3

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4. 下列命题中，是真命题的有（）．
①全等三角形的对应边相等；②有两个角为 $60 °$ 的三角形一定是等边三角形；③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；④等腰三角形的角平分线和中线相互重合．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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5. 命题：已知 $△ A B C$ ， $A B = A C$ ．求证： $∠ B < 90 °$ ．运用反证法证明这个命题时，第一步应假设（）成立

A、 $A B \neq A C$ B、 $∠ B > 90 °$ C、 $∠ B \geq 90 °$ D、 $A B \neq A C$ 且 $∠ B \geq 90 °$

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6. 如图，AC＝BC＝BE＝DE＝10cm，点A、B、D在同一条直线上，AB＝12cm，BD＝16cm，则点C和点E之间的距离是（）

A、6cm B、7cm C、8cm D、 $10 \sqrt{2} c m$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中，分别以点A和点B为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若 $△ A B C$ 的周长为17， $A B = 8$ ，则 $△ A C D$ 的周长为（）

A、8 B、9 C、10 D、11

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8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是斜边AB上的高，BD＝2，那么AD的长为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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9. 如图， $A B / / C D$ ， $∠ A = 30 °$ ， $D A$ 平分 $∠ C D E$ ，则 $∠ D E B$ 的度数为（）

A、 $45 °$ B、 $60 °$ C、 $75 °$ D、 $80 °$

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10. 如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为（）

A、 $\sqrt{13}$ B、 $\frac{\sqrt{26}}{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{10}$

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二、填空题

11. 如图，在菱形ABCD中， AB=1，∠BAD=60°．在其内部作形状、大小都相同的菱形 AENH 和菱形 CGMF ，使点E，F，G，H分别在边 AB、BC、CD、DA 上，点M，N在对角线 AC 上．若 AE=3BE，则 MN 的长为．

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $t a n B = \frac{3}{4}$ ，点D为 $B C$ 上一动点，连接 $A D$ ，将 $△ A B D$ 沿 $A D$ 翻折得到 $△ A D E$ ， $D E$ 交 $A C$ 于点G， $G E < D G$ ，且 $A G ： C G = 3 ： 1$ ，则 $\frac{S_{三角形 A G E}}{S_{三角形 A D G}} =$ ．

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13. 某城市几条道路的位置关系如图所示，道路 $A B ∥ C D$ ，道路 $C D$ 与 $D F$ 的夹角 $∠ C D F = 54 °$ ．城市规划部门想新修一条道路BF，要求 $B E = E F$ ，则 $∠ B$ 的度数为．

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14. 如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上一动点，若PM=7，则PN的最小值为。

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15. 如图，在△ABC中，AB=5，AC=7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是.

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三、作图题

16. 如图，正方形网格中的两个小正方形的边长都是 $1$ ，每个小正方形的顶点叫格点，一个顶点为格点的三角形称为格点三角形：

(1)、如图①，已知格点 $△ ABC$ ，则 $△ ABC$ （是或不是）直角三角形：

(2)、画一个格点 $△ DEF$ ，使其为钝角三角形，且面积为 $4$

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17. 如图，已知△ABC，用尺规作出△ABC外心．（保留作图痕迹，不写作法）

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四、解答题

18. 2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂 $A C = B C = 10 m$ ，两臂夹角 $∠ A C B = 100 °$ 时，求A，B两点间的距离．(结果精确到 $0.1 m$ ，参考数据 $s i n 50 ° \approx 0.766$ ， $c o s 50 ° \approx 0.643$ ， $t a n 50 ° \approx 1.192$ )

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19. 如图，已知 $∠ A O C = ∠ B O C$ ，点P在 $O C$ 上， $P D ⊥ O A$ ， $P E ⊥ O B$ ，垂足分别为D，E．求证： $△ O P D ≌ △ O P E$ ．

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20. 如图，AD是Rt△ABC斜边上的高。若AB=4，BC=10，求BD的长.

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21. 如图，已知 $B D$ 平分 $∠ A B C$ ， $∠ A = ∠ C$ ．求证： $△ A B D ≌ △ C B D$ ．

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五、实践探究题

22. 已知四边形ABCD中，E ， F分别是AB ， AD边上的点，DE与CF交于点G ，令＝k ．

(1)、特例解析：如图1，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF ，求证： $\frac{D E}{C F}$ ＝k；

(2)、类比探究：如图2，若四边形ABCD是平行四边形，当∠B与∠EGC满足什么关系时， $\frac{D E}{C F}$ ＝k仍然成立？并证明你的结论；

(3)、拓展延伸：如图3，在（2）的条件下， $k = \frac{5}{7} ， A D = 5 ， t a n ∠ D C F = \frac{4}{3}$ ， ∠AED＝45°，求DE的长．

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六、综合题

23. 如图，在四边形ABCD中， $∠ A B C = 90 °$ ，点E是AC的中点，且 $A C = A D$

(1)、尺规作图：作 $∠ C A D$ 的平分线AF ，交CD于点F ，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、在（1）所作的图中，若 $∠ B A D = 45 °$ ，且 $∠ C A D = 2 ∠ B A C$ ，证明： $△ B E F$ 为等边三角形．

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