河北省张家口市2024年中考一模数学试题

试卷更新日期：2024-04-26 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 矩形木框在阳光照射下，在地面上的影子不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知一元二次方程的两根分别为 $x_{1} = 3$ ， $x_{2} = - 4$ ，则这个方程可能为（）

A、 $(x - 3) (x + 4) = 0$ B、 $(x + 3) (x - 4) = 0$ C、 $(x + 3) (x + 4) = 0$ D、 $(x - 3) (x - 4) = 0$

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3. 如图，从热气球 $A$ 看一梌楼底部 $C$ 的俯角是（）

A、 $∠ B A D$ B、 $∠ A C B$ C、 $∠ B A C$ D、 $∠ D A C$

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4. 某中学积极响应党的号召，大力开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动.子寒同学在某学期德智体美劳的评价得分如下图所示，则子寒同学五项评价的平均得分为（）

A、7分 B、8分 C、9分 D、10分

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5. 如图，点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 均在直线 $l$ 上，点 $P$ 在直线 $l$ 外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（）

A、3个 B、4个 C、5个 D、6个

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6. 图为函数 $y = x^{2} - 1$ ， $y = x^{2} + 6 x + 8$ ， $y = x^{2} - 6 x + 8$ ， $y = x^{2} - 12 x + 35$ 在同一平面直角坐标系中的图象，其中最有可能是 $y = x^{2} - 6 x + 8$ 的图象的序号是（）

A、① B、② C、③ D、④

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7. 如图，点

D

在

△ A B C

的边

A C

上，添加一个条件，使得

△ A D B ∽ △ A B C

.以下是天翼和徍琛的做法.下列说法不正确的是（）

天翼的做法：添加条件 $∠ A B D = ∠ C$ .

证明： $∵ ∠ A B D = ∠ C$ ， $∠ A = ∠ A$ ， $∴ △ A D B ∽ △ A B C$ .（两组角对应相等的两个三角形相似）

徍琛的做法：添加条件 $\frac{A B}{A C} = \frac{B D}{C B}$ .

证明： $∵ ∠ A = ∠ A$ ， $\frac{A B}{A C} = \frac{B D}{C B}$ ，

$∴ △ A D B ∽ △ A B C$ .（两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似）

A、天翼的做法证明过程没有问题 B、徍琛的做法证明过程没有问题 C、天翼的做法添加的条件没有问题 D、徍琛的做法添加的条件有问题

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8. 如图，一个正多边形纸片被一块矩形挡板遮住一部分，则这个正多边形纸片的边数是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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9. 在如图所示的网格中，若以点 $O$ 为原点， $m$ ， $n$ 所在直线分别为 $y$ 轴、 $x$ 轴，则与点 $A$ 在同一反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 图像上的是（）

A、点 $M$ B、点 $N$ C、点 $P$ D、点 $Q$

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10. 如图，

O

是

△ A B C

的角平分线

B O

，

C O

的交点，请用

∠ A

表示

∠ O

何羽同学的做法如下：

$∵ O$ 是 $△ A B C$ 的角平分线 $B O$ ， $C O$ 的交点，

$∴ ∠ 1 = \frac{1}{2} ∠ A B C$ ， $∠ 2 = \frac{1}{2} ∠ A C B$ ，

$∴ ∠ 1 + ∠ 2 = \frac{1}{2} ∠ A B C + ∠ A C B = \frac{1}{2} (∠ A B C + ∠ A C B)$ .

又 $∵ ∠ A B C + ∠ A C B = 180 ° - ∠ A$ ，

$∴ ∠ 1 + ∠ 2 = \frac{1}{2} (180 ° - ∠ A) = 90 ° - \frac{1}{2} ∠ A$ ，

在 $△ B O C$ 中， $∠ O = 180 ° - (∠ 1 + ∠ 2) = 180 ° - (90 ° - \frac{1}{2} ∠ A) = 90 ° + \frac{1}{2} ∠ A$ .

下列说法正确的是（）

A、该同学的做法只用了一次“三角形内角和定理” B、该结论只适用于锐角三角形 C、若把“

O

是

△ A B C

的角平分线

B O

，

C O

的交点”替换为“

O

是

△ A B C

的外心”，该结论不变 D、若把“

O

是

△ A B C

的角平分线

B O

，

C O

的交点”替换为“

O

是

△ A B C

的内心”，该结论不变

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11. 如图，传送带的一个转动轮的半径为 $10 c m$ ，转动轮转 $n °$ ，传送带上的物品 $A$ 被传送 $6 π c m$ ，则 $n$ 为（）

A、90 B、108 C、120 D、无法判断

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12. 如图是一款抛物线型落地灯示意图，防滑螺母 $C$ 为抛物线支架的最高点，灯罩 $D$ 距离地面1.5米，最高点 $C$ 距灯柱 $A B$ 的水平距离为1.6米，灯柱 $A B = 1.5$ 米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几正下方位置到灯柱的距离 $A E$ 为（）

A、3.2米 B、0.32米 C、2.5米 D、1.6米

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13. 如图，点 $P$ ， $Q$ 是边 $A B$ 的三等分点， $△ A B C$ 的面积为27，现从 $A B$ 边上取一点 $D$ ，过点 $D$ 沿平行 $B C$ 的方向剪下一个面积为10的三角形，则点 $D$ 在（）

A、线段 $A P$ 上 B、线段 $P Q$ 上，且靠近点 $P$ C、线段 $P Q$ 上，且靠近点 $Q$ D、线段 $B Q$ 上

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14. 如图，将 $45 °$ 的 $∠ A O B$ 按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点 $O$ 与尺下沿的左端点重合， $O A$ 与尺下沿重合， $O B$ 与尺上沿的交点 $B$ 在尺上的读数为 $2 c m$ .若按相同的方式将 $37 °$ 的 $∠ A O C$ 放置在该刻度尺上，则 $O C$ 与尺上沿的交点 $C$ 在尺上的读数是（结果精确到 $0.1 c m$ ，参考数据 $s i n 37 ° \approx 0.60$ ， $c o s 37 ° \approx 0.80$ ， $t a n 37 ° \approx 0.75$ ）.（）

A、 $2.3 c m$ B、 $2.5 c m$ C、 $2.7 c m$ D、 $3 c m$

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15. 如图是 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， …， $P_{10}$ 十个点在圆上的位置图，且此十点将圆周分成十等份.连接 $P_{1} P_{2}$ 和 $P_{5} P_{6}$ ，并延长交于一点，连接 $P_{9} P_{10}$ 和 $P_{6} P_{7}$ 并延长交于一点，则夹角各是多少（）

A、 $30 °$ 和 $60 °$ B、 $54 °$ 和 $72 °$ C、 $36 °$ 和 $54 °$ D、 $36 °$ 和 $72 °$

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16. 设二次函数 $y = a (x - m) (x - m - k) (a > 0 ， m ， k$ 是实数 $)$ ，则（）

A、当 $k = 2$ 时，函数 $y$ 的最小值为 $- a$ B、当 $k = 2$ 时，函数 $y$ 的最小值为 $- 2 a$ C、当 $k = 4$ 时，函数 $y$ 的最小值为 $- a$ D、当 $k = 4$ 时，函数 $y$ 的最小值为 $- 2 a$

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二、填空题（本大题有3个小题，共10分.17和18题各3分，19小题有2个空，每空2分）

17. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + 5 x - m = 0$ 的一个根是2，则另一个根是.

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18. 如图，正六边形 $A B C D E F$ 的边长为1，分别以其对角线 $A D$ ， $C E$ 为边作正方形，则两个阴影部分的面积差 $a - b$ 的值为

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19. 如图①是小明制作的一副弓箭， $A$ ， $D$ 分别是弓臂 $\overset{⌢}{B A C}$ 与弓弦 $B C$ 的中点，弓弦 $B C = 0.6 m$ ，沿 $A D$ 方向拉弓的过程中，假设弓臂 $\overset{⌢}{B A C}$ 始终保持圆弧形，弓弦长度不变.如图②，当弓箭从自然状态的点 $D$ 拉到点 $D_{1}$ 时，有 $A D_{1} = 0.3 m$ ， $∠ B_{1} D_{1} C_{1} = 120 °$ .
⑴图②中，弓臂两端 $B_{1}$ ， $C_{1}$ 之间的距离是 $m$ ；
⑵如图③，将弓箭继续拉到点 $D_{2}$ ，使弓臂 $\overset{⌢}{B_{2} A C_{2}}$ 为半圆，则 $D_{1} D_{2}$ 的值为

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三、解答题（本大题共7个小题，共68分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B D ⊥ A C$ ，垂足为 $D$ ， $A B = 6$ ， $A C = 5 \sqrt{3}$ ， $∠ A = 30 °$ .

(1)、求 $B D$ 和 $A D$ 的长；

(2)、求 $s i n C$ 的值.

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21. 如图，张老师想用长为 $70 m$ 的栅栏，再借助房屋的外墙直线 $A D$ （外墙足够长）围成一个矩形车棚 $A B C D$ ，并在边 $B C$ 上留一个 $2 m$ 宽的门（建在 $E F$ 处，另用其他材料）.

(1)、当车棚的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为 $640 m^{2}$ 的车棚；

(2)、车棚的面积能达到 $650 m^{2}$ 吗?如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.

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22. 2023年春节期间调研小组随机调查了某新开放景区的部分参观群众，为本景区打分（打分按从高到低分为5个分值：5分，4分，3分，2分，1分），并将调查结果绘制成不完整的条形统计图（如图①）和扇形统计图（如图②）.根据以上信息，回答下列问题：

(1)、本次共调查了 ▲ 名参观群众，并补全条形统计图，分值的众数是，中位数是 ▲ ；

(2)、为了进一步研究，调研小组又增加调查了5位参观者，若他们的打分分别为：5，4，4，5，3，则增加调查人数前后，本次活动打分分值的中位数与原来是否相同?并简要说明理由；

(3)、若从打分较低的四人中随机抽取2名做情况反馈，发现抽取的2人恰为一个成人一个儿童的概率为 $\frac{1}{2}$ ，直接写出这4人中成人与儿童的可能分布情况.

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23. 如图，点 $B$ 在数轴上对应的数是-2，以原点 $O$ 为圆心， $O B$ 的长为半径作优弧 $\overset{⌢}{A E B}$ ，使点 $A$ 在原点的左上方，且 $t a n ∠ A O B = \sqrt{3}$ ，点 $C$ 为 $O B$ 的中点，点 $D$ 在数轴上对应的数为4.

(1)、求扇形 $A O B$ 的面积；

(2)、点 $P$ 是优弧 $\overset{⌢}{A E B}$ 上任意一点，则求 $∠ P D B$ 的最大值；

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24. 如图，在 $△ A O B$ 中，点 $A (0, 4)$ ，点 $B (- 4, 0)$ ，双曲线 $L : y = \frac{k}{x} (k < 0, x < 0)$ 与边 $A B$ 交于 $C$ ， $D$ 两点，点 $D$ 的纵坐标大于点 $C$ 的纵坐标.

(1)、当点 $D$ 的坐标为 $(- \frac{1}{2}, b)$ 时，求 $k$ 的值；

(2)、若 $k = - 3$ ，求点 $C$ 的坐标；

(3)、连接 $D O$ ，记 $△ A O D$ 的面积为 $S$ ，若 $2 < S < 4$ ，求 $k$ 的取值范围.

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25. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 6$ ， $t a n ∠ C A B = \frac{4}{3}$ .动点 $M$ 以每秒2个单位的速度从点 $A$ 出发，沿着 $A \to B \to C$ 的方向运动，当点 $M$ 到达点 $C$ 时，运动停止.点 $N$ 是点 $M$ 关于点 $B$ 的对称点，过点 $M$ 作 $M Q ⊥ A C$ 于点 $Q$ ，以 $M N$ ， $M Q$ 为邻边作平行四边形 $M N P Q$ ，设点 $M$ 的运动时间为 $t$ 秒.

(1)、求 $B C$ 的长；

(2)、当 $t = 2$ 时，求证： $Q P = A M$ ；

(3)、是否存在这样的 $t$ 值，使得平行四边形 $M N P Q$ 为菱形?若存在，请求出 $t$ 值；若不存在，请说明理由.

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26. 某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式 $y = x^{2} + b x + c$ ，通过输入不同的 $b$ ， $c$ 的值，在几何画板的展示区内得到对应的图象.

(1)、若输入 $b = 2$ ， $c = - 3$ ，得到如图①所示的图象，求顶点 $C$ 的坐标及抛物线与 $x$ 轴的交点 $A$ ， $B$ 的坐标

(2)、已知点 $P (- 1, 10)$ ， $Q (4, 0)$ .
①若输入 $b$ ， $c$ 的值后，得到如图②的图象恰好经过 $P$ ， $Q$ 两点，求出 $b$ ， $c$ 的值；
②淇淇输入 $b$ ，嘉嘉输入 $c = - 1$ ，若得到二次函数的图象与线段 $P Q$ 有公共点，求淇淇输入 $b$ 的取值范围.

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