吉林省长春市净月实验中学2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题

试卷更新日期：2024-04-26 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1. $\frac{1}{2024}$ 的相反数是（）

A、2024 B、 $- 2024$ C、 $- \frac{1}{2024}$ D、 $\frac{1}{2024}$

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2. “一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴，”请大家一定要珍惜每分每秒．距离2024年中考还有90天，如果按秒计算，还有7776000秒，将7776000用科学记数法表示为（）

A、 $77.76 \times 1 0^{5}$ B、 $7.7776 \times 1 0^{5}$ C、 $7.776 \times 1 0^{6}$ D、 $0.7776 \times 1 0^{7}$

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3. 如图是正方体的表面展开图，每个面都标注了汉字，若“长”字在前面，则后面是（）

A、我 B、在 C、等 D、你

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $2 x^{2} + x^{2} = 3 x^{2}$ B、 $x^{8} \div x^{2} = x^{4}$ C、 $x^{2} \cdot x^{3} = x^{6}$ D、 $(x y)^{4} = x y^{4}$

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5. 如图，从教学楼到图书馆有三条道路，从上到下依次记为①、②、③，小明认为走第②条道路最近，其理由是（）

A、两点确定一条直线 B、两点之间，线段最短 C、经过一点可以画无数条直线 D、两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离

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6. 如图，同学们为了测量伊通河两岸 $A$ 、 $B$ 两点间的距离，在河的一岸与 $A B$ 垂直的方向上取一点 $C$ ，测得 $A C = 200$ 米， $∠ A C B = a$ ，则 $A B$ 的长度为（）

A、 $200 \cdot t a n a$ 米 B、 $200 \cdot s i n a$ 米 C、 $200 \cdot c o s a$ 米 D、 $\frac{200}{t a n a}$ 米

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $D$ 为直线 $l$ 与 $A B$ 交点，点 $P$ 为射线 $B F$ 与 $D C$ 交点．根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论不一定正确的是（）

A、 $∠ P B C = ∠ A C D$ B、 $∠ A B P = ∠ C B P$ C、 $∠ A = ∠ A C D$ D、 $A D = C D$

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8. 如图，双曲线 $y = \frac{k}{x}$ （ $x > 0$ ）与 $R t △ O M N$ 斜边的 $O N$ 、直角边 $M N$ 分别交于点 $A$ 、点 $B$ ．已知 $A N = 2 O A$ ， $△ A B N$ 的面积为5，则 $k$ 的值是（）

A、 $\frac{11}{5}$ B、 $\frac{15}{8}$ C、 $\frac{13}{7}$ D、 $\frac{16}{9}$

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二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共24分）

9. 因式分解： $a^{2} b - b^{3} =$ ．

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10. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 3 x + m = 0$ 没有实数根，则 $m$ 的取值范围是．

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11. 如图所示，在正六边形 $A B C D E F$ 内，以 $A B$ 为边作正五边形 $A B G H I$ ，则 $∠ C B G =$ 度。

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12. 如图， $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 是以点 $O$ 为位似中心的位似图形， $O A : O D = 2 : 3$ ，则 $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 的面积比值是．

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13. 如图，正方形 $A B C D$ 边长为6， $E$ 、 $F$ 是边 $A B$ 的三等分点，点 $P$ 是对角线 $A C$ 上的动点，则 $P E + P F$ 的最小值是．

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14. 中考临近，我校绿星年级为缓解同学们的紧张情绪，如图①，在方厅处设置了“高粽门”气球拱门，在拱门上挂了两个粽子，让同学们跳一跳顶一顶，寓意“奋起高粽（中）”．如图②，“高粽门”近似看作抛物线的一部分．当“高粽门”两地脚 $A 、 B$ 的水平距离为 $2.8$ 米，最高点 $C$ 处距地面 $2.8$ 米，两个粽子分别记作点 $E 、 D$ （粽子大小形状忽略不计，看作抛物线上的两点），它们与抛物线的最高点的水平距离均为 $0.7$ 米，则身高 $1.8$ 米的同学至少要跳起米，头顶才能碰到粽子．

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三、解答题（本大题共10小题，共10分）

15. 先化简，再求值： ${(a - 2)}^{2} - 2 (a + 1)$ ，其中 $a = - \sqrt{2}$ ．

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16. 一个不透明的盒子中有三张卡片，卡片上面分别标有数字0，1，2，每张卡片除数字不同外其他都相同．小明先从盒子中随机抽出一张卡片，记下数字后放回并搅匀；再从盒子中随机抽出一张卡片记下数字．用画树状图（或列表）的方法，求小明两次抽出的卡片上的数字之和是偶数的概率．

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17. 长春轨道交通5号线预计2025年全线通车.2024年1月硅谷广场站至硅谷大街站左线区间贯通，线路全长约1300米．为民生计，此段工程实际每天完成比原计划多 $30 %$ ，结果比原计划提前3天完成任务，求原计划每天完成多少米。

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18. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A C$ 平分 $∠ D A B$ ， $A B = 2 C D$ ， $E$ 为 $A B$ 的中点，连结 $C E$ ．

(1)、求证：四边形 $A E C D$ 为菱形；

(2)、若 $∠ D = 120 °$ ， $D C = 1$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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19. 如图是反映小智家平均每月家庭支出情况的不完整统计图：

(1)、小智家平均每月家庭总支出是元；

(2)、请将条形统计图补充完整；

(3)、国际上通常用食品支出占家庭总支出的百分比（即恩格尔系数）来衡量一个地区的人民生活水平，如表：
恩格尔系数
$60 %$ 以上
$50 % \sim 60 %$
$40 % \sim 50 %$
$40 %$ 以下
生活水平
贫困
温饱
小康
富裕
参照恩格尔系数，小智家处于生活水平．

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20. 图①、图②、图③均是 $5 \times 5$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点均是格点． $△ A B C$ 的顶点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，保留作图痕迹．

(1)、在图①中的 $B C$ 边上找到点 $D$ ，连结 $A D$ ，使 $A D$ 为 $△ A B C$ 中 $B C$ 边上的中线；

(2)、在图②中的 $A B$ 边上找到点 $E$ ，连结 $C E$ ，使 $S_{△ A C E} = 3 S_{△ B C E}$ ；

(3)、在图③中的 $A C$ 边上找到点 $F$ ，连结 $B F$ ，使 $t a n ∠ A B F = \frac{1}{2}$ ．

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21. 【问题背景】
小明家最近购入一辆新能源汽车，为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，小明和爸爸妈妈做了两组实验．
实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量 $y$ （%）与时间 $t$ （分钟）的关系，数据记录如表1：
电池充电状态
时间 $t$ （分钟）
0
10
30
60
增加的电量 $y$ （%）
0
10
30
60
实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量 $e$ （%）与行驶里程 $s$ （千米）的关系，数据记录如图2：
【建立模型】观察表1、图2发现都是一次函数模型，请结合表1、图2的数据，

(1)、 $y$ 关于 $t$ 的函数表达式为；

(2)、当汽车充满电的情况下，行驶180千米，此时仪表盘显示的电量 $e$ 是多少?

(3)、【解决问题】
小明家自驾新能源汽车从长春出发去沈阳的辽宁体育馆观看 $C B A$ 联赛，全程400千米，汽车在充满电量的状态下出发，若电动汽车行驶240千米后，在途中的铁岭服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后新能源汽车仪表盘显示电量 $e = 30$ ，则新能源汽车在服务区充电分钟．

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22.

(1)、【问题背景】小初同学在学习圆周角时了解到：圆内接四边形的对角互补．
如图①，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 均为 $⊙ O$ 上的点， $∠ A B C = 85 °$ ，则有 $∠ A D C =$ °；

(2)、【问题探究】爱思考的小初同学发现：如图②，点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 均为 $⊙ O$ 上的点，若 $A B = B C$ ，点 $D$ 为弧 $A C$ 上任意一点（点 $D$ 不与点 $A$ 、 $C$ 重合），若点 $D$ 在运动的过程中始终保持 $B D = A D + D C$ ，则 $∠ A B C$ 的度数恒为 $60 °$ ．
下面是小初的证明过程：
证明：延长 $D C$ 至点使 $C E = A D$ ，连接 $B E$ ．
缺失（1）
在 $△ D A B$ 与 $△ E C B$ 中，
${\begin{array}{l} D A = E C \\ ∠ B A D = ∠ E C B \\ A B = B C \end{array}$ ，
∴ $△ D A B ≌ △ E C B (S . A . S)$ ．
∴ $B E = B D$ ，
$C E = A D$ ， $E D = C D + C E$ ，
又 $B D = A D + D C$ ，
∴ $E D = B D$ ，
∴ $E D = B D = B E$ ，
∴ $△ E D B$ 为等边三角形．
缺失（2）
请你补全缺失的证明过程．

(3)、【结论应用】如图③，点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 均为 $⊙ O$ 上的点，若 $A B = B C$ ，点 $D$ 为弧 $A C$ 上任意一点（点 $D$ 不与点 $A$ 、 $C$ 重合），且 $\sqrt{2} B D = A D + D C$ ， $⊙ O$ 的半径为2，当点 $D$ 在运动的过程中，四边形 $A B C D$ 的周长的最大值为．

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23. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 5$ ， $A D = 6$ ，点 $P$ 以每秒2个单位的速度从点 $A$ 沿 $A D - D C$ 向终点 $C$ 运动（点 $P$ 与点 $D$ 不重合），当点 $P$ 出发后，作 $∠ P A E = 90 °$ ，点 $E$ 在直线 $B C$ 上，将 $△ A P E$ 沿 $P E$ 翻折到 $△ Q P E$ 处，设运动时间为 $t$ （ $t > 0$ ）．

(1)、 $A C$ 的长为．

(2)、用含 $t$ 的代数式表示 $D P$ 的长度．

(3)、当点 $Q$ 落在矩形 $A B C D$ 的对角线上时，求 $t$ 的值．

(4)、连接 $A Q$ ，当直线 $A Q$ 经过矩形 $A B C D$ 的边的中点时，直接写出 $t$ 的值．

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24. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} - b x - 3$ （ $b$ 是常数）经过点 $(3, 0)$ ．点 $A$ 在抛物线上，且点 $A$ 的横坐标为 $m$ （ $m \neq 0$ ），点 $B$ 的坐标为 $(1 - m, 2 m - 1)$ ．

(1)、求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；

(2)、过点 $A$ 作 $A C ⊥ y$ 轴于点 $C$ ，以 $A C$ 、 $C B$ 为邻边作 $▱ A C B D$ ．
①当 $m = 2$ 时，求 $△ A B D$ 的面积；
②若 $m < 1$ ，当抛物线在 $▱ A C B D$ 内部的点的纵坐标 $y$ 随 $x$ 的增大而减小，或者 $y$ 随 $x$ 的增大而增大时，求 $m$ 的取值范围；
③若 $m < 3$ ，当 $s_{△ O A D} > s_{△ A B D}$ 时，直接写出 $m$ 的取值范围．

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恩格尔系数	$60 %$ 以上	$50 % \sim 60 %$	$40 % \sim 50 %$	$40 %$ 以下
生活水平	贫困	温饱	小康	富裕

电池充电状态
时间 $t$ （分钟）	0	10	30	60
增加的电量 $y$ （%）	0	10	30	60